【数学】2018届一轮复习人教B版　平面向量与复数学案 87页

第五章 平面向量与复数 1.平面向量 (1)平面向量的实际背景及基本概念 ①了解向量的实际背景． ②理解平面向量的概念和两个向量相等的含义． ③理解向量的几何表示． (2)向量的线性运算 ①掌握向量加法、减法的运算，理解其几何意义． ②掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义． ③了解向量线性运算的性质及其几何意义． (3)平面向量的基本定理及坐标表示 ①了解平面向量的基本定理及其意义． ②掌握平面向量的正交分解及其坐标表示． ③会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算． ④理解用坐标表示的平面向量共线的条件． (4)平面向量的数量积 ①理解平面向量数量积的含义及其物理意义． ②了解平面向量的数量积与向量投影的关系． ③掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算． ④能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系． (5)向量的应用 ①会用向量方法解决某些简单的平面几何问题． ②会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题． 2．数系的扩充和复数的引入 (1)理解复数的基本概念，理解复数相等的充要条件． (2)了解复数的代数表示法及其几何意义；能将代数形式的复数在复平面上用点或向量 表示，并能将复平面上的点或向量所对应的复数用代数形式表示． (3)能进行复数代数形式的四则运算，了解两个具体复数相加、相减的几何意义． 5．1 平面向量的概念及线性运算 1．向量的有关概念 (1)向量：既有____________又有____________的量叫做向量，向量的大小，也就是向 量的____________(或称模).AB→的模记作____________． (2)零向量：____________的向量叫做零向量，其方向是________的． (3)单位向量：长度等于__________________的向量叫做单位向量. a |a| 是一个与 a 同向的 ____________．－ a |a| 是一个与 a________的单位向量． (4)平行向量：方向________或________的________向量叫做平行向量．平行向量又叫 ____________，任一组平行向量都可以移到同一直线上． 规定：0 与任一向量____________． (5)相等向量：长度____________且方向____________的向量叫做相等向量． (6)相反向量：长度____________且方向____________的向量叫做相反向量． (7)向量的表示方法：用________表示；用____________表示；用________表示． 2．向量的加法和减法 (1)向量的加法 ①三角形法则：以第一个向量 a 的终点 A 为起点作第二个向量 b，则以第一个向量 a 的 起点 O 为________以第二个向量 b 的终点 B 为________的向量OB→就是 a 与 b 的________(如 图 1)． 推广：A1A2 → ＋A2A3 → ＋…＋An－1An＝____________. 图 1 图 2 ②平行四边形法则：以同一点 A 为起点的两个已知向量 a，b 为邻边作ABCD，则以 A 为起点的__________就是 a 与 b 的和(如图 2)．在图 2 中， BC→＝AD→＝b，因此平行四边形 法则是三角形法则的另一种形式． ③加法的运算性质： a＋b＝____________(交换律)； (a＋b)＋c＝____________(结合律)； a＋0＝____________＝a. (2)向量的减法 已知向量 a，b，在平面内任取一点 O，作OA→＝a，OB→＝b，则BA→＝____________，即 a－ b 表示从向量 b 的终点指向向量 a(被减向量)的终点的向量(如图)． 3．向量的数乘及其几何意义 (1)定义：实数λ与向量 a 的积是一个向量，记作____________，它的长度与方向规定 如下： ①|λa|＝____________； ②当λ>0 时，λa 与 a 的方向____________； 当λ<0 时，λa 与 a 的方向____________； 当λ＝0 时，λa＝____________. (2)运算律：设λ，μ∈R，则： ①λ(μa)＝____________； ②(λ＋μ)a＝____________； ③λ(a＋b)＝____________. 4．两个向量共线定理 向量 a(a≠0)与 b 共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使得____________． 自查自纠： 1．(1)大小 方向 长度 |AB→| (2)长度为 0 任意 (3)1 个单位长度 单位向量 方向相反 (4)相同 相反 非零 共线向量 平行 (5)相等 相同 (6)相等 相反 (7)字母 有向线段 坐标 2．(1)①起点 终点 和 A1An → ②对角线AC→ ③b＋a a＋(b＋c) 0＋a (2)a－b 3．(1)λa ①|λ||a| ②相同 相反 0 (2)①μ(λa) ②λa＋μa ③λa＋λb 4．b＝λa 设 a0 为单位向量，①若 a 为平面内的某个向量，则 a＝|a|a0；②若 a 与 a0 平行，则 a＝|a|a0；③若 a 与 a0 平行且|a|＝1，则 a＝a0.上述命题中，假命题的个数是( ) A．0 B．1 C．2 D．3 解：向量是既有大小又有方向的量，a 与|a|a0 的模相同，但方向不一定相同，故①是 假命题；若 a 与 a0 平行，则当 a 为零向量时，a 的方向任意；当 a 不为零向量时，a 与 a0 的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时 a＝－|a|a0，故②③也是假命题．综上所 述，假命题的个数是 3.故选 D. 设 D 为△ABC 所在平面内一点，BC→＝3CD→，则( ) A.AD→＝－1 3 AB→＋4 3 AC→ B.AD→＝1 3 AB→－4 3 AC→ C.AD→＝4 3 AB→＋1 3 AC→ D.AD→＝4 3 AB→－1 3 AC→ 解：AD→＝AC→＋CD→＝AC→＋1 3 BC→＝AC→＋1 3 (AC→－AB→)＝－1 3 AB→＋4 3 AC→.故选 A. (2015·东北三省联考)在四边形 ABCD 中，若AC→＝AB→＋AD→，则四边形 ABCD 一定是 ( ) A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．平行四边形 解：依题意得AC→＝AB→＋BC→＝AB→＋AD→，则BC→＝AD→，因此 BC∥AD 且 BC＝AD，故四边形 ABCD 一定是平行四边形．故选 D. 在平行四边形 ABCD 中，点 E 为 CD 的中点，AM→＝mAB→，AN→＝nAD→(mn≠0)，若MN→∥BE→， 则n m ＝________. 解：MN→＝AN→－AM→＝nAD→－mAB→，BE→＝BC→＋ CE→＝AD→－1 2 AB→，因为MN→∥BE→，且向量AD→和AB→不 共线，所以n 1 ＝ －m －1 2 ，解得n m ＝2.故填 2. 直角三角形 ABC 中，斜边 BC 长为 2，O 是平面 ABC 内一点，点 P 满足OP→＝OA→＋1 2 (AB→ ＋AC→)，则|AP→|＝________. 解：如图， 取 BC 边中点 D，连接 AD，则1 2 (AB→＋AC→)＝AD→，OP→＝OA→＋1 2 (AB→＋AC→)⇒OP→＝OA→＋AD→⇒OP→－OA→ ＝AD→⇒AP→＝AD→，因此|AP→|＝|AD→|＝1.故填 1. 类型一 向量的基本概念 给出下列命题： ①两个向量相等，则它们的起点相同，终点也相同； ②若|a|＝|b|，则 a＝b； ③若AB→＝DC→，则四点 A，B，C，D 构成平行四边形； ④在▱ ABCD 中，一定有AB→＝DC→； ⑤若 m＝n，n＝p，则 m＝p. 其中不正确的个数是( ) A．2 B．3 C．4 D．5 解：两个向量起点相同，终点也相同，则两个向量相等；但两个相等向量，不一定有相 同的起点和终点，故①不正确．若|a|＝|b|，由于 a 与 b 方向不确定，所以 a，b 不一定相 等，故②不正确．若 AB→＝DC→，可能有 A，B，C，D 在一条直线上的情况，所以③不正确．正 确的是④⑤.故选 B. 点拨： 从共线向量、单位向量、相反向量等的概念及特征逐一进行考察．(1)向量定义的关键 是方向和长度．(2)非零共线向量的关键是方向相同或相反，长度没有限制．(3)相等向量的 关键是方向相同且长度相等．(4)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关．(5)向量可以 平移，平移后的向量与原向量是相等向量，解题时，不要把它与函数图象的移动混为一谈． 下列命题中，正确的是________．(填序号) ①有向线段就是向量，向量就是有向线段； ②向量 a 与向量 b 平行，则 a 与 b 的方向相同或相反； ③向量AB→与向量CD→共线，则 A，B，C，D 四点共线； ④如果 a∥b，b∥c，那么 a∥c； ⑤两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小． 