2019届二轮复习高考解答题突破(三)　数列的综合应用学案（全国通用） 14页

高考解答题突破(三)　数列的综合应用 突破“两归”——化归、归纳 ‎[思维流程]‎ ‎[技法点拨]‎ ‎1．由于数列是一个特殊的函数，也可根据题目特点，将其化归为函数问题，或通过对式子的改造，使其化归为可运用数列问题的基本方法．‎ ‎2．对于不是等差或等比的数列，可从简单的个别的特殊的情景出发，从中归纳出一般性的规律、性质，这种归纳思想便形成了解决一般性数学问题的重要方法：观察、归纳、猜想、证明．‎ 考向一　等差、等比数列的证明 证明数列是等差(比)数列的两种基本方法 ‎(1)定义法：an＋1－an＝d(常数)(n∈N*)⇒{an}是等差数列；＝q(q是非零常数)⇒{an}是等比数列．‎ ‎(2)等差(比)中项法：2an＋1＝an＋an＋2(n∈N*)⇒{an}是等差数列；a＝an·an＋2(n∈N*，an≠0)⇒{an}是等比数列．‎ ‎[解]　(1)由题意知，2Sn＝(n＋1)2an－n2an＋1，‎ 巧造等差或等比判定方法 ‎(1)判断一个数列是等差(等比)数列，还有通项公式法及前n项和公式法，但不作为证明方法；‎ ‎(2)若要判断一个数列不是等差(等比)数列，只需判断存在连续三项不成等差(等比)数列即可；‎ ‎(3)a＝an－1an＋1(n≥2，n∈N*)是{an}为等比数列的必要而不充分条件，也就是要注意判断一个数列是等比数列时，要注意各项不为0.‎ ‎[对点训练]‎ ‎1．(2018·常州一模)已知n为正整数，数列{an}满足an>0,4(n＋1)a－na＝0，设数列{bn}满足bn＝.‎ ‎(1)求证：数列为等比数列；‎ ‎(2)若数列{bn}是等差数列，求实数t的值．‎ ‎[解]　(1)证明：∵数列{an}满足an>0,4(n＋1)a－na＝0，‎ ‎∴2an＝an＋1.即＝.‎ ‎∴数列是以2为公比的等比数列．‎ ‎(2)由(1)可得＝a1×2n－1，∴a＝na·4n－1.‎ ‎∵bn＝，∴b1＝，b2＝，b3＝.‎ ‎∵数列{bn}是等差数列，∴2×＝＋.‎ ‎∴＝a＋，‎ 即16t＝t2＋48，解得t＝12或t＝4.‎ 经检验，当t＝12时，b2，b3，b4不成等差数列，故舍去．‎ 当t＝4时，bn＝＝，数列{bn}为等差数列，所以t的值为4.‎ 考向二　数列的通项与求和 ‎1．求数列的通项公式的方法 ‎(1)等差、等比数列的通项公式适合用基本量法；(2)已知an与Sn间关系式时适合用an＝求得；(3)依据递推关系变形为等差(等比)数列求得．‎ ‎2．求数列的前n项和的方法 结合数列通项公式的特点，采用裂项相消、错位相减、分组求和等方法．‎ ‎[解]　(1)由题意知当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝6n＋5.‎ 求解数列通项和前n项和的关键步骤 ‎[对点训练]‎ ‎2．(2018·南宁第二次适应性测试)在各项均为正数的等比数列{an}中，a1＝2，且2a1，a3,3a2成等差数列．‎ ‎(1)求等比数列{an}的通项公式；‎ ‎(2)若数列{bn}满足bn＝(n＋2)log2an，求数列的前n项和Tn.‎ ‎[解]　(1)设数列{an}的公比为q，‎ ‎∵2a1，a3,3a2成等差数列，∴2a1＋3a2＝2a3，‎ 即2a1＋3a1q＝2a1q2，‎ 化简得2q2－3q－2＝0，解得q＝2或q＝－.‎ ‎∵q>0，∴q＝2.‎ ‎∵a1＝2，∴数列{an}的通项公式an＝a1qn－1＝2n，n∈N*.‎ ‎(2)∵bn＝(n＋2)log2an＝n(n＋2)，‎ ‎∴＝＝，‎ Tn＝＋＋…＋＋ ‎＝ ‎＝ ‎＝－.