江苏省常州市2020届高三上学期期末考试 数学 15页

‎2020届高三模拟考试试卷 数　　学 ‎(满分160分，考试时间120分钟)‎ ‎2020．1‎ 参考公式：‎ 锥体的体积公式V＝Sh，其中S是锥体的底面积，h为锥体的高．‎ 样本数据x1，x2，…，xn的方差s2＝(xi－)2，其中＝xi.‎ 一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．‎ ‎(第3题)‎ ‎1. 已知集合A＝{－1，0，1}，B＝{x|x2＞0}，则A∩B＝________．‎ ‎2. 若复数z满足z·i＝1－i(i是虚数单位)，则z的实部为________．‎ ‎3. 如图是一个算法的流程图，则输出S的值是________．‎ ‎4. 函数y＝的定义域是________．‎ ‎5. 已知一组数据17，18，19，20，21，则该组数据的方差是________．‎ ‎6. 某校开设5门不同的选修课程，其中3门理科类和2门文科类，某同学从中任选2门课程学习，则该同学“选到文科类选修课程”的概率为________．‎ ‎7. 已知函数f(x)＝则f(f(8))＝________．‎ ‎8. 函数y＝3sin(2x＋)，x∈[0，π]取得最大值时自变量x的值为________．‎ ‎9. 在等比数列{an}中，若a1＝1，4a2，2a3，a4成等差数列，则a1a7＝________．‎ ‎10. 已知＝，则tan 2α＝________．‎ ‎11. 在平面直角坐标系xOy中，双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的右顶点为A，过A作x轴的垂线与C的一条渐近线交于点B.若OB＝2a，则C的离心率为________．‎ ‎12. 已知函数f(x)＝|lg(x－2)|，互不相等的实数a，b满足f(a)＝f(b)，则a＋4b的最小值为________．　‎ ‎13. 在平面直角坐标系xOy中，圆C：x2－2ax＋y2－2ay＋2a2－1＝0上存在点P到点(0，1)的距离为2，则实数a的取值范围是________．‎ ‎14. 在△ABC中，∠A＝，点D满足＝，且对任意x∈R，|x＋|≥|－|恒成立，则cos∠ABC＝________．‎ 二、 解答题：本大题共6小题，共90分. 解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎15. (本小题满分14分) ‎ 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a＝1，cos B＝.‎ ‎(1) 若A＝，求sin C的值；‎ ‎(2) 若b＝，求c的值．‎ ‎16.(本小题满分14分)‎ 如图，在四棱锥PABCD中，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是矩形，AP＝AD，点M，N分别是线段PD，AC的中点．求证：‎ ‎(1) MN∥平面PBC；‎ ‎(2) PC⊥AM.‎ ‎17. (本小题满分14分)‎ 如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，椭圆右顶点为A，点F2在圆A：(x－2)2＋y2＝1上．‎ ‎(1) 求椭圆C的标准方程；‎ ‎(2) 点M在椭圆C上，且位于第四象限，点N在圆A上，且位于第一象限，已知＝－，求直线F1M的斜率．