解：①不正确，向量可以用有向线段表示，但向量不是有向线段，有向线段也不是向量； ②不正确，若 a 与 b 中有一个为零向量，零向量的方向是任意的，故两向量方向不一定 相同或相反； ③不正确，共线向量所在的直线可以重合，也可以平行； ④不正确，如果 b 为零向量，则 a 与 c 不一定平行； ⑤正确，向量既有大小，又有方向，不能比较大小；向量的模均为实数，可以比较大小．故 填⑤. 类型二 向量的线性运算 在△ABC 中，E，F 分别为 AC，AB 的中点，BE 与 CF 相交于 G 点，设AB→＝a，AC→＝ b，试用 a，b 表示AG→. 解法一：AG→＝AB→＋BG→＝AB→＋2 3 BE→＝AB→＋ 2 3 (AE→－AB→)＝AB→＋2 3 1 2 AC→－AB→ ＝1 3 AB→＋1 3 AC→＝ 1 3 a＋1 3 b. 解法二：由于 G 是△ABC 的中线 BE 与 CF 的交点，所以 G 为△ABC 的重心．延长 AG 交 BC 于 H，由重心的性质知，AG→＝2 3 AH→＝2 3 ×1 2 (AB→＋AC→)＝1 3 a＋1 3 b. 点拨： (1)进行向量运算时，要尽可能转化到平行四边形或三角形中，选用从同一顶点出发的 基本向量或首尾相接的向量，运用向量加、减法运算及数乘运算来解决．(2)除了充分利用 相等向量、相反向量和线段的比例关系外，有时还需要利用三角形中位线、相似三角形对应 边成比例等平面几何的性质，把未知向量转化为与已知向量有直接关系的向量来求解．(3) 在解答用已知向量线性表示未知向量的问题时，可以利用共线向量定理，将共线向量用参数 表示，再利用平面向量基本定理，建立参数的方程(组)求解参数，最后得出结论． (1)设 P 是△ABC 所在平面内一点，BC→＋BA→＝2BP→，则( ) A.PA→＋PB→＝0 B.PC→＋PA→＝0 C.PB→＋PC→＝0 D.PA→＋PB→＋PC→＝0 解：如图， 根据向量加法的几何意义有BC→＋BA→＝2BP→⇔P 是 AC 的中点，故PC→＋PA→＝0.故选 B. (2)(2014·全国Ⅰ)设 D，E，F 分别为△ABC 的三边 BC，CA，AB 的中点，则EB→＋FC→＝ ( ) A.AD→ B.1 2 AD→ C.BC→ D.1 2 BC→ 解：EB→＋FC→＝1 2 (AB→＋CB→)＋1 2 (AC→＋BC→) ＝1 2 (AB→＋AC→)＝AD→.故选 A. 类型三 向量共线的充要条件及其应用 已知 A，B，C 是平面内三个不相同的点，O 是平面内任意一点，求证：向量OA→， OB→，OC→的终点 A，B，C 共线的充要条件是存在实数λ，μ，使得OC→＝λOA→＋μOB→，且λ＋μ ＝1. 证明：(1)先证必要性． 若OA→，OB→，OC→的终点 A，B，C 共线，则AB→∥BC→， 所以存在实数 m 使得BC→＝mAB→，即OC→－OB→＝m(OB→－OA→)， 所以OC→＝－mOA→＋(1＋m)OB→. 令λ＝－m，μ＝1＋m， 则λ＋μ＝－m＋1＋m＝1， 即存在实数λ，μ，使得OC→＝λOA→＋μOB→， 且λ＋μ＝1. (2)再证充分性． 若OC→＝λOA→＋μOB→，且λ＋μ＝1， 则OC→＝λOA→＋(1－λ)OB→， 所以OC→－OB→＝λ(OA→－OB→)，即BC→＝λBA→， 所以BC→∥BA→，又 BC 与 BA 有公共点 B， 所以 A，B，C 三点共线． 综合(1)(2)可知，原命题成立． 点拨： 证明三点 A，B，C 共线，借助向量，只需证明由这三点 A，B，C 所组成的向量中有两个 向量共线，即证明存在一个实数λ，使AB→＝λBC→.但证明两条直线 AB∥CD，除了证明存在一 个实数λ，使AB→＝λCD→外，还要说明两直线不重合．注意：本例的结论可作定理使用． (1)已知向量 a，b，且AB→＝a＋2b，BC→＝－5a＋6b，CD→＝7a－2b，则一定共线 的三点是( ) A．A，B，D B．A，B，C C．B，C，D D．A，C，D 解：BD→＝BC→＋CD→＝(－5a＋6b)＋(7a－2b)＝2a＋4b＝2(a＋2b)＝2AB→，所以 A，B，D 三 点共线．故选 A. (2)设两个非零向量 a 与 b 不共线，若 ka＋b 和 a＋kb 共线，则实数 k＝________. 解：因为 ka＋b 和 a＋kb 共线，所以存在实数λ，使 ka＋b＝λ(a＋kb)，即 ka＋b＝ λa＋λkb.所以(k－λ)a＝(λk－1)b.因为 a，b 是两个不共线的非零向量，所以 k－λ＝ λk－1＝0，所以 k2－1＝0.所以 k＝±1.故填±1. (3)如图，在△ABC 中，M 为边 BC 上任意一点，N 为 AM 的中点．若AN→＝λAB→＋μAC→，则 λ＋μ的值为( ) A.1 2 B.1 3 C.1 4 D．1 解：由 N 为 AM 的中点， 可得AN→＝1 2 AM→＝λAB→＋μAC→， 整理得AM→＝2λAB→＋2μAC→，由 B，M，C 三点共线可得 2λ＋2μ＝1，即λ＋μ＝1 2 .故选 A. 1．准确理解向量的概念，请特别注意以下几点： (1)a∥b，有 a 与 b 方向相同或相反两种情形； (2)向量的模与数的绝对值有所不同，如|a|＝|b|⇒/a＝±b； (3)零向量的方向是任意的，并不是没有，零向量与任意向量平行； (4)对于任意非零向量 a， a |a| 是与 a 同向的单位向量，这也是求单位向量的方法； (5)向量平行，其所在直线不一定平行，两向量还可能在一条直线上； (6)只要不改变向量 a 的大小和方向，可以自由平移 a，平移后的向量与 a 相等，所以 线段共线与向量共线是有区别的，当两向量共线且有公共点时，才能得出线段共线，向量的 共线与向量的平行是一致的． 2．向量具有大小和方向两个要素，既能像实数一样进行某些运算，又有直观的几何意 义，是数与形的完美结合．向量是一个几何量，因此，在研究向量的有关问题时，一定要结 合图形进行分析、判断，这是研究平面向量最重要的方法与技巧． 3．向量加法的三角形法则可简记为“首尾相接，指向终点”；减法法则可简记为“起 点重合，指向被减向量”；加法的平行四边形法则可简记 “起点重合，指向对角顶点”． 4．平面向量的三种线性运算的结果仍为向量，在三种线性运算中，加法是最基本、最 重要的运算，减法运算与数乘运算都以加法运算为基础，都可以归结为加法运算． 5．对于两个向量共线定理(a(a≠0)与 b 共线⇔存在唯一实数λ使得 b＝λa)中条件 “a≠0”的理解： (1)当 a＝0 时，a 与任一向量 b 都是共线的； (2)当 a＝0 且 b≠0 时，b＝λa 是不成立的，但 a 与 b 共线． 因此，为了更具一般性，且使充分性和必要性都成立，我们要求 a≠0.换句话说，如果 不加条件“a≠0”，“a 与 b 共线”是“存在唯一实数λ使得 b＝λa”的必要不充分条件． 1．设 a，b 都是非零向量，下列四个条件中，使 a |a| ＝ b |b| 成立的充分条件是( ) A．a＝－b B．a∥b C．a＝2b D．a∥b 且|a|＝|b| 解：由题意 a |a| ＝ b |b| 表示与向量 a 和向量 b 同向的单位向量相等，故 a 与 b 同向共线．故 选 C. 2．已知向量 a，b 不共线，c＝ka＋b(k∈R)，d＝a－b.如果 c∥d，那么( ) A．k＝1 且 c 与 d 同向 B．k＝1 且 c 与 d 反向 C．k＝－1 且 c 与 d 同向 D．k＝－1 且 c 与 d 反向 解：因为 c∥d，所以存在实数λ，使得 c＝λd，即 ka＋b＝λ(a－b)，所以 k＝λ， 1＝－λ， 解得 k＝－1， λ＝－1. 此时 c＝－d.所以 c 与 d 反向．故选 D. 3．已知 O，A，M，B 为平面上四点，且OM→＝λOB→＋(1－λ)OA→，实数λ∈(1，2)，则 ( ) A．点 M 在线段 AB 上 B．点 B 在线段 AM 上 C．点 A 在线段 BM 上 D．O，A，M，B 四点一定共线 解：由题意得OM→－OA→＝λ(OB→－OA→)，即AM→＝λAB→.又λ∈(1，2)，所以点 B 在线段 AM 上．故选 B. 4．已知 O 是△ABC 所在平面内一点，D 为 BC 的中点，且 2OA→＋OB→＋OC→＝0，则( ) A.AO→＝2OD→ B.AO→＝OD→ C.AO→＝3OD→ D．2AO→＝OD→ 解：因为 D 为 BC 的中点，所以由 2OA→＋OB→＋OC→＝0 得OB→＋OC→＝－2OA→＝2AO→，即 2OD→＝2AO→， 所以AO→＝OD→.故选 B. 5．在直角梯形 ABCD 中，∠A＝90°，∠B＝30°，AB＝2 3，BC＝2，点 E 在线段 CD 上， 若 AE→＝AD→＋μAB→，则μ的取值范围是( ) A． B． C. 0，1 2 D. 1 2 ，2 解：由题意可求得 AD＝1，CD＝ 3， 所以AB→＝2DC→. 因为点 E 在线段 CD 上， 所以DE→＝λDC→(0≤λ≤1)． 且AE→＝AD→＋DE→， 又AE→＝AD→＋μAB→＝AD→＋2μDC→，即DE→＝2μDC→， 所以λ＝2μ.因为 0≤λ≤1， 所以 0≤μ≤1 2 .故选 C. 6．如图所示，已知点 G 是△ABC 的重心，过 G 作直线与 AB，AC 两边分别交于 M，N 两 点，且 AM→＝xAB→，AN→＝yAC→，x，y∈R，则 xy x＋y 的值为( ) A．