安徽省淮南市寿县第二中学2020届高三6月模拟考试数学（理）试卷 22页

理科数学 第I卷 选择题（共60分）‎ 一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。) ‎ ‎1.集合的非空真子集的个数为（ ）‎ A.2 B‎.4 ‎C.6 D.8‎ ‎2.若（，，为虚数单位），则复数在复平面内对应的点所在的象限为（ ）‎ A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 ‎3.已知正项等比数列{an}，若向量，，，则＝（ ）‎ A.12 B. C.5 D.18‎ ‎4.已知数列的首项，函数为奇函数，记为数列的前项之和，则的值是（ ）‎ A. B.1011 C.1008 D.336‎ ‎5.已知实数x，y满足不等式，则的最大值为（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎6.自2019年12月以来，在湖北省武汉市发现多起病毒性肺炎病例，研究表明，该新型冠状病毒具有很强的传染性各级政府反应迅速，采取了有效的防控阻击措施，把疫情控制在最低范围之内.某社区按上级要求做好在鄂返乡人员体格检查登记，有3个不同的住户属在鄂返乡住户，负责该小区体格检查的社区诊所共有4名医生，现要求这4名医生都要分配出去，且每个住户家里都要有医生去检查登记，则不同的分配方案共有（ ）‎ A.12种 B.24种 C.36种 D.72种 ‎7.执行如图所示的程序框图，输出的结果为（ ）‎ A.55 B.35 C.34 D.21‎ ‎8.在直角坐标系中，，分别是双曲线：的左、右焦点，位于第一象限上的点是双曲线上的一点，满足，若点的纵坐标的取值范围是，则双曲线的离心率的取值范围为（ ）‎ A. B.‎ C. D.‎ ‎9.给出下列说法：①“”是“”的充分不必要条件；②命题“，”的否定是“，”；③小赵、小钱、小孙、小李到4个景点旅游，每人只去一个景点，设事件为“4个人去的景点不相同”，事件为“小赵独自去一个景点”，则；④设，其正态分布密度曲线如图所示，那么向正方形中随机投掷10000个点，则落入阴影部分的点的个数的估计值是6587.（注：若，则，）其中正确说法的个数为( )‎ A.1 B.2 C.3 D.4‎ ‎10.函数的大致图象是（ ）‎ A. B.‎ C. D.‎ ‎11.已知三棱锥P-ABC的四个顶点在球O的球面上，PA=PB=PC，△ABC是边长为2的正三角形，E，F分别是PA，PB的中点，∠CEF=90°，则球O的体积为 A. B. C. D. ‎ ‎12.已知函数，若在区间上有个零点，则（ ）‎ A.4042 B.4041 C.4040 D.4039‎ 第II卷 非选择题（共90分）‎ 本卷包括必考题和选考题两部分。第13题--第21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22题--第23题为选考题，考生根据要求作答。‎ 二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分) ‎ ‎14.是展开式中的常数项为________.‎ ‎15.若实数满足，且，则实数值为__________.‎ ‎16.已知函数是奇函数，将的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数为．若的最小正周期为，且，则______．‎ 三、解答题(本大题共6小题,共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。) ‎ ‎17. （本题12分）‎ 的内角，，所对的边分别为，，，已知.‎ ‎（1）求角；‎ ‎（2）若，求面积的取值范围.‎ ‎18. （本题12分）‎ 随着食品安全问题逐渐引起人们的重视，有机、健康的高端绿色蔬菜越来越受到消费者的欢迎，同时生产—运输—销售一体化的直销供应模式,不仅减少了成本，而且减去了蔬菜的二次污染等问题.