数学理卷·2019届广东省中山市高二上学期期末考试（2018-01） 10页

中山市高二级2017-2018学年度第一学期期末统一考试 数学试卷（理科）‎ 第Ⅰ卷（共60分）‎ 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.设是实数，则“”是“”的（ ）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎2. 的三个内角所对的边分别为，且满足，则（ ）‎ A． B． C． D．或 ‎3.等比数列的前项和为，已知，则（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎4.一个大型喷水池的中央有一个强力喷水柱，为了测量喷水柱的水柱的高度，某人在喷水柱正西方向的处测得水柱顶端的仰角为，沿向北偏东方向前进后到达处，在处测得水柱顶端的仰角为，则水柱的高度试（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎5.已知等差数列的前项和为，则（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎6.设满足约束条件，则取值范围是（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎7.直线与曲线相切，则的值为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎8.已知函数是函数的导函数，则的图象大致是（ ）‎ A． B． ‎ ‎ C. D．‎ ‎9.双曲线上一点到左焦点的距离为是的中点，则（ ）‎ A． B． C. 或 D．或 ‎10.空间四点的位置关系式（ ）‎ A．共线 B．共面 C.不共面 D．无法确定 ‎11.已知点为双曲线的右支上的一点，为双曲线的左、右焦点，使（为坐标原点）且，则双曲线的离心率为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎12.设等差数列的前项和为.在同一坐标系中，及的部分图象如图所示，则（ ）‎ A．当时，取得最大值 B．当时，取得最大值 C. 当时，取得最小值 D．当时，取得最小值 第Ⅱ卷（共90分）‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13.抛物线的准线方程为 ．‎ ‎14.已知的解集为，则不等式的解集为 ．‎ ‎15. ，则的最大值为 ．‎ ‎16.定义在上的函数的导函数为，若对任意的实数，有，且为奇函数，则不等式的解集是 ．‎ 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） ‎ ‎17. 已知分别为三个内角的对边，且.‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）若为边上的中线，，求的面积.‎ ‎18. 设数列的前项积为，且.‎ ‎（1）求证：数列是等差数列；‎ ‎（2）设，求数列的前项和.‎ ‎19. 某工厂生产一种仪器的元件，由于受生产能力和技术水平的限制，会产生一些次品，根据经验知道，其次品率与日产量（万件）之间满足关系：‎ ‎（其中为小于的正常数）‎ ‎（注：次品率=次品数/生产量，如表示每生产件产品，有件为次品，其余为合格品）‎ 已知每生产万件合格的仪器可以盈利万元，但每生产万件次品将亏损万元，故厂方希望定出合适的日产量.‎ ‎（1）试将生产这种仪器的元件每天的盈利额（万元）表示为日产量（万件）的函数；‎ ‎（2）当日产量为多少时，可获得最大利润？‎ ‎20. 如图所示的几何体中，四边形为等腰梯形，，四边形为正方形，平面平面.‎ ‎（1）若点是棱的中点，求证：平面；‎ ‎（2）求直线与平面所成角的正弦值.‎ ‎21. 设函数.‎ ‎（1）讨论的单调性；‎ ‎（2）若有两个极值点和，记过点的直线的斜率为，问：是否存在，使得？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由.‎ ‎22.在平面直角坐标系中，已知椭圆的右顶点与上顶点分别为，椭圆的离心率为，且过点.‎ ‎（1）求椭圆的标准方程；‎ ‎（2）如图，若直线与该椭圆交于两点，直线的斜率互为相反数.‎ ①求证：直线的斜率为定值；‎ ②若点在第一象限，设与的面积分别为，求的最大值.‎ 试卷答案 一、选择题 ‎1-5:BBCAB 6-10:DBAAC 11、12：DA 二、填空题 ‎13. 14. 或 15. 16. ‎ 三、解答题 ‎17.解：（1），由正弦定理得：‎ ‎，即，‎ 化简得：，‎ 在中，，得.‎ ‎（2）在中，，得 则 由正弦定理得 设，在中，由余弦定理得：，则，解得，‎ 即 故.‎ ‎18.解：（1）因为，所以，即，所以 又，所以，‎ 即，‎ 所以数列是以为首项，以为公差的等差数列.‎ ‎（2）由（1）知，‎ 所以 所以.‎ ‎19.解：（1）当时，，‎ 当时，，‎ 综上，日盈利额（万元）与日产量（万件）的函数关系为：‎ ‎（2）由（1）知，当时，每天的盈利额为 当时，‎ 当且仅当时取等号 所以（i）当时，，此时 ‎（ii）当时，由 知函数在上递增，‎ ‎，此时 综上，若，则当日产量为万件时，可获得最大利润 若，则当日产量为万件时，可获得最大利润 ‎20.证明：由已知得，且.‎ 因为为等腰梯形，所以有.‎ 因为是棱的中点，所以.‎ 所以，且，‎ 故四边形为平行四边形，‎ 所以.‎ 因为平面平面，‎ 所以平面.‎ 解：（2）因为为正方形，所以.‎ 因为平面平面，‎ 平面平面，‎ 平面，‎ 所以平面.‎ 在中，因为，，‎ 所以由余弦定理，得，‎ 所以.‎ 在等腰梯形中，可得.‎ 如图，以为原点，以所在直线分别为轴，建立空间坐标系，‎ 则，‎ 所以.‎ 设平面的法向量为，由，所以，取，则，得.‎ 设直线与平面所成的角为，‎ 则 所以与平面所成的角的正弦值为.‎ ‎21.解：（1）的定义域为，‎ 令，其判别式 ①当时，，故在上单调递增，‎ ②当时，的两根都小于，在上，，故在上单调递增，‎ ③当时，的两根为，‎ 当时，；当时，；当时，，‎ 故分别在上单调递增，在上单调递减.‎ ‎（2）由（1）知，，‎ 因为，‎ 所以，‎ 又由（1）知，.于是 若存在，使得，则.即，‎ 亦即（*）‎ 再由（1）知，函数在上单调递增，而，‎ 所以.这与（*）式矛盾，故不存在，使得.‎ ‎22.（1）由题意，离心率，所以，所以，‎ 故椭圆的方程为，将点代入，求得，‎ 所以椭圆的标准方程为；‎ ‎（2）①设直线的方程为，则由题意直线的方程为，‎ 由，得，‎ 所以点的坐标为，‎ 同理可求得点的坐标为.‎ 所以直线的斜率为.‎ ②设两点到直线的距离分别为，‎ 因为点在第一象限，则点必在第三象限，‎ 所以，且点分别在直线的上、下两侧，‎ 所以，‎ 从而，‎ ‎，‎ 所以，‎ 令，‎ 则，‎ 当且仅当，即，即时，有最大值为.‎