‎ 考向三　数列与不等式的综合应用 数列与不等式的综合问题主要体现在以下三方面：‎ ‎(1)判断数列问题中的一些不等关系，可以利用数列的单调性比较大小，或者借助数列对应函数的单调性比较大小，还可以作差或作商比较大小；‎ ‎(2)以数列为载体，考查不等式的恒成立问题，此类问题可转化为函数的最值问题；‎ ‎(3)考查与数列问题有关的不等式的证明问题，此类问题常通过构造函数证明，或者直接利用放缩法证明．‎ ‎[解]　(1)∵4Sn＝an·an＋1，n∈N*，‎ ‎“算一算、猜一猜、证一证”是数列中特有的归纳思想，利用这种思想可探索一些一般数列的简单性质．等差数列与等比数列是数列中的两个特殊的基本数列，高考中通常考查的是非等差、等比数列问题，应对的策略就是通过化归思想，将其转化为这两种数列．审题时应注意归纳法的运用，要看清项及下标的特征，要注意下标的范围．‎ ‎[对点训练]‎ ‎3．(2018·临川质检)已知数列{an}满足对任意的n∈N*，都有a＋a＋…＋a＝(a1＋a2＋…＋an)2，且an>0.‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式；‎ ‎(2)设数列的前n项和为Sn，不等式Sn>loga(1－a)对任意的正整数n恒成立，求实数a的取值范围．‎ ‎[解]　(1)由a＋a＋…＋a＝(a1＋a2＋…＋an)2知 a＋a＋…＋a＝(a1＋a2＋…＋an＋1)2，‎ 则a＝(a1＋a2＋…＋an＋1)2－(a1＋a2＋…＋an)2＝an＋1[2(a1＋a2＋…＋an)＋an＋1]，‎ 又an>0，所以a＝2(a1＋a2＋…＋an)＋an＋1，‎ 则a＝2(a1＋a2＋…＋an－1)＋an(n≥2)，‎ 故a－a＝an＋an＋1，所以an＋1－an＝1.‎ 又a＝a，所以a1＝1.‎ 又a＝2a1＋a2，所以a2＝2，所以a2－a1＝1，即当n≥1时，有an＋1－an＝1，‎ 所以数列{an}是首项为1，公差为1的等差数列，故an＝n.‎ ‎(2)由(1)知an＝n，‎ 则＝＝，‎ 所以Sn＝＋＋…＋＝＋＋…＋＝－，‎ 则Sn＋1－Sn＝>0，所以数列{Sn}单调递增，所以(Sn)min＝S1＝.‎ 要使不等式Sn>loga(1－a)对任意正整数n恒成立，只要>loga(1－a)‎ 即可．‎ 易知0a，解得00，‎ 所以解得 所以数列{an}的通项公式为an＝a1＋(n－1)d＝2＋2(n－1)＝2n.‎ ‎(2)证明：由(1)知a1＝d＝2，则Sn＝2n＋×2＝n2＋n.所以＝.‎ 所以Tn＝＋＋＋…＋，①‎ Tn＝＋＋…＋＋.②‎ 由①－②得，Tn＝＋＋＋…＋－.‎ 所以Tn＝2＋＋＋…＋－＝2＋－＝3－－<3.‎ 故Tn<3.‎ ‎4．设各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn，满足4Sn＝a－4n－1，且a1＝1，公比大于1的等比数列{bn}满足b2＝3，b1＋b3＝10.‎ ‎(1)求证数列{an}是等差数列，并求其通项公式；‎ ‎(2)若cn＝，且cn≤t2＋t－2对一切正整数n恒成立，求实数t的取值范围．‎ ‎[解]　(1)因为4Sn＝a－4n－1，所以当n≥2时，4Sn－1＝a－4(n－1)－1，‎ 得4an＝4Sn－4Sn－1＝a－a－4，‎ 即a＝a＋4an＋4＝(an＋2)2.‎ 因为an>0，所以an＋1＝an＋2.‎ 所以当n≥2时，{an}是公差d＝2的等差数列，‎ 又因为a1＝1，a＝4a1＋5＝9，所以a2＝3.‎ 故{an}是首项为1，公差为2的等差数列．‎ 所以数列{an}的通项公式为an＝2n－1.‎ ‎(2)由题意得＋b2q＝10，解得q＝3或q＝(舍去)．‎ 所以bn＝3n－1，cn＝＝.‎ 由cn＋1－cn＝(2n＋1)·n＋1－(2n－1)·n＝n·(1－n)≤0，可得cn的最大值为c1＝，‎ 由cn≤t2＋t－2对一切正整数n恒成立，‎ 得≤t2＋t－2，解得t≥1或t≤－.‎ 即实数t的取值范围为∪[1，＋∞)．‎