‎ ‎（1）在有机蔬菜的种植过程中，有机肥料使用是必不可少的.根据统计某种有机蔬菜的产量与有机肥料的用量有关系，每个有机蔬菜大棚产量的增加量（百斤）与使用堆沤肥料（千克）之间对应数据如下表 使用堆沤肥料（千克）‎ ‎2‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎8‎ 产量的增加量（百斤）‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎4‎ ‎4‎ ‎5‎ 依据表中的数据，用最小二乘法求出关于的线性回归方程 ‎；并根据所求线性回归方程，估计如果每个有机蔬菜大棚使用堆沤肥料10千克，则每个有机蔬菜大棚产量增加量是多少百斤?‎ ‎（2）某大棚蔬菜种植基地将采摘的有机蔬菜以每份三斤称重并保鲜分装,以每份10元的价格销售到生鲜超市.“乐购”生鲜超市以每份15元的价格卖给顾客，如果当天前8小时卖不完，则超市通过促销以每份5元的价格卖给顾客（根据经验，当天能够把剩余的有机蔬菜都低价处理完毕，且处理完毕后，当天不再进货）.该生鲜超市统计了100天有机蔬菜在每天的前8小时内的销售量（单位:份），制成如下表格(注:，且)；‎ 前8小时内的销售量（单位:份）‎ ‎15‎ ‎16‎ ‎17‎ ‎18‎ ‎19‎ ‎20‎ ‎21‎ 频数 ‎10‎ x ‎16‎ ‎6‎ ‎15‎ ‎13‎ y 若以100天记录的频率作为每日前8小时销售量发生的概率，该生鲜超市当天销售有机蔬菜利润的期望值为决策依据，当购进17份比购进18份的利润的期望值大时，求的取值范围.‎ 附：回归直线方程为，其中.‎ ‎19. （本题12分）‎ 在中，，.已知分别是的中点.将沿折起，使到的位置且二面角的大小是60°，连接，如图：‎ ‎（1）证明：平面平面 ‎（2）求平面与平面所成二面角的大小.‎ ‎20. （本题12分）‎ 已知为坐标原点，椭圆的右焦点为，过的直线与相交于两点，点满足.‎ ‎（1）当的倾斜角为时，求直线的方程；‎ ‎（2）试探究在轴上是否存在定点，使得为定值？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.‎ ‎21. （本题12分）‎ 已知函数 ‎（I）若，求函数的极值和单调区间；‎ ‎（II）若在区间上至少存在一点，使得成立，求实数的取值范围．‎ 请考生在第22、23题中任选一题作答。注意：只能做选定的题目，如果多做，则按所做的第一题计分，解答时请写清题号。‎ ‎22. [选修4-4：坐标系与参数方程]（本题10分）‎ 在平面直角坐标系中，已知直线的参数方程：（为参数），以原点为极点，轴非负半轴为极轴（取相同单位长度）建立极坐标系，圆的极坐标方程为：．‎ ‎（1）将直线的参数方程化为普通方程，圆的极坐标方程化为直角坐标方程；‎ ‎（2）求圆上的点到直线的距离的最小值．‎ ‎23.[选修4-5：不等式选讲]（本题10分）‎ 已知函数，．‎ ‎（Ⅰ）若，求的取值范围；‎ ‎（Ⅱ）若，对，，都有不等式恒成立，求的取值范围．‎ 参考答案 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ C D D A C C D D C A D B ‎1.C ‎【解析】画出函数和的图象，根据图象知集合有3个元素，得到答案.‎ 画出函数和的图象，根据图象知集合有3个元素，‎ 故集合的非空真子集的个数为.‎ 故选：.‎ ‎2.D ‎【解析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数相等的条件求得a，b的值，则答案可求.‎ 因为 ‎∴，解得 ‎∴复数a﹣bi在复平面内对应的点所在的象限为第四象限.‎ 故选：D.‎ ‎3.D ‎【解析】本题先根据平行向量的坐标运算可得，再根据等比中项的知识，可计算出，在求和时根据对数的运算法则及等比中项的性质可得到正确选项.