3 B.1 3 C．2 D.1 2 解法一：由点 G 是△ABC 的重心，知AG→＝2 3 ×1 2 (AB→＋AC→)＝1 3 (AB→＋AC→)．又 M，N，G 三点 共线(A 不在直线 MN 上)，于是存在λ，μ∈R，使得 AG→＝λAM→＋μAN→(且λ＋μ＝1)，则 AG→＝λxAB→＋ μyAC→＝1 3 (AB→＋AC→)，所以 λ＋μ＝1， λx＝μy＝1 3 ， 于是得1 x ＋1 y ＝3，所以 xy x＋y ＝ 1 1 x ＋1 y ＝1 3 . 解法二：特殊化法，取 MN∥BC，易得 xy x＋y ＝1 3 .故选 B. 7．设 D，E 分别是△ABC 的边 AB，BC 上的点，AD→＝1 2 AB→，BE→＝2 3 BC→.若DE→＝λ1AB→＋λ2AC→(λ1， λ2 为实数)，则λ1＋λ2 的值为________． 解：DE→＝BE→－BD→＝2 3 BC→－1 2 BA→＝2 3 (AC→－ AB→)＋1 2 AB→＝－1 6 AB→＋2 3 AC→， 因为DE→＝λ1AB→＋λ2AC→，所以λ1＝－1 6 ，λ2＝2 3 ， 从而λ1＋λ2＝1 2 .故填1 2 . 8．已知|OA→|＝1，|OB→|＝ 3，OA→·OB→＝0，点 C 在∠AOB 内，且∠AOC＝30°，设OC→＝mOA→ ＋nOB→(m，n∈R＋)，则m n ＝________. 解：如图， 设 mOA→＝OF→，nOB→＝OE→，则OC→＝OF→＋OE→，因为∠AOC＝30°， 所以|OC→|cos30°＝|OF→|＝m|OA→|＝m， |OC→|sin30°＝|OE→|＝n|OB→|＝ 3n，两式相 除得 m 3n ＝ |OC→|cos30° |OC→|sin30° ＝ 1 tan30° ＝ 3，所以m n ＝3.另外此题也可用坐标求解．故填 3. 9．如图，在梯形 ABCD 中，AB∥CD，且 AB＝2CD，M，N 分别是 DC 和 AB 的中点， 若AB→＝a，AD→＝b，试用 a，b 表示BC→和MN→. 解：BC→＝BA→＋AD→＋DC→＝－a＋b＋1 2 a＝b－1 2 a. MN→＝MD→＋DA→＋AN→＝－1 4 a＋(－b)＋1 2 a＝1 4 a－b. 10．设两个非零向量 e1 和 e2 不共线． (1)如果AB→＝e1－e2，BC→＝3e1＋2e2，CD→＝ －8e1－2e2，求证：A，C，D 三点共线； (2)如果AB→＝e1＋e2，BC→＝2e1－3e2，CD→＝ 2e1－ke2，且 A，C，D 三点共线，求 k 的值． 解：(1)证明：因为AB→＝e1－e2，BC→＝3e1＋2e2，CD→＝－8e1－2e2，所以AC→＝AB→＋BC→＝4e1 ＋e2＝ －1 2 (－8e1－2e2)＝－1 2 CD→， 所以AC→与CD→共线． 又因为AC→与CD→有公共点 C，所以 A，C，D 三点共线． (2)AC→＝AB→＋BC→＝(e1＋e2)＋(2e1－3e2)＝ 3e1－2e2， 因为 A，C，D 三点共线， 所以AC→与CD→共线，从而存在实数λ使得AC→＝λCD→， 即 3e1－2e2＝λ(2e1－ke2)， 得 3＝2λ， －2＝－λk， 解得λ＝3 2 ，k＝4 3 .故 k 的值为4 3 . 11．如图所示，在△ABO 中，OC→＝1 4 OA→，OD→＝1 2 OB→，AD 与 BC 相交于点 M，设OA→＝a，OB→＝ b.试用 a 和 b 表示向量OM→. 解：因为 A，M，D 三点共线， 所以OM→＝λ1OD→＋(1－λ1)OA→ ＝1 2 λ1b＋(1－λ1)a，① 因为 C，M，B 三点共线， 所以OM→＝λ2OB→＋(1－λ2)OC→＝λ2b＋1－λ2 4 a，② 由①②可得 1 2 λ1＝λ2， 1－λ1＝1－λ2 4 ， 解得 λ1＝6 7 ， λ2＝3 7 . 故OM→＝1 7 a＋3 7 b. 设 A1，A2，A3，A4 是平面直角坐标系中两两不同的四点，若A1A3 → ＝λA1A2 → (λ∈R)， A1A4 → ＝μA1A2 → (μ∈R)，且 1 λ ＋ 1 μ ＝2，则称 A3，A4 调和分割 A1，A2.已知平面上的点 C，D 调和 分割点 A，B，则下面说法正确的是( ) A．C 可能是线段 AB 的中点 B．D 可能是线段 AB 的中点 C．C，D 可能同时在线段 AB 上 D．C，D 不可能同时在线段 AB 的延长线上 解：若 C，D 调和分割点 A，B，则AC→＝λAB→(λ∈R)，AD→＝μAB→(μ∈R)，且 1 λ ＋ 1 μ ＝2. 对于选项 A，若 C 是线段 AB 的中点，则AC→＝1 2 AB→⇒λ＝1 2 ⇒ 1 μ ＝0，故 A 选项错误；同理 B 选 项错误；对于选项 C，若 C，D 同时在线段 AB 上，则 0＜λ＜1，0＜μ＜1⇒ 1 λ ＋ 1 μ ＞2，C 选项错误；对于选项 D，若 C，D 同时在线段 AB 的延长线上，则λ＞1，μ＞1⇒ 1 λ ＋ 1 μ ＜2， 故 C，D 不可能同时在线段 AB 的延长线上，D 选项正确．故选 D. 5．2 平面向量的基本定理及坐标表示 1．平面向量基本定理 如果 e1，e2 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量 a，有且 只有一对实数λ1，λ2，使_________________________． 我们把不共线的向量 e1，e2 叫做表示这一平面内所有向量的一组__________． 2．向量的夹角 (1)已知两个________向量 a 和 b，作OA→＝a，OB→＝b，则∠AOB＝θ叫做向量 a 与 b 的夹 角(如图)． (2)向量夹角θ的范围是_______________．a 与 b 同向时，夹角θ＝________；a 与 b 反向时，夹角θ＝____________. (3)如果向量 a 与 b 的夹角是____________，我们就说 a 与 b 垂直，记作____________． 3．平面向量的正交分解及坐标表示 (1)平面向量的正交分解 把一个向量分解为两个____________的向量，叫做向量的正交分解． (2)在平面直角坐标系内，分别取与 x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量 i，j 作为基底．任 作一个向量 a，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数 x，y，使得 a＝xi＋yj.则实数 对__________叫做向量 a 的(直角)坐标，记作 a＝__________，其中 x 叫做 a 在 x 轴上的坐 标，y 叫做 a 在 y 轴上的坐标，该式叫做向量的坐标表示．与 a 相等的向量的坐标也为 ________．显然，i＝_____________， j＝_____________，0＝_____________. 4．平面向量的坐标运算 (1)已知 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 a±b＝__________________________. (2)如果 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB→＝_________________________. (3)若 a＝(x，y)，则λa＝____________. (4)如果 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)(b≠0)，则 a∥b 的充要条件是____________________． 自查自纠： 1．a＝λ1e1＋λ2e2 基底 2．(1)非零 (2)0°≤θ≤180° 0° 180° (3)90° a⊥b 3．(1)互相垂直 (2)(x，y) (x，y) (x，y) (1，0) (0，1) (0，0) 4．(1)(x1±x2，y1±y2) (2)(x2－x1，y2－y1) (3)(λx，λy) (4)x1y2－x2y1＝0 (2015·全国Ⅰ)已知点 A(0，1)，B(3，2)，向量AC→＝(－4，－3)，则向量BC→＝( ) A．(－7，－4) B．(7，4) C．(－1，4) D．(1，4) 解：AB→＝(3，1)，BC→＝AC→－AB→＝(－4， －3)－(3，1)＝(－7，－4)．故选 A. 在下列向量组中，可以把向量 a＝(3，2)线性表示出来的是( ) A．e1＝(0，0)，e2＝(1，2) B．e1＝(－1，2)，e2＝(5，－2) C．e1＝(3，5)，e2＝(6，10) D．e1＝(2，－3)，e2＝(－2，3) 解：一个平面内任意不共线的两个向量都可以作为平面的一组基底，它能表示出平面内 的其他向量．A 中，e1＝0，且 e2 与 a 不共线；C，D 中的两个向量都是共线向量且不与 a 共 线，故表示不出 a.B 中的两个向量不共线，可以作为平面的一组基底，故可以表示出 a.故 选 B. 已知向量 a＝(1，m)，b＝(m，2)，若 a∥b，则实数 m 等于( ) A．－ 2 B. 2 C．－ 2或 2 D．0 解：由 a∥b 知 1×2－m2＝0，所以 m＝± 2.故选 C. (2015·江苏)已知向量 a＝(2，1)，b＝(1，－2)，若 ma＋nb＝(9，－8)(m，n∈R)， 则 m－n 的值为________． 解：因为 ma＋nb＝(2m＋n，m－2n)＝(9， －8)，所以 2m＋n＝9， m－2n＝－8， 解得 m＝2， n＝5， 故 m－n＝－3.