‎ ‎18. (本小题满分16分)‎ 请你设计一个包装盒，ABCD是边长为10 cm的正方形硬纸片(如图1)，切去阴影部分所示的四个全等的等腰三角形，再沿虚线折起，使得A，B，C，D四个点重合于图2中的点P，正好形成一个正四棱锥形状的包装盒(如图2)，设正四棱锥PEFGH的底面边长为x(cm)．‎ ‎(1) 若要求包装盒侧面积S不小于75 cm2，求x的取值范围；‎ ‎(2) 若要求包装盒容积V(cm3)最大，试问x应取何值？并求出此时包装盒的容积．‎ ‎19. (本小题满分16分)‎ 已知函数f(x)＝(ax2＋2x)ln x＋x2＋1(a∈R)．‎ ‎(1) 若曲线y＝f(x)在x＝1处的切线的斜率为2，求函数f(x)的单调区间；‎ ‎(2) 若函数f(x)在区间(1，e)上有零点，求实数a的取值范围．(e为自然对数的底数，e≈2.718 28…)‎ ‎20. (本小题满分16分)‎ 设m为正整数，若两个项数都不小于m的数列{An}，{Bn}满足：存在正数L，当n∈N*且n≤m时，都有|An－Bn|≤L，则称数列{An}，{Bn}是“(m，L)接近的”．已知无穷等比数列{an}满足8a3＝4a2＝1，无穷数列{bn}的前n项和为Sn，b1＝1，且＝，n∈N*.‎ ‎(1) 求数列{an}通项公式；‎ ‎(2) 求证：对任意正整数m，数列{an}，{a＋1}是“(m，1)接近的”；‎ ‎(3) 给定正整数m(m≥5)，数列，{b＋k}(其中k∈R)是“(m，L)接近的”，求L的最小值，并求出此时的k(均用m表示)．(参考数据：ln 2≈0.69)‎ ‎2020届高三模拟考试试卷(五)‎ 数学附加题(满分40分，考试时间30分钟)‎ ‎21. 【选做题】 在A，B，C三小题中只能选做两题，每小题10分，共20分．若多做，则按作答的前两题计分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．‎ A. (选修4-2：矩阵与变换)‎ 已知点(a，b)在矩阵A＝对应的变换作用下得到点(4，6)．‎ ‎(1) 写出矩阵A的逆矩阵；‎ ‎(2) 求a＋b的值．‎ B. (选修4-4：坐标系与参数方程)‎ 求圆心在极轴上，且过极点与点P(2，)的圆的极坐标方程．‎ C. (选修4-5：不等式选讲)‎ 求函数y＝的最小值．‎ ‎【必做题】 第22，23题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎22. 批量较大的一批产品中有30%的优等品，现进行重复抽样检查，共取3个样品，以X表示这3个样品中优等品的个数．‎ ‎(1) 求取出的3个样品中有优等品的概率；‎ ‎(2) 求随机变量X的概率分布及数学期望E(X)．‎ ‎23. 设集合A＝{1，2}，An＝{t|t＝an·3n＋an－1·3n－1＋…＋a1·3＋a0，其中ai∈A，i＝0，1，2，…，n}，n∈N*.‎ ‎(1) 求A1中所有元素的和，并写出集合An中元素的个数；‎ ‎(2) 求证：能将集合An(n≥2，n∈N*)分成两个没有公共元素的子集Bs＝{b1，b2，b3，…，bs}和Cl＝{c1，c2，c3，…，cl}，s，l∈N*，使得b＋b＋…＋b＝c＋c＋…＋c成立．‎ ‎2020届高三模拟考试试卷(五)(常州)‎ 数学参考答案及评分标准 ‎1. {－1，1}　2. －1　3. 10　4. [0，＋∞)　5. 2　6. 　7. －　8. 　9. 64　10. －2　11. 2　12. 14　13. ∪　14. ‎15. 解：(1) 在△ABC中，0＜B＜π，则sin B＞0.‎ 因为cos B＝，所以sin B＝＝＝.