‎ 由题意，向量，，，‎ 则，即，‎ 根据等比中项的知识，可得，‎ ‎∵，故，‎ ‎∴‎ 故选：D.‎ ‎4.A ‎【解析】根据奇偶性得到，计算知以6为周期循环，计算得到答案.‎ 函数为奇函数，则，‎ 即，周期为.‎ ‎，，，，，.‎ 解得，，，，，，，以6为周期循环.‎ 故.故选：.‎ ‎5.C ‎【解析】根据约束条件画出可行域，目标函数转化为点与连线的斜率，从而求出其最大值.‎ 根据约束条件画出可行域，‎ 图中阴影部分为可行域，‎ 目标函数，‎ 表示可行域中点与连线的斜率，‎ 由图可知点与连线的斜率最大，‎ 故的最大值为，故选：C.‎ ‎6.C ‎【解析】先将4名医生分成3组，其中1组有2人，共有种选法，然后将这3组医生分配到3个不同的住户中去，有种方法，由分步原理可知共有种.‎ 不同分配方法总数为种.故选：C ‎7.D ‎【解析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，即可求得答案.‎ 模拟程序的运行过程：‎ 第1次：；‎ 第2次：；‎ 第3次：；‎ 第4次：；‎ 第5次：；‎ 第6次：；‎ 退出循环故输出的结果为：。故选：D.‎ ‎8.D ‎【解析】利用以及求得，根据的取值范围求得的取值范围，由此求得的取值范围，进而求得双曲线的离心率的取值范围.‎ ‎，由，可得，又，解得，由于，所以，，，，.故选：D ‎9.C ‎【解析】①由，故“”是“”的充分不必要条件，①正确；‎ ‎②命题“，”的否定是“，”， ②错误；‎ ‎③由条件概率的计算公式得，③正确；‎ ‎④由已知落入阴影部分的点的个数的估计值是 ‎，④正确.。故选：C.‎ ‎10.A ‎【解析】先判断函数的奇偶性,再求，进行排除，可得选项．‎ 由题意得，所以函数是奇函数，排除C、D选项；当时，，因此排除B，故选A．‎ ‎11.D ‎【解析】先证得平面，再求得，从而得为正方体一部分，进而知正方体的体对角线即为球直径，从而得解.‎ 解法一:为边长为2的等边三角形，为正三棱锥，‎ ‎，又，分别为、中点，‎ ‎，，又，平面，平面，，为正方体一部分，，即 ，故选D．‎ 解法二:‎ 设，分别为中点，‎ ‎，且，为边长为2的等边三角形，‎ 又 中余弦定理，作于，，‎ 为中点，，，‎ ‎，，又，两两垂直，，，，故选D.‎ ‎12.B ‎【解析】由题意，设，，由函数的奇偶性可得，由三角函数的性质可得，再由即可得解.‎ 由题意，‎ 设，，‎ 则为方程的根即为函数与交点的横坐标，‎ 当时，，且，所以函数为奇函数；‎ ‎，所以函数为奇函数；‎ 所以，所以，‎ 函数的图象，如图，‎ 函数的最小正周期，且，‎ 所以在，，上，均有两个不等实根，‎ 所以在上，共有个不等实根，‎ 所以在上，共有个不等实根，‎ 又，所以在上共有4041个不等实根即，‎ 所以 ‎.‎ 故选：B.‎ ‎13.‎ ‎【解析】根据题意，设向量与向量的夹角为，因为向量，的夹角为，且，，求得和，根据，即可求得夹角为.‎ 设向量与向量的夹角为，‎ 向量，的夹角为，且，，‎ 则 又 故答案为：．‎ ‎14.‎ ‎【解析】根据二项展开式的通项公式得出通项，根据方程思想得出的值，再求出其常数项。‎ ‎，‎ 由，得，‎ 所以的常数项为.‎ ‎15.‎ ‎【解析】现结合指数与对数的互化公式，表示出，再结合换底公式表示出，最后结合对数运算即可求解 由可得，又，即 ‎，求得。故答案为：‎ ‎16.‎ ‎【解析】根据奇函数性质求得，由横坐标的变化情况及的最小正周期可求得，进而得表达式，代入可求得，即可得的解析式；代入即可求得的值.‎ 函数是奇函数，‎ 所以，代入可得，‎ 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数为．‎ 则，的最小正周期为，‎ 则 ，解得，‎ 所以，‎ 因为，代入可得，‎ 解得，‎ 所以，‎ 则，故答案为：.‎ ‎17.（1）；（2）.‎ ‎【解析】（1）由及正弦定理得：，‎ 所以，即，因为，‎ 所以，又因为，所以.