故填－3. 已知两点 A(1，0)，B(1，1)，O 为坐标原点，点 C 在第二象限内，且∠AOC＝135°， 设 OC→＝－OA→＋λOB→(λ∈R)，则λ的值为________． 解：由∠AOC＝135°知，点 C 在射线 y＝ －x(x<0)上，设点 C 的坐标为(a，－a)， a<0，则有(a，－a)＝(－1＋λ，λ)，得 a＝－1＋λ， －a＝λ， 消掉 a 得λ＝1 2 .故填1 2 . 类型一 向量共线充要条件的坐标表示 平面内给定三个向量 a＝(3，2)，b＝(－1，2)，c＝(4，1)． (1)求满足 a＝mb＋nc 的实数 m，n； (2)若(a＋kc)∥(2b－a)，求实数 k 的值； (3)若 n≠0，且 ma＋nb 与 a－2b 共线，求m n 的值． 解：(1)由题意得(3，2)＝m(－1，2)＋n(4，1)， 所以 －m＋4n＝3， 2m＋n＝2， 解得 m＝5 9 ， n＝8 9 . (2)a＋kc＝(3＋4k，2＋k)，2b－a＝(－5，2)， 由题意得 2×(3＋4k)－(－5)×(2＋k)＝0， 解得 k＝－16 13 . (3)ma＋nb＝(3m－n，2m＋2n)， a－2b＝(5，－2)， 由题意得－2(3m－n)－5(2m＋2n)＝0， 解得m n ＝－1 2 . 点拨： 解决此类题目，我们只需要牢记：(1)两平面向量共线的充要条件有两种形式：①若 a ＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 a∥b(b≠0)的充要条件是 x1y2－ x2y1＝0；②a∥b(a≠0)，当 且仅当唯一一个实数λ，使 b＝λa.(2)向量共线的坐标表示既可以判定两向量平行，也可 以由平行求参数．当两向量的坐标均非零时，也可以利用坐标对应成比例来求解． (1)已知向量 a＝ 8，1 2 x ，b＝(x，1)，其中 x>0，若(a－2b)∥(2a＋b)，则 x 的值为________． 解：a－2b＝ 8－2x，1 2 x－2 ，2a＋b＝(16＋x，x＋1)， 因为(a－2b)∥(2a＋b)，显然 2a＋b≠0， 所以存在唯一的实数λ使得 8－2x，1 2 x－2 ＝λ(16＋x，x＋1)， 所以 8－2x＝λ（16＋x）， 1 2 x－2＝λ（x＋1）， 解得 x＝4(x>0)．故填 4. (2)已知向量OA→＝(1，－3)，OB→＝(2，－1)，OC→＝(k＋1，k－2)，若 A，B，C 三点不能 构成三角形，则实数 k＝________. 解：若点 A，B，C 不能构成三角形，则向量AB→，AC→共线.AB→＝OB→－OA→＝(2，－1)－(1， －3)＝(1，2)，AC→＝OC→－OA→＝(k＋1，k－2)－(1，－3)＝(k，k＋1)．因为AB→∥AC→，AC→≠0， 所以 1×(k＋1)－ 2k＝0，解得 k＝1.故填 1. 类型二 平面向量基本定理及其应用 在ABCD 中，AB＝8，BC＝6，AE→＝ 1 3 EB→，BF→＋2CF→＝0，设AB→＝a，AD→＝b. (1)设DB→＝λDE→＋μDF→(λ，μ∈R)，求λ＋μ的值； (2)设 AF 与 DE 交于点 G，用 a，b 表示AG→. 解：(1)因为AE→＝1 3 EB→，AB→＝AE→＋EB→＝a, 所以AE→＝1 4 a，所以DE→＝AE→－AD→＝1 4 a－b. 因为BF→＋2CF→＝0，BC→＝AD→＝b， 所以CF→＝－1 3 b， 所以DF→＝DC→＋CF→＝a－1 3 b， DB→＝DC→＋DA→＝a－b. 因为DB→＝λDE→＋μDF→＝λ 1 4 a－b ＋μ a－1 3 b ＝ 1 4 λ＋μ a－ λ＋1 3 μ b， 即 a－b＝ 1 4 λ＋μ a－ λ＋1 3 μ b. 由于 a，b 为不共线的非零向量，因此由平面向量基本定理知 1 4 λ＋μ＝1， λ＋1 3 μ＝1， 所以 λ＝ 8 11 ， μ＝ 9 11 ， 则λ＋μ＝17 11 . (2)设DG→＝mDE→，AG→＝nAF→，m，n∈R，则 DG→＝m 1 4 a－b ＝1 4 ma－mb，AG→＝n(AD→＋DF→)＝ n(b ＋a－1 3 b)＝na＋2n 3 b，由于AG→＝AD→＋DG→＝b＋ 1 4 ma－mb＝1 4 ma＋(1－m)b，即 na＋2n 3 b＝1 4 ma＋ (1－m)b. 由于 a，b 为不共线的非零向量，因此由平面向量基本定理知 n＝1 4 m， 2n 3 ＝1－m， 所以 m＝6 7 ， n＝ 3 14 . 则AG→＝1 4 ×6 7 a＋ 1－6 7 b＝ 3 14 a＋1 7 b. 点拨： 应用平面向量基本定理的关键点：(1)平面向量基本定理中的基底必须是两个不共线的 向量．(2)选定基底后，通过向量的加、减、数乘以及向量平行的充要条件，把相关向量用 这一组基底表示出来．(3)强调几何性质在向量运算中的作用，用基底表示未知向量，常借 助图形的几何性质，如平行、相似等．提醒：在基底未给出的情况下，合理地选取基底会给 解题带来方便． (1)在△ABC 中，点 D 在边 AB 上，CD 平分∠ACB.若CB→＝a，CA→＝b，|a|＝1， |b|＝2，则CD→＝( ) A.1 3 a＋2 3 b B.2 3 a＋1 3 b C.3 5 a＋4 5 b D.4 5 a＋3 5 b 解法一：因为 CD 平分∠ACB，由角平分线定理，得AD DB ＝AC BC ＝|b| |a| ＝2，所以AD→＝2DB→＝2 3 AB→. 所以CD→＝CA→＋AD→＝CA→＋2 3 AB→＝CA→＋2 3 (CB→－CA→)＝2 3 CB→＋1 3 CA→＝2 3 a＋1 3 b. 解法二：(特殊值法)构造直角三角形，令 CB＝1，CA＝2，AB＝ 3，则∠DCB＝30°， 所以 BD＝ 3 3 .故BD→＝1 3 BA→，CD→＝CB→＋BD→＝a＋1 3 (b－ a)＝2 3 a＋1 3 b.故选 B. (2)向量 a，b，c 在正方形网格中的位置如图所示．若 c＝λa＋μb(λ，μ∈R)，则λ μ ＝________. 解：设 i，j 分别为水平向右和竖直向上的单位向量，则 a＝－i＋j，b＝6i＋2j，c＝ －i－3j，所以－i－3j＝λ(－i＋j)＋μ(6i＋2j)，即－i－3j＝(－λ＋6μ)i＋(λ＋ 2μ)j，根据平面向量基本定理得 －1＝－λ＋6μ， －3＝λ＋2μ， 解得 λ＝－2， μ＝－1 2 . 所以λ μ ＝4.故填 4. 类型三 求向量的坐标 已知平行四边形三个顶点的坐标分别为(－1，0)，(3，0)，(1，－5)，求第四 个顶点的坐标． 解：如图所示，令 A(－1，0)，B(3，0)，C(1，－5)，D(x，y)． (1)若四边形 ABCD1 为平行四边形， 则AD1 →＝BC→， 且AD1 →＝(x＋1，y)，BC→＝(－2，－5)． 所以 x＋1＝－2， y＝－5， 解得 x＝－3， y＝－5. 所以 D1(－3，－5)． (2)若四边形 ACD2B 为平行四边形，则AB→＝CD2 →，且AB→＝(4，0)，CD2 →＝(x－1，y＋5)． 所以 x－1＝4， y＋5＝0， 解得 x＝5， y＝－5. 所以 D2(5，－5)． (3)若四边形 ACBD3 为平行四边形， 则AD3 →＝CB→， 且AD3 →＝(x＋1，y)，CB→＝(2，5)， 所以 x＋1＝2， y＝5， 解得 x＝1， y＝5. 所以 D3(1，5)． 综上所述，平行四边形第四个顶点的坐标为 (－3，－5)或(5，－5)或(1，5)． 点拨： 平面向量坐标运算的技巧：(1)向量的坐标运算常建立在向量的线性运算的基础之上， 若已知有向线段两端点的坐标，则应考虑坐标运算．(2)解题过程中，常利用“向量相等， 则其坐标相同”这一原则，通过列方程(组)进行求解． 已知 A，B，C 三点的坐标分别为(－1，0)，(3，－1)，(1，2)，并且AE→＝1 3 AC→， BF→＝1 3 BC→. (1)求 E，F 的坐标； (2)求证：EF→∥AB→. 解：(1)设 E，F 两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则依题意得AC→＝(2，2)，BC→＝(－ 2，3)，AB→＝(4，－1)． 所以AE→＝1 3 AC→＝ 2 3 ，2 3 ，BF→＝1 3 BC→＝ －2 3 ，1 . 因为AE→＝(x1，y1)－(－1，0)＝(x1＋1，y1)， BF→＝(x2，y2)－(3，－1)＝(x2－3，y2＋1)． 所以 x1＋1＝2 3 ， y1＝2 3 ， 解得 x1＝－1 3 ， y1＝2 3 . x2－3＝－2 3 ， y2＋1＝1， 解得 x2＝7 3 ， y2＝0. 所以 E 的坐标为 －1 3 ，2 3 ，F 的坐标为 7 3 ，0 . (2)证明：由(1)知 E －1 3 ，2 3 ，F 7 3 ，0 ， 所以EF→＝ 8 3 ，－2 3 ，且AB→＝(4，－1)， 又 4× －2 3 －(－1)×8 3 ＝0，所以EF→∥AB→. 1．对平面向量基本定理的理解 (1)平面向量基本定理实际上是向量的分解定理，并且是平面向量正交分解的理论依据， 也是向量坐标表示的基础． (2)平面向量的一组基底是两个不共线向量，平面向量基底可以有无穷多组． (3)用平面向量基本定理可将平面中任一向量分解成形如 a＝λ1e1＋λ2e2(λ1，λ2∈R， e1，e2 为同一平面内不共线的两个向量)的形式，它是向量线性运算知识的延伸． (4)如果 e1，e2 是同一平面内的一组基底，且 λ1e1＋λ2e2＝0(λ1，λ2∈R)，那么λ1 ＝λ2＝0. 