(3分)‎ 在△ABC中，A＋B＋C＝π，所以sin C＝sin[π－(A＋B)]＝sin(A＋B)，(5分)‎ 所以sin C＝sin(＋B)＝sin cos B＋cos sin B＝×＋×＝.(8分)‎ ‎(2) 由余弦定理得b2＝a2－2accos B＋c2，则()2＝1－2c·＋c2，(10分)‎ 所以c2－c－1＝0，(c－)(c＋)＝0.(12分)‎ 因为c＋＞0，所以c－＝0，即c＝.(14分)‎ ‎16. ‎ 证明：(1) 取PC，BC的中点E，F，连结ME，EF，FN，‎ 在三角形PCD中，点M，E为PD，PC的中点，‎ 所以EM∥CD，EM＝CD.‎ 在三角形ABC中，点F，N为BC，AC的中点，‎ 所以FN∥AB，FN＝AB.‎ 因为四边形ABCD是矩形，所以AB∥CD，AB＝CD，‎ 从而EM∥FN，EM＝FN，所以四边形EMNF是平行四边形．(4分)‎ 所以MN∥EF，又EF⊂平面PBC，MN⊄平面PBC，所以MN∥平面 PBC.(6分)‎ ‎(2) 因为PA⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，所以PA⊥CD.‎ 因为四边形ABCD是矩形，所以AD⊥CD.(8分)‎ 因为PA∩AD＝A，PA⊂平面PAD，AD⊂平面PAD，所以CD⊥平面PAD.‎ 又AM⊂平面PAD，所以CD⊥AM.(10分)‎ 因为AP＝AD，点M为PD的中点，所以AM⊥PD.‎ 因为PD∩CD＝D，PD⊂平面PCD，CD⊂平面PCD，‎ 所以AM⊥平面PCD.(12分)‎ 又PC⊂平面PCD，所以PC⊥AM.(14分)‎ ‎17. 解：(1) 圆A：(x－2)2＋y2＝1的圆心A(2，0)，半径r＝1，与x轴交点坐标为(1，0)，(3，0)．‎ 点F2在圆A：(x－2)2＋y2＝1上，所以F2(1，0)，从而a＝2，c＝1，‎ 所以b＝＝＝，所以椭圆C的标准方程为＋＝1.(4分)‎ ‎(2) 由题可设点M(x1，y1)，0＜x1＜2，y1＜0，点N(x2，y2)，x2＞0，y2＞0，‎ 则＝(x1－2，y1)，＝(x2－2，y2)．‎ 由＝－知，点A，M，N共线．(5分)‎ 由题知直线AM的斜率存在，可设为k(k＞0)，则直线AM的方程为y＝k(x－2)．‎ 由得或 所以N(2＋，)．(7分)‎ 由得(3＋4k2)x2－16k2x＋16k2－12＝0，解得或 所以M(，)．(10分)‎ 代入＝－得(－2，)＝－(，)，‎ 即(4k2－9)(52k2＋51)＝0，又k＞0，解得k＝，(13分)‎ 所以M(1，－)，又F1(－1，0)，可得直线F1M的斜率为＝－.(14分)‎ ‎18. 解：(1) 在图1中连结AC，BD交于点O，设BD与FG交于点M，在图2中连结OP.‎ 因为ABCD是边长为10 cm的正方形，所以OB＝10(cm)．‎ 由FG＝x，得OM＝，PM＝BM＝10－.(2分)‎ 因为PM＞OM，即10－＞，所以0＜x＜10.(4分)‎ 因为S＝4×FG·PM＝2x(10－)＝20x－x2，(6分)‎ 由20x－x2≥75，得5≤x≤15，所以5≤x<10.‎ 答：x的取值范围是5≤x＜10.(8分)‎ ‎(2) 在Rt△OMP中，因为OM2＋OP2＝PM2，‎ 所以OP＝＝＝，‎ V＝·FG2·OP＝x2＝，0＜x＜10.(10分)‎ 设f(x)＝100x4－10x5，0＜x＜10，所以f′(x)＝400x3－50x4＝50x3(8－x)．