‎ ‎（2）因为，由正弦定理得，，‎ 因为，‎ 所以，因为，所以，‎ 所以，‎ 即 ‎.‎ 因为，则，‎ 所以，所以.‎ 即面积的取值范围为.‎ ‎18.（Ⅰ）,百斤；（Ⅱ）.‎ ‎【解析】（Ⅰ）结合公式得 ‎，‎ ‎，‎ ‎，，‎ 所以关于的线性回归方程为：，‎ 当时，百斤，‎ 所以如果每个有机蔬菜大概使用肥料千克，‎ 估计每个有机蔬菜大概产量的增加量是百斤．‎ ‎（Ⅱ）若该超市一天购进份这种有机蔬菜，表示当天的利润（单位：元），那么的分布列为 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 的数学期望，‎ 若该超市一天购进份这种有机蔬菜，表示当天的利润（单位：元），那么的分布列为：‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 的数学期望，‎ 又购进份比购进份的利润的期望值大，故，求得 ‎，故求得的取值范围是，‎ ‎19．【解析】（1）设的中点为，连接，设的中点为，连接，，从而即为二面角的平面角，，推导出，从而平面，则，即，进而平面，推导四边形为平行四边形，从而，平面，由此即可得证.‎ ‎（2）以B为原点，在平面中过B作BE的垂线为x轴，BE为y轴，BA为z轴建立空间直角坐标系，利用向量法求出平面与平面所成二面角的大小.‎ ‎（1）∵是的中点，∴.‎ 设的中点为，连接.‎ 设的中点为，连接，.‎ 易证：，，‎ ‎∴即为二面角的平面角.‎ ‎∴，而为的中点.‎ 易知，∴为等边三角形，∴.①‎ ‎∵，，，∴平面.‎ 而，∴平面，∴，即.②‎ 由①②，，∴平面.‎ ‎∵分别为的中点.‎ ‎∴四边形为平行四边形.‎ ‎∴，平面，又平面.‎ ‎∴平面平面.‎ ‎（2）如图，建立空间直角坐标系，设.‎ 则，，，，‎ 显然平面的法向量，‎ 设平面的法向量为，，，‎ ‎∴，∴.‎ ‎，‎ 由图形观察可知，平面与平面所成的二面角的平面角为锐角.‎ ‎∴平面与平面所成的二面角大小为45°.‎ ‎20.（1）；（2）在轴上是否存在定点，，使得为定值．‎ ‎【解析】（1）椭圆的右焦点为，‎ 直线的方程为，‎ 由，解得或， ‎ 不妨设，，，‎ 点满足．点，，‎ 则，所以直线的方程为．‎ ‎（2）假设，设直线的方程为，，，，，‎ 由，消可得，‎ ‎，，‎ ‎，，，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ 当且仅当，即时，为定值．‎ 故在轴上是否存在定点，，使得为定值．‎ ‎21.（I）时，的极小值为1；单调递增区间为，单调递减区间为；（II）．‎ ‎【解析】（I）因为，‎ 当，．‎ 令，得．‎ 又的定义域为，随的变化情况如下表：‎ 所以时，的极小值为1．‎ 的单调递增区间为，单调递减区间为．‎ ‎（II）因为，且，‎ 令，得到．‎ 若在区间上存在一点，使得成立，‎ 其充要条件是在区间上的最小值小于0即可．‎ ‎（1）当时，对成立，‎ 所以，在区间上单调递减，‎ 故在区间上的最小值为，‎ 由，得，即 ‎（2）当时，‎ ‎①若，则对成立，‎ 所以在区间上单调递减，‎ 所以，在区间上的最小值为，‎ 显然，在区间上的最小值小于0不成立 ‎②若，即时，则有 所以在区间上的最小值为，‎ 由，‎ 得，解得，即舍去；‎ 当，即，即有在递增，‎ 可得取得最小值，且为1，，不成立．‎ 综上，由（1）（2）可知符合题意．‎ ‎22.（1）直线的普通方程为．圆的普通方程为；（2）．‎ ‎【解析】（1）直线的参数方程消去参数得普通方程为：；‎ 由得：，，‎ 圆的普通方程为；‎ ‎（2）在圆上任取一点，‎ 则到直线的距离为 当时，，此时．‎ ‎23.（Ⅰ）；（Ⅱ）.‎ ‎【解析】（Ⅰ）由题意知，，‎ 若，则不等式化为，解得；‎ 若，则不等式化为，解得，即不等式无解；‎ 若，则不等式化为，解得，‎ 综上所述，的取值范围是；‎ ‎（Ⅱ）由题意知，要使得不等式恒成立，‎ 只需，‎ 当时，，，‎ 因为，所以当时，‎ ‎，‎ 即，解得，‎ 结合，所以的取值范围是.‎