2．对两向量夹角的理解 两向量的夹角是指当两向量的起点相同时，表示两向量的有向线段所形成的角．若起点 不同，则应通过平移，使其起点相同． 3．向量的坐标表示 向量用坐标表示后，向量的计算和证明都归结为数的运算，这使问题大大简化．一个向 量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点的坐标，当且仅当向量的起点为原 点时，向量的坐标才等于其终点的坐标．两个向量相等，当且仅当其坐标相同． 1．下列向量组中，能作为表示它们所在平面内所有向量的一组基底的是( ) A．a＝(1，2)，b＝(0，0) B．a＝(1，－2)，b＝(3，5) C．a＝(3，2)，b＝(9，6) D．a＝ －3 4 ，1 2 ， b＝(3，－2) 解：在平面内，根据向量基底的定义知，两个向量不共线即可作为基底．故选 B. 2．已知平面向量 a＝(2m＋1，3)，b＝(2，m)，且 a 与 b 反向，则|b|等于( ) A.10 2 7 B．2 2 C.5 2 D.5 2 或 2 2 解：根据题意 a∥b 知 m(2m＋1)－3×2＝0，解得 m＝－2 或 m＝3 2 .当 m＝3 2 时，a＝(4， 3)，b＝ 2，3 2 ，则 a＝2b，此时两向量同向，与已知不符，故 m＝－2，此时 b＝(2，－2)， 故|b|＝2 2.故选 B. 3．如图，e1，e2 为互相垂直的单位向量，向量 a，b 如图，则向量 a－b 可表示为( ) A．3e2－e1 B．－2e1－4e2 C．e1－3e2 D．3e1－e2 解：由图易知 a－b＝－3e2＋e1＝e1－3e2.故选 C. 4．(2015·江西检测)已知向量 a＝(－1，2)，b＝(3，m)，m∈R，则“m＝－6”是“a∥(a ＋b)”的( ) A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 解：由题意得 a＋b＝(2，2＋m)．由 m＝－6 得 a＋b＝(2，－4)＝－1 2 a，所以 a∥(a＋ b)；由 a∥ (a＋b)得－1×(2＋m)＝2×2，所以 m＝－6.故 “m＝－6”是“a∥(a＋b)”的 充要条件．故选 A. 5．设向量 a＝(1，－3)，b＝(－2，4)，若表示向量 4a，3b－2a，c 的有向线段首尾相 接能构成三角形，则向量 c 为( ) A．(1，－1) B．(－1，1) C．(－4，6) D．(4，－6) 解：由题知 4a＝(4，－12)，3b－2a＝(－6，12)－(2，－6)＝(－8，18)，由 4a＋(3b －2a)＋ c＝0，知 c＝(4，－6)．故选 D. 6．如图，设向量OA→＝(3，1)，OB→＝(1，3)，若OC→＝λOA→＋μOB→，且λ≥μ≥1，则用阴 影表示 C 点所有可能的位置区域正确的是( ) 解：设OC→＝(x，y)，则由OC→＝λOA→＋μOB→得(x，y)＝λ(3，1)＋μ(1，3)，即 x＝3λ＋μ， y＝λ＋3μ， 可得 λ＝3x－y 8 ， μ＝3y－x 8 . 因为λ≥μ≥1，所以 3x－y 8 ≥3y－x 8 ， 3y－x 8 ≥1， 化简得 x－y≥0， x－3y＋8≤0. 作出可行域 知选项 D 正确．故选 D. 7．(2015·全国)设向量 a，b 不平行，向量 λa＋b 与 a＋2b 平行，则实数λ＝ ________． 解：由于λa＋b 与 a＋2b 平行，且 a＋2b≠0，所以存在唯一的实数μ∈R，使得λa＋b ＝μ(a＋2b)，即(λ－μ)a＋(1－2μ)b＝0.因为 a，b 不平行，所以 λ－μ＝0， 1－2μ＝0， 解得λ ＝μ＝1 2 .故填1 2 . 8．设向量 a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，定义一种向量积 a○×b＝(a1b1，a2b2)，已知向量 m ＝ 2，1 2 ，n＝ π 3 ，0 ，点 P(x，y)在 y＝sinx 的图象上运动．Q 是函数 y＝f(x)图象上的点， 且满足OQ→＝m○×OP→＋n(其中 O 为坐标原点)，则函数 y＝f(x)的值域是________． 解 ： 设 Q(c ， d) ， 由 新 的 运 算 可 得 OQ→ ＝ m ○× OP→ ＋ n ＝ 2x，1 2 sinx ＋ π 3 ，0 ＝ 2x＋π 3 ，1 2 sinx ， 所以 c＝2x＋π 3 ， d＝1 2 sinx， 消去 x 得 d＝1 2 sin 1 2 c－π 6 . 所以 y＝f(x)＝1 2 sin 1 2 x－π 6 ，易知 y＝f(x)的值域是 －1 2 ，1 2 .故填 －1 2 ，1 2 . 9．已知向量 a＝(1，0)，b＝(2，1)． (1)当实数 k 为何值时，ka－b 与 a＋2b 共线？ (2)若AB→＝2a＋3b，BC→＝a＋mb 且 A，B，C 三点共线，求实数 m 的值． 解：(1)ka－b＝k(1，0)－(2，1)＝(k－2，－1)， a＋2b＝(1，0)＋2(2，1)＝(5，2)． 因为 ka－b 与 a＋2b 共线， 所以 2(k－2)－(－1)×5＝0， 即 2k－4＋5＝0，得 k＝－1 2 . (2)解法一：因为 A，B，C 三点共线， 所以存在实数λ使得AB→＝λBC→， 即 2a＋3b＝λ(a＋mb)， 所以 2＝λ， 3＝mλ， 解得 m＝3 2 . 解法二：AB→＝2a＋3b＝2(1，0)＋3(2，1)＝(8，3)， BC→＝a＋mb＝(1，0)＋m(2，1)＝(2m＋1，m)． 因为 A，B，C 三点共线， 所以AB→∥BC→，又BC→≠0，所以 8m－3(2m＋1)＝0， 即 2m－3＝0，得 m＝3 2 . 10．已知点 O(0，0)，A(1，2)，B(4，5)及 OP→＝OA→＋tAB→，试问： (1)当 t 为何值时，P 在 x 轴上？P 在 y 轴上？P 在第三象限内？ (2)四边形 OABP 能否成为平行四边形？若能，求出 t 的值；若不能，请说明理由． 解：(1)依题意，得AB→＝(3，3)， 所以OP→＝OA→＋tAB→＝(1＋3t，2＋3t)， 即 P(1＋3t，2＋3t)． 若 P 在 x 轴上，则 2＋3t＝0，所以 t＝－2 3 ； 若 P 在 y 轴上，则 1＋3t＝0，所以 t＝－1 3 ； 若 P 在第三象限内，则 1＋3t＜0， 2＋3t＜0， 所以 t＜－2 3 . (2)因为OA→＝(1，2)，PB→＝(3－3t，3－3t)， 若 OABP 是平行四边形，则OA→＝PB→， 所以 3－3t＝1， 3－3t＝2. 此方程无解． 故四边形 OABP 不可能成为平行四边形． 11．如图所示，在△ABC 中，点 M 是 BC 的中点，点 N 在边 AC 上，且 AN＝2NC，AM 与 BN 相交于点 P，求 AP∶PM 的值． 解：设BM→＝e1，CN→＝e2，则AM→＝AC→＋CM→＝ －3e2－e1，BN→＝BC→＋CN→＝2e1＋e2. 因为 A，P，M 和 B，P，N 分别共线， 所以存在λ，μ∈R，使AP→＝λAM→＝－λe1－3λe2， BP→＝μBN→＝2μe1＋μe2. 故BA→＝BP→－AP→＝(λ＋2μ)e1＋(3λ＋μ)e2， 而BA→＝BC→＋CA→＝2e1＋3e2， 所以由平面向量基本定理得 λ＋2μ＝2， 3λ＋μ＝3， 所以 λ＝4 5 ， μ＝3 5 . 所以AP→＝4 5 AM→，即 AP∶PM＝4∶1. 如图所示，A，B，C 是圆 O 上的三点，线段 CO 的延长线与 BA 的延长线交于圆 O 外的一点 D，若OC→＝mOA→＋nOB→，则 m＋n 的取值范围是________． 解：由题意得，OC→＝kOD→(k<0)，又|k|＝ |OC→| |OD→| <1，所以－10，ω>0，|φ|<π 2 )在一个周期内的图象如图所示，M， N 分别是这段图象的最高点和最低点，且OM→·ON→＝0(O 为坐标原点)，则 A 等于( ) A.π 6 B. 7 12 π C. 7 6 π D. 7 3 π 解：由题意知 M π 12 ，A ，N 7 12 π，－A ，又OM→·ON→＝π 12 × 7 12 π－A2＝0，所以 A＝ 7 12 π. 故选 B. (3)已知向量 a＝(sinθ，1)，b＝(1，cosθ)， －π 2 ＜θ＜π 2 . (Ⅰ)若 a⊥b，求θ； (Ⅱ)求|a＋b|的最大值． 解：(Ⅰ)若 a⊥b，则 sinθ＋cosθ＝0， 因为－π 2 ＜θ＜π 2 ，所以 tanθ＝－1，所以θ＝－π 4 . (Ⅱ)由 a＝(sinθ，1)，b＝(1，cosθ)， 得 a＋b＝(sinθ＋1，1＋cosθ)． 所以|a＋b|＝ （sinθ＋1）2＋（1＋cosθ）2 ＝ 3＋2（sinθ＋cosθ） ＝ 3＋2 2sin θ＋π 4 . 当 sin θ＋π 4 ＝1 时， |a＋b|取得最大值 3＋2 2＝ （ 2＋1）2＝ 2＋1. 即当θ＝π 4 时，|a＋b|的最大值为 2＋1. 点拨： 向量与函数、三角函数的综合题，多通过考查向量的线性运算、向量共线的充要条件、 平面向量的基本定理及数量积等来直接考查函数的基本概念，函数、三角函数的图象与性质， 三角变换等内容．