‎ 令f′(x)＝0，解得x＝8或x＝0(舍去)，(12分)‎ 列表：‎ x ‎(0，8)‎ ‎8‎ ‎(8，10)‎ f′(x)‎ ‎＋‎ ‎0‎ ‎－‎ f(x)‎ 极大值 所以当x＝8时，函数f(x)取得极大值，也是最大值，(14分)‎ 所以当x＝8时，V的最大值为.‎ 答：当x＝8 cm时，包装盒容积V最大为(cm3)．(16分)‎ ‎19. (1) 函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，‎ f′(x)＝(2ax＋2)ln x＋(ax2＋2x)·＋ax＝2(ax＋1)ln x＋2ax＋2＝2(ax＋1)(ln x＋1)，(2分)‎ 则f′(1)＝2(a＋1)＝2，所以a＝0.(3分)‎ 此时f(x)＝2xln x＋1，定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝2(ln x＋1)，‎ 令f′(x)＞0，解得x＞；令f′(x)＜0，解得x＜；‎ 所以函数f(x)的单调增区间为(，＋∞)，单调减区间为(0，)．(6分)‎ ‎(2) 函数f(x)＝(ax2＋2x)ln x＋x2＋1在区间[1，e]上的图象是一条不间断的曲线．‎ 由(1)知f′(x)＝2(ax＋1)(ln x＋1)，‎ ‎1) 当a≥0时，对任意x∈(1，e)，ax＋1＞0，ln x＋1＞0，则f′(x)＞0，所以函数f(x)在区间[1，e]上单调递增，此时对任意x∈(1，e)，都有f(x)＞f(1)＝＋1＞0成立，从而函数f(x)在区间(1，e)上无零点；(8分)‎ ‎2) 当a＜0时，令f′(x)＝0，得x＝或－，其中＜1，‎ ‎①若－≤1，即a≤－1，则对任意x∈(1，e)，f′(x)＜0，所以函数f(x)在区间[1，e]上单调递减，由题意得f(1)＝＋1＞0，且f(e)＝ae2＋2e＋e2＋1＜0，‎ 解得－2＜a＜－，其中－－(－1)＝＞0，即－＞－1，‎ 所以a的取值范围是－2＜a≤－1；(10分)‎ ‎②若－≥e，即－≤a＜0，则对任意x∈(1，e)，f′(x)＞0，所以函数f(x)在区间[1，e]上单调递增，此时对任意x∈(1，e)，都有f(x)＞f(1)＝＋1＞0成立，从而函数f(x)在区间(1，e)上无零点；(12分)‎ ‎③若1＜－＜e，即－1＜a＜－，则对任意x∈(1，－)，f′(x)＞0，所以函数f(x)在区间[1，－]上单调递增，对任意x∈(1，－]，都有f(x)＞f(1)＝＋1＞0成立；(1分)‎ 对任意x∈(－，e)，f′(x)＜0，函数f(x)在区间[－，e]上单调递减，‎ 由题意得f(e)＝ae2＋2e＋e2＋1＜0，解得a＜－，‎ 其中－－(－)＝＝＜0，即－＜－(－)，‎ 所以a的取值范围是－1＜a＜－.(15分)‎ 综上，实数a的取值范围是－2＜a＜－.(16分)‎ ‎20. 解：(1) 设等比数列{an}公比为q，由8a3＝4a2＝1得8a1q2＝4a1q＝1，‎ 解得a1＝q＝，故an＝.(3分)‎ ‎(2) |an－(a＋1)|＝＝＝(－)2＋.(5分)‎ 对任意正整数m，当n∈N*，且n≤m时，有0＜≤≤，‎ 则(－)2＋＜＋＝1，即|an－(a＋1)|≤1成立，‎ 故对任意正整数m，数列{an}，{a＋1}是“(m，1)接近的”．(8分)‎ ‎(3) 由＝，得到Sn(bn＋1－bn)＝bnbn＋1，且bn，bn＋1≠0，‎ 从而bn＋1－bn≠0，于是Sn＝.(9分)‎ 当n＝1时，S1＝，b1＝1，解得b2＝2；‎ 当n≥2时，bn＝Sn－Sn－1＝－，又bn≠0，‎ 整理得bn＋1＋bn－1＝2bn，所以bn＋1－bn＝bn－bn－1，因此数列{bn}为等差数列．