此类题目中，向量往往是条件的载体，题目考查的重点仍是函数、三角函 数，熟练掌握向量的概念和基本运算是解决问题的前提． (1)(2015·山东模拟)在△ABC 中， A＝60°，M 是 AB 的中点，若 AB＝2，BC ＝2 3，D 在线段 AC 上运动，则DB→·DM→的最小值为________． 解：在△ABC 中，由正弦定理或余弦定理易求得 AC＝4.设AD→＝λ AC→(0≤λ≤1)， 则DB→·DM→＝(AB→－AD→)·(AM→－AD→)＝(AB→－ λ AC→)· 1 2 AB→－λ AC→ ＝λ2|AC→|2－3 2 λ AB→·AC→ ＋ 1 2 |AB→|2＝16λ2－6λ＋2＝16 λ－ 3 16 2 ＋23 16 .因为 0≤λ≤1，所以当λ＝ 3 16 时，DB→·DM→ 取得最小值23 16 .故填23 16 . (2)已知函数 f(x)＝ 3sinωx(ω>0)的部分图象如图所示，A，B 分别是这部分图象上 的最高点、最低点，O 为坐标原点，若OA→·OB→＝0，则函数 f(x＋1)是( ) A．周期为 4 的奇函数 B．周期为 4 的偶函数 C．周期为 2π的奇函数 D．周期为 2π的偶函数 解：由题图可得 A π 2ω ， 3 ，B 3π 2ω ，－ 3 ，由OA→·OB→＝0 得3π2 4ω2－3＝0，又ω>0，所 以ω＝π 2 ，所以 f(x)＝ 3sinπ 2 x， 所以 f(x＋1)＝ 3sin π 2 （x＋1） ＝ 3cosπ 2 x，它是周期为 4 的偶函数．故选 B. (3)已知向量 a＝(cosα，sinα)，b＝(cosβ，sinβ)，0＜β＜α＜π. (Ⅰ)若|a－b|＝ 2，求证：a⊥b； (Ⅱ)设 c＝(0，1)，若 a＋b＝c，求α，β的值． 解：(Ⅰ)证明：由题意得|a－b|2＝2， 即(a－b)2＝a2－2a·b＋b2＝2， 又因为 a2＝b2＝|a|2＝|b|2＝1. 所以 2－2a·b＝2，即 a·b＝0，故 a⊥b. (Ⅱ)因为 a＋b＝(cosα＋cosβ，sinα＋sinβ)＝(0，1)，所以 cosα＋cosβ＝0， sinα＋sinβ＝1. 即 cosα＝－cosβ， sinα＝1－sinβ. 两边分别平方再相加得 1＝2－2sinβ， 所以 sinβ＝1 2 ，sinα＝1 2 ， 又因为 0＜β＜α＜π，所以α＝5π 6 ，β＝π 6 . 类型二 向量与解析几何 已知点 C 的坐标为(0，1)，A，B 是抛物线 y＝x2 上不同于原点 O 的相异的两个 动点，且OA→·OB→＝0. (1)求证：AC→∥AB→； (2)若AM→＝λMB→(λ∈R)，且OM→·AB→＝0，试求点 M 的轨迹方程． 解：设 A(x1，x2 1)，B(x2，x2 2)，x1x2≠0 且 x1≠x2, 因为OA→·OB→＝0，所以 x1x2＋x2 1x2 2＝0， 又 x1x2≠0，所以 x1x2＝－1. (1)证法一：kAC＝1－x2 1 －x1 ＝－1 x1 ＋x1， 同理有 kBC＝－1 x2 ＋x2， 因为 x1x2＝－1，所以 kAC＝kBC， 所以 A，B，C 三点共线，即AC→∥AB→. 证法二：因为AC→＝(－x1，1－x2 1)，BC→＝(－x2，1－x2 2)， 所以(－x1)(1－x2 2)－(－x2)(1－x2 1)＝(x2－ x1)＋x1x2(x2－x1)＝(x2－x1)(1＋x1x2)＝0， 所以AC→∥BC→，即 A，B，C 三点共线，即AC→∥AB→. (2)因为AM→＝λMB→，所以 A，M，B 三点共线， 又 C 在 AB 上，且OM→·AB→＝0， 故点 M 在以 OC 为直径的圆上运动，其轨迹方程为 x2＋ y－1 2 2 ＝1 4 (y≠0)． 点拨： 向量在解析几何中的“两个”作用：(1)载体作用：向量在解析几何问题中出现，多用 于“包装”，解决此类问题的关键是利用向量的意义、运算脱去“向量外衣”，导出曲线上 点的坐标之间的关系，从而解决有关距离、斜率、夹角、轨迹、最值等问题．(2)工具作用： 利用 a⊥b⇔a·b＝0(a，b 为非零向量)，a∥b⇔a＝λb(b≠0)，可解决垂直、平行问题，特 别地，向量垂直、平行的坐标表示对于解决解析几何中的垂直、平行问题是一种比较优越的 方法． (1)过抛物线 y2＝2px(p＞0)的焦点 F 的直线 l 与抛物线在第一象限的交点为 A，与抛物线的准线的交点为 B，点 A 在抛物线的准线上的射影为 C，若AF→＝FB→，BA→·BC→＝48， 则抛物线的方程为( ) A．y2＝8x B．y2＝4x C．y2＝16x D．y2＝4 2x 解：如图，AF→＝FB→⇒F 为线段 AB 的中点，因为 AF＝AC，所以∠ABC＝30°，由BA→·BC→＝ 48 得 BC＝4 3，则 AC＝4.所以由中位线性质有 p＝ 1 2 AC＝2，故抛物线的方程为 y2＝4x.故 选 B. (2)在平面直角坐标系 xOy 中，已知向量 a，b，|a|＝|b|＝1，a·b＝0，点 Q 满足OQ→＝ 2(a＋b)．曲线 C＝{P|OP→＝acosθ＋bsinθ，0≤θ<2π}，区域Ω＝{P|00，求1 m ＋1 n 的最小值． 解：因为(1－2i)i＝2＋i， 所以 M(2，1)，即 2m＋n＝1， 又 mn＞0，故 m＞0，n＞0，所以1 m ＋1 n ＝ 1 m ＋1 n ·(2m＋n)＝3＋n m ＋2m n ≥3＋2 2， 当且仅当 n m ＝2m n ， 2m＋n＝1， 即 m＝2－ 2 2 ， n＝ 2－1 时等号成立， 所以1 m ＋1 n 的最小值为 3＋2 2. i 是虚数单位，设复数 z 满足 4z＋ 2 z ＝3 3＋i，复数ω＝sinθ－icosθ， 求|z－ω|的取值范围． 解：设 z＝a＋bi，(a，b∈R)，则 z ＝a－bi. 代入 4z＋2 z ＝3 3＋i， 得 4(a＋bi)＋2(a－bi)＝3 3＋i， 即 6a＋2bi＝3 3＋i.所以 a＝ 3 2 ， b＝1 2 . 所以 z＝ 3 2 ＋1 2 i. |z－ω|＝| 3 2 ＋1 2 i－（sinθ－icosθ）| ＝ 3 2 －sinθ 2 ＋ 1 2 ＋cosθ 2 ＝ 2－2sin θ－π 6 . 因为－1≤sin θ－π 6 ≤1， 所以 0≤2－2sin θ－π 6 ≤4.所以 0≤|z－ω|≤2. 5．6 复数的四则运算及几何意义 1．复数的加、减、乘、除的运算法则 设 z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则 (1)z1±z2＝ ； (2)z1·z2＝ ； (3)z1 z2 ＝ (z2≠0)． 2．复数加、减法的几何意义 以复数 z1，z2 分别对应的向量OZ1 →，OZ2 →为邻边作平行四边形 OZ1ZZ2，对角线 OZ 表示的向 量OZ→就是____________．z1－z2 对应的向量是____________． 自查自纠： 1．(1)(a±c)＋(b±d)i (2)(ac－bd)＋(ad＋bc)i (3)ac＋bd c2＋d2 ＋bc－ad c2＋d2 i 2．复数 z1＋z2 所对应的向量 Z2Z1 → (2015·广东)若复数 z＝i(3－2i)(i 是虚数单位)，则 z ＝( ) A．2－3i B．2＋3i C．3＋2i D．3－2i 解：z＝i(3－2i)＝2＋3i，所以 z＝2－3i.故选 A. (2016·山东)若复数 z 满足 2z＋ z ＝3－2i，其中 i 为虚数单位，则 z＝( ) A．1＋2i B．1－2i C．－1＋2i D．－1－2i 解：设 z＝a＋bi(a，b∈R)，则 2z＋ z ＝3a＋ bi＝3－2i，故 a＝1，b＝－2，则 z ＝1－2i.故选 B. (2015·全国卷Ⅰ)设复数 z 满足1＋z 1－z ＝i，则|z|＝( ) A．1 B. 2 C. 3 D．2 解：由1＋z 1－z ＝i，得 z＝－1＋i 1＋i ＝i，所以|z|＝1.故选 A. (2015·天津)i 是虚数单位，计算1－2i 2＋i 的结果为________． 解：1－2i 2＋i ＝－i2－2i 2＋i ＝－i(i＋2) 2＋i ＝－i. 故填－i. 设复数 z＝1＋ai(a 是正实数)，且|z|＝ 10，则 z 1－2i ＝________. 解：因为|z|＝ 10且 a>0，所以 a＝3， 则 z 1－2i ＝1＋3i 1－2i ＝（1＋3i）（1＋2i） （1－2i）（1＋2i） ＝－1＋i.故填－1＋i. 类型一 复数的代数运算 i 是虚数单位，计算 2i－2 （1－i）2× 2 1＋i 2017 的值． 解：因为2（i－1） （1－i）2 ＝ 2 i－1 ＝－(i＋1)， 2 1＋i 2016 ＝ 21008 （2i）1008＝1， 所以原式＝－(i＋1)× 2 （1＋i） ＝－ 2. 点拨： (1)复数的计算除了掌握基本运算法则外，最好熟记一些常见算式运算的结果，这对提 高运算的速度和准确度都有很大的帮助．如：(1＋i)2＝2i，(1－i)2＝－2i，(1＋i)·(1－i) ＝2，i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i(n∈N)等．(2)复数 z＝a＋bi 与平面向量OZ→＝ (a，b)是一一对应的． i 是虚数单位， 2 1－i 2016 ＋ 1＋i 1－i 6 ＝____________________________. 解：原式＝ 2 1－i 2 1008 ＋ 1＋i 1－i 6 ＝ 2 －2i 1008 ＋i6＝i1 008＋i6＝i4×252＋i4＋2＝1＋i2＝0. 故填 0. 类型二 复数的模与共轭复数 (1)复数 z 满足(z－3)(2－i)＝5(i 为虚数单位)，则 z 的共轭复数为( ) A．2＋i B．2－i C．5＋i D．5－i 解：由题意得 z－3＝ 5 2－i ＝2＋i， 所以 z＝5＋i，故 z ＝5－i.故选 D. (2)(2015·洛阳统考)设复数 z＝－1－i(i 为虚数单位)，z 的共轭复数为 z ，则|(1－ z)· z |＝( ) A. 10 B．2 C. 2 D．1 解：依题意得(1－z)· z ＝(2＋i)(－1＋i)＝－3＋i，则|(1－z)· z |＝|－3＋i|＝ （－3）2＋12＝ 10.故选 A. 点拨： 利用复数的四则运算求复数的一般思路：(1)复数乘法运算满足多项式的乘法法则，利 用此法则后将实部与虚部分别写出即可．(2)复数的除法运算主要是利用分子、分母同乘以 分母的共轭复数进行运算化简．(3)利用复数的相关概念解题时，通常是设出复数或利用已 知联立方程求解即可． 设复数 z＝(x－1)＋yi(x，y∈R)，若|z|≤1，则 y≥x 的概率为( ) A.3 4 ＋ 1 2π B.1 2 ＋ 1 π C.1 4 － 1 2π D.1 2 － 1 π 解：由|z|≤1 得(x－1)2＋y2≤1，作图如图阴影部分所示， 联立 （x－1）2＋y2＝1， y＝x， 得 x＝y＝0， x＝y＝1， 即 A(1，1)．由几何概型知所求概率为 π 4 －1 2 ×1×1 π ＝ 1 4 － 1 2π .故选 C. 1．复数代数形式的加减乘除运算的法则是进行复数运算的理论依据，加减运算类似于 多项式的合并同类项，乘法法则类似于多项式乘法法则，除法运算则先将除式写成分式的形 式，再将分母实数化． 2．复数的代数运算多用于次数较低的运算，但应用 i、ω的性质可简化运算．注意下 面结论的灵活运用：(1)(1±i)2＝±2i；(2)1＋i 1－i ＝i，1－i 1＋i ＝－i；(3)ω2＋ω＋1＝0，ω3 ＝1，其中ω＝－1 2 ± 3 2 i； (4)in＋in＋1＋in＋2＋in＋3＝0(n∈N)． 3．在进行复数的运算时，不能把实数集的运算法则和性质照搬到复数集中来，如下面 的结论，当 z∈C 时，不是总成立的：(1)(zm)n＝zmn(m，n 为分数)；(2)若 zm＝zn，则 m＝n(z≠1)； (3)若 z2 1＋z2 2＝0，则 z1＝z2＝0. 4．注意利用共轭复数的性质，将 zz 转化为 |z| 2 ，即复数的模的运算，常能使解题简 捷． 1．(2016·武汉调考)设 i 是虚数单位，若复数 a－ 17 4－i 是纯虚数，则实数 a 的值为( ) A．－4 B．－1 C．4 D．1 解：a－ 17 4－i ＝a－4－i 是纯虚数，则 a＝4.故选 C. 2．(2015·安徽)设 i 是虚数单位，则复数 2i 1－i 在复平面内所对应的点位于( ) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 解：2i 1－i ＝ 2i（1＋i） （1－i）（1＋i） ＝i(1＋i)＝－1＋i，其在复平面内所对应的点坐标为(－1， 1)，即位于第二象限．故选 B. 3．(2016·全国Ⅲ)若 z＝1＋2i，则 4i 1z z  ＝( ) A．1 B．－1 C．i D．－i 解： 4i 1z z  ＝ 4i （1＋2i）（1－2i）－1 ＝i.故选 C. 4．(2014·浙江)已知i 是虚数单位，a，b∈R，则“a＝b＝1”是“(a＋bi)2＝2i”的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 解：若 a＝b＝1，则 (a＋bi)2＝(1＋i)2＝2i；反之，若(a＋bi)2＝2i，则 a＝b＝1 或 a ＝b＝－1，故“a＝b＝1”是“(a＋bi)2＝2i”的充分不必要条件．故选 A. 5．设 f(n)＝ 1＋i 1－i n ＋ 1－i 1＋i n (n∈N*)，其中 i 为虚数单位，则集合{f(n)}中元素的个 数为( ) A．1 B．2 C．3 D．无数个 解：f(n)＝ 1＋i 1－i n ＋ 1－i 1＋i n ＝in＋(－i)n， f(1)＝0，f(2)＝－2，f(3)＝0，f(4) ＝2，f(5)＝0，…，所以集合中共有 3 个元素．故选 C. 6．设复数ω1＝－1 2 ＋ 3 2 i，ω2＝cosπ 12 ＋isinπ 12 ，若 z＝ω1ω2，则复数 z 的虚部为( ) A．－1 2 B.1 2 C．－ 2 2 D. 2 2 解法一：ω1ω2＝ －1 2 ＋ 3 2 i cosπ 12 ＋isinπ 12 ＝－1 2 cosπ 12 － 3 2 sinπ 12 ＋ 3 2 cosπ 12 －1 2 sinπ 12 i ＝－cos π 3 －π 12 ＋isin π 3 －π 12 ＝－cosπ 4 ＋isinπ 4 ＝－ 2 2 ＋ 2 2 i. 所以复数 z 的虚部为 2 2 . 解法二：若 z1＝cosα＋isinα，z2＝cosβ＋isinβ， 则 z1z2 ＝cosαcosβ－sinαsinβ＋i(sinαcosβ＋cosαsinβ)＝cos(α＋β)＋ isin(α＋β)． 因为ω1＝－1 2 ＋ 3 2 i＝cos2π 3 ＋isin2π 3 ， ω2＝cosπ 12 ＋isinπ 12 ， 所以 z＝ω1ω2＝cos 2π 3 ＋π 12 ＋isin 2π 3 ＋π 12 ＝cos3π 4 ＋isin3π 4 ＝－ 2 2 ＋ 2 2 i，所以 复数 z 的虚部为 2 2 .故选 D. 7．(2016·北京)设 a∈R，若复数(1＋i)(a＋i)在复平面内对应的点位于实轴上，则 a ＝________. 解：(1＋i)(a＋i)＝a－1＋(a＋1)i∈R⇒a＝ －1.故填－1. 8．(2015·江苏)设复数 z 满足 z2＝3＋4i(i 是虚数单位)，则 z 的模为________． 解：因为 z2＝3＋4i，所以|z|2＝|z2|＝|3＋4i|＝ 9＋16＝5，所以|z|＝ 5.故填 5. 9．把复数z 的共轭复数记作z ，已知(1＋2i) z ＝4＋3i，求 z 及 z z . 解：设 z＝a＋bi(a，b∈R)，则 z ＝a－bi，由已知得(1＋2i)·(a－bi)＝(a＋2b)＋(2a －b)i＝4＋3i，由复数相等的定义知 a＋2b＝4， 2a－b＝3， 解得 a＝2，b＝1，所以 z＝2＋i.所以 z z ＝2＋i 2－i ＝ （2＋i）2 （2－i）（2＋i） ＝3＋4i 5 ＝3 5 ＋4 5 i. 10．设存在复数 z 同时满足下列条件： (1)复数 z 在复平面内对应的点位于第二象限； (2)z·z＋2iz＝8＋ai(a∈R)． 试求 a 的取值范围． 解：设 z＝x＋yi(x，y∈R)， 由(1)得 x＜0，y＞0， 由(2)得(x＋yi)(x－yi)＋2i(x＋yi)＝8＋ai， 即 x2＋y2－2y＋2xi＝8＋ai. 由复数相等的定义得 x2＋y2－2y＝8， ① 2x＝a， ② 由①得 x2＋(y－1)2＝9，因为 x<0，y>0， 所以－3≤x<0，所以－6≤a＜0. 11．已知复数 z1 满足：(1＋i)z1＝－1＋5i，z2＝a－2－i(a∈R)，若|z1－ 2z |＜|z1|， 求 a 的取值范围． 解：因为(1＋i)z1＝－1＋5i，所以 z1＝－1＋5i 1＋i ＝2＋3i， 所以|z1|＝ 13. 于是|z1－ 2z |＝|（4－a）＋2i| ＝ （4－a）2＋4＜ 13， 即 a2－8a＋7＜0，解得 1＜a＜7. 所以 a 的取值范围是(1，7)． (2014·广东)对任意复数ω1，ω2，定义ω1*ω2＝ω1 2 ，其中 2 是ω2 的共轭 复数，对任意复数 z1，z2，z3 有如下四个命题： ①(z1＋z2)*z3＝(z1*z3)＋(z2*z3)； ②z1*(z2＋z3)＝(z1*z2)＋(z1*z3)； ③(z1*z2)*z3＝z1*(z2*z3)； ④z1*z2＝z2*z1； 则真命题的个数是( ) A．1 B．2 C．3 D．4 解：由于ω1*ω2＝ω1 2 ，对于①，(z1＋z2)*z3＝(z1＋z2)· 3z ＝z1 3z ＋z2 3z ＝(z1*z3) ＋(z2*z3)，显然成立； 对于②，z1*(z2＋z3)＝z1( 2 3z z )＝z1(z2＋z3)＝z1 2z ＋z1 3z ＝(z1*z2)＋(z1*z3)，显然成 立； 对于③，(z1*z2)*z3＝(z1z2) 3z ＝z1 2z 3z ，而 z1*(z2*z3)＝z1*(z2z3)＝z1 2z z3，显然不成立； 对于④，由于 z1*z2＝z1 2z ，而 z2*z1＝z2 1z ，显然不成立．故选 B. 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的． 1．(2015·北京)复数 i(2－i)＝( ) A．1＋2i B．1－2i C．－1＋2i D．－1－2i 解：i(2－i)＝2i－i2＝1＋2i.故选 A. 2．(2014·山东)已知 a，b∈R，i 是虚数单位，若 a－i 与 2＋bi 互为共轭复数，则(a ＋bi)2＝( ) A．5－4i B．5＋4i C．3－4i D．3＋4i 解：由 a－i 与 2＋bi 互为共轭复数， 知 a＝2，b＝1， 所以(a＋bi)2＝(2＋i)2＝3＋4i.故选 D. 3．