‎ 因为b1＝1，b2＝2，则数列{bn}的公差为1，故bn＝n.(11分)‎ 根据条件，对于给定正整数m(m≥5)，当n∈N*且n≤m时，都有 ＝|2n－(n2＋k)|≤L成立，‎ 即－L＋2n－n2≤k≤L＋2n－n2　①对n＝1，2，3，…，m都成立．(12分)‎ 考查函数f(x)＝2x－x2，f′(x)＝2xln 2－2x，令g(x)＝2xln 2－2x，‎ 则g′(x)＝2x(ln 2)2－2，当x＞5时，g′(x)＞0，所以g(x)在[5，＋∞)上是增函数．‎ 因为g(5)＝25ln 2－10＞0，所以当x＞5时，g(x)＞0，则f′(x)＞0，‎ 所以f(x)在[5，＋∞)上是增函数．‎ 注意到f(1)＝1，f(2)＝f(4)＝0，f(3)＝－1，f(5)＝7，‎ 故当n＝1，2，3，…，m时，－L＋2n－n2的最大值为－L＋2m－m2，‎ L＋2n－n2的最小值为L－1.(14分)‎ 欲使满足①的实数k存在，必有－L＋2m－m2≤L－1，则L≥，‎ 因此L的最小值，此时k＝.(16分)‎ ‎2020届高三模拟考试试卷(常州)‎ 数学附加题参考答案及评分标准 ‎21. A. 解：(1) A－1＝.(4分)‎ ‎(2) 点(a，b)在矩阵A＝对应的变换作用下得到点(4，6)，所以A＝，(6分)‎ 所以＝A－1＝＝，(8分)‎ 所以a＝1，b＝1，得a＋b＝2.(10分)‎ B. 解：因为所求圆的圆心在极轴上，且过极点，故可设此圆的极坐标方程是ρ＝2rcos θ.‎ 因为点P(2，)在圆上，所以2＝2rcos ，解得r＝2.‎ 因此所求圆的极坐标方程是ρ＝4cos θ.(10分)‎ C. 解：函数y＝的定义域为[0，＋∞)，＋1＞0.(2分)‎ ＝＝(＋1)＋－4≥2－4＝2，‎ 当且仅当＋1＝，即x＝4时取到“＝”．(8分)‎ 所以当x＝4时，函数y＝的最小值为2.(10分)‎ ‎22. 解：(1) 记“取出的3个样品中有优等品”为事件A，则A表示“取出的3个样品中没有优等品”，P(A)＝(1－0.3)3＝，所以P(A)＝1－P(A)＝1－＝.(3分)‎ 答：取出的3个样品中有优等品的概率是.(4分)‎ ‎(2) X～B(3，0.3)，P(X＝k)＝C0.3k(1－0.3)3－k，k＝0，1，2，3，(6分)‎ 随机变量X的分布如表：‎ X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P ‎(8分)‎ E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.‎ 答：随机变量X的数学期望是.(10分)‎ ‎23. 解：(1) A1＝{t|t＝a1·3＋a0，其中ai∈A，i＝0，1}＝{4，5，7，8}．‎ 所以A1中所有元素的和为24，集合An中元素的个数为2n＋1.(2分)‎ ‎(2) 取s＝l＝2n.下面用数学归纳法进行证明．‎ ‎①当n＝2时，A2＝{13，14，16，17，22，23，25，26}，(3分)‎ 取b1＝13，b2＝17，b3＝23，b4＝25，c1＝14，c2＝16，c3＝22，c4＝26，有 b1＋b2＋b3＋b4＝c1＋c2＋c3＋c4＝78，且b＋b＋b＋b＝c＋c＋c＋c＝1 612成立．(4分)‎ 即当n＝k＋1时也成立．(9分)‎ 综上可得：能将集合An，n≥2分成两个没有公共元素的子集Bs＝{ b1，b2，b3，…，bs}和 Cl＝{c1，c2，c3，…，cl}，s，l∈N*，使得b＋b＋…＋b＝c＋c＋…＋c成立．(10分)‎