已知 i 为虚数单位，复数 z 满足 zi＝ 3－i 1＋i 2 ，则复数 z 的共轭复数在复平面内对应的 点位于( ) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 解：zi＝ 3－i 1＋i 2 ＝（3－i）2 （1＋i）2＝8－6i 2i ，所以 z＝8－6i 2i2 ＝8－6i －2 ＝－4＋3i，所以 z ＝－4 －3i.故选 C. 4．(2015·皖南八校联考)已知点 A 2，－1 2 ，B 1 2 ，3 2 ，则与向量AB→方向相同的单位向 量是( ) A. 3 5 ，－4 5 B. 4 5 ，－3 5 C. －3 5 ，4 5 D. －4 5 ，3 5 解：AB→＝ －3 2 ，2 ，则|AB→|＝ －3 2 2 ＋22＝5 2 ，所以 AB→ |AB→| ＝ －3 5 ，4 5 .故选 C. 5．对任意复数 z＝x＋yi(x，y∈R)，i 为虚数单位，则下列结论正确的是( ) A.|z－z|＝2y B．z2＝x2＋y2 C.|z－z|≥2x D.|z|≤|x|＋|y| 解：因为 z－z＝2yi，所以|z－z|＝2|y|，选项 A，C 错误；而 z2＝(x＋yi)2＝x2－y2＋ 2xyi，选项 B 错误；|z|＝ x2＋y2，|z|2＝x2＋y2；(|x|＋|y|)2＝x2＋ y2＋2|xy|≥x2＋y2 ＝|z|2，因此|z|≤|x|＋|y|.故选 D. 6．已知平面向量 a＝(1，－2)，b＝(2，1)， c＝(－4，－2)，则下列结论中错误．． 的是( ) A．向量 c 与向量 b 共线 B．若 c＝λ1a＋λ2b(λ1，λ2∈R)，则λ1＝0，λ2＝－2 C．对同一平面内任意向量 d，都存在实数 k1，k2，使得 d＝k1b＋k2c D．向量 a 在向量 b 方向上的投影为 0 解：因为 c＝－2b，所以向量 c 与向量 b 共线，所以选项 A 正确；由 c＝λ1a＋λ2b 可 知 －4＝λ1＋2λ2， －2＝－2λ1＋λ2 ，解得 λ1＝0， λ2＝－2， 所以选项 B 正确；向量 c 与向量 b 共线，所以由平 面向量的基本定理可知，它们不能表示出同一平面内的任意向量，所以选项 C 错误；因为 a·b ＝0，所以 a⊥b，所以夹角是 90°，则向量 a 在向量 b 方向上的投影为|a|cos90°＝0，所 以 D 正确．故选 C. 7．若 i 是虚数单位，则满足(p＋qi)2＝q＋pi 的实数 p，q 一共有( ) A．1 对 B．2 对 C．3 对 D．4 对 解：由(p＋qi)2＝q＋pi 得 p2－q2＋2pqi＝q＋pi，所以 p2－q2＝q， 2pq＝p， 解得 p＝0， q＝0 或 p＝0， q＝－1 或 p＝ 3 2 ， q＝1 2 或 p＝－ 3 2 ， q＝1 2 . 因此满足条件的实数 p，q 一共有 4 对．故选 D. 8．(2016·山东)已知非零向量 m，n 满足 4|m|＝3|n|，cos〈m，n〉＝1 3 .若 n⊥(tm ＋n)，则实数 t 的值为( ) A．4 B．－4 C.9 4 D．－9 4 解：由 4|m|＝3|n|，可设|m|＝3k，|n|＝4k(k＞0)，又 n⊥(tm＋n)，所以 n·(tm＋n) ＝n·tm＋n·n＝t|m||n|cos〈m，n〉＋|n|2＝t×3k×4k×1 3 ＋(4k)2＝4tk2＋16k2＝0，所以 t＝－4.故选 B. 9．设复数 Z＋i(Z∈C)在映射 f 下的象为复数 Z 的共轭复数与 i 的积，若复数ω在映射 f 下的象为－1＋2i，则相应的ω为( ) A．2 B．2－2i C．－2＋i D．2＋i 解：令ω＝a＋bi，a，b∈R， 则ω＝＋i，所以在映射 f 下ω的象为·i＝b－1＋ai＝－1＋2i，所以 a＝2， b－1＝－1， 解 得 a＝2， b＝0， 所以ω＝2.故选 A. 10．(2015·河南调研)复数 z1，z2 满足 z1＝ m＋(4－m2)i，z2 ＝2cosθ＋(λ＋ 3sinθ)i(i 是虚数单位，m，λ，θ∈R)，并且 z1＝z2，则λ的取值范围是( ) A． B. － 9 16 ，1 C. － 9 16 ，7 D. 9 16 ，7 解：由复数相等的充要条件可得 m＝2cosθ， 4－m2＝λ＋3sinθ， 消去 m 得 4－4cos2θ＝λ＋ 3sinθ ， 由 此 可 得 λ ＝ 4sin2θ － 3sinθ ＝ 4 sinθ－3 8 2 － 9 16 ， 因 为 sinθ ∈ ， 所 以 λ∈ － 9 16 ，7 .故选 C. 11．设非零向量 a，b 的夹角为θ，记 f(a，b)＝acosθ－bsinθ，若 e1，e2 均为单位向量，且 e1·e2＝ 3 2 ，则向量 f(e1，e2)与 f(e2，－e1)的夹角为( ) A.π 3 B.π 2 C.2π 3 D.5 6 π 解：设 e1，e2 的夹角为α，则 e2 与－e1 的夹角为π－α，由题意得|e1|＝|e2|＝1， 所以 e1·e2＝|e1||e2|cosα＝cosα＝ 3 2 ， 故α＝π 6 ，π－α＝5 6 π， 所以 f(e1，e2)＝e1cosπ 6 －e2sinπ 6 ＝ 3 2 e1－1 2 e2， f(e2，－e1)＝e2cos5 6 π－ －e1sin5 6 π ＝1 2 e1－ 3 2 e2， f(e1，e2)·f(e2，－e1)＝ 3 2 e1－1 2 e2 · 1 2 e1－ 3 2 e2 ＝ 3 4 －e1·e2＋ 3 4 ＝ 3 2 － 3 2 ＝0. 所以 f(e1，e2)与 f(e2，－e1)的夹角为π 2 .故选 B. 12．如图，四边形 OABC 是边长为 1 的正方形，OD＝3，点 P 为△BCD 内(含边界)的动点， 设OP→＝αOC→＋βOD→(α，β∈R)，则α＋β的最大值等于( ) A.1 4 B.4 3 C.1 3 D．1 解：以 O 为原点，OA，OC 分别为 x 轴，y 轴建立平面直角坐标系， 则由条件知 C(0，1)，A(1，0)，B(1，1)，D(3，0)，OP→＝αOC→＋βOD→＝(3β，α)． 设 P(x ， y) ， 则 x＝3β， y＝α， 因 为 P 在 △BCD 内 ， 则 有 x＋3y－3≥0， x＋2y－3≤0， y≤1， 所 以 β＋α－1≥0， 3β＋2α－3≤0， α≤1. 如图作出可行域，作直线 l0：α＋β＝0，平移 l0 可知当移到点 E 1，1 3 时，α＋β取最大值4 3 .故选 B. 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分． 13．(2016·江苏)复数 z＝(1＋2i)(3－i)，其中 i 为虚数单位，则 z 的实部是________． 解：z＝(1＋2i)(3－i)＝5＋5i.故填 5. 14．已知向量 a，b 的夹角为3π 4 ，且|a|＝ 2，|b|＝2，则 a·(a－2b)＝________． 解：a·(a－2b)＝a2－2a·b＝2－2× 2×2× － 2 2 ＝6.故填 6. 15．在△ABC 中，AC＝1，AB＝2，A＝2π 3 ，过点 A 作 AP⊥BC 于点 P，且AP→＝λAB→＋μAC→， 则λμ＝________. 解：由题意知AB→·AC→＝2×1×cos2π 3 ＝－1，因为 AP⊥BC，所以AP→·BC→＝0，即(λAB→＋ μAC→)·(AC→－AB→)＝0， 所以(λ－μ)AB→·AC→－λAB→2＋μAC→2＝0， 即μ－λ－4λ＋μ＝0，所以μ＝5 2 λ，① 因为 P，B，C 三点共线，所以λ＋μ＝1，② 由①②联立解得 λ＝2 7 ， μ＝5 7 ， 即λμ＝2 7 ×5 7 ＝10 49 . 故填10 49 . 16．(2016·浙江)已知向量 a，b，|a|＝1， |b|＝2，若对任意单位向量 e，均有|a·e|＋|b·e|≤ 6，则 a·b 的最大值是________． 解：因为|(a＋b)·e|＝|a·e＋b·e|≤|a·e|＋|b·e|≤ 6，且当 a＋b 与 e 同向时， (a＋b)·e 取得最大值为|a＋b|，要使上式对任意单位向量 e 成立，即|a＋b|≤ 6，则|a|2 ＋|b|2＋2a·b≤6，则 a·b≤1 2 ，即最大值为1 2 .故填1 2 . 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．(10 分)已知向量 a＝(1，2)，b＝(x，1)． (1)若〈a，b〉为锐角，求 x 的范围； (2)当(a＋2b)⊥(2a－b)时，求 x 的值． 解：(1)若〈a，b〉为锐角， 则 a·b>0 且 a，b 不同向． 则 a·b＝x＋2>0， 所以 x>－2.当 x＝1 2 时，a，b 同向． 所以 x>－2 且 x≠1 2 . (2)因为 a＋2b＝(1＋2x，4)，(2a－b)＝(2－x，3)，则(2x＋1)(2－x)＋3×4＝0， 即－2x2＋3x＋14＝0， 解得 x＝7 2 或 x＝－2. 18．(12 分)已知 z 是复数，z＋2i， z 2－i 均为实数(i 为虚数单位)，且复数(z＋ai)2 在 复平面内对应的点在第一象限，求实数 a 的取值范围． 解：设 z＝x＋yi(x，y∈R)， 所以 z＋2i＝x＋(y＋2)i，由题意得 y＝－2. 因为 z 2－i ＝x－2i 2－i ＝1 5 (x－2i)(2＋i) ＝1 5 (2x＋2)＋1 5 (x－4)i， 由题意得 x＝4，所以 z＝4－2i. 因为(z＋ai)2＝(12＋4a－a2)＋8(a－2)i， 所以 12＋4a－a2>0， a－2>0， 解得 20， 解得－3 4