【数学】新疆昌吉回族自治州昌吉州第二中学2019-2020学年高二下学期期中考试（理）（解析版） 11页

新疆昌吉回族自治州昌吉州第二中学2019-2020学年 高二下学期期中考试（理）‎ 一、单选题（每题5分，共60分）‎ ‎1．如图所示的是的图象，则与的大小关系是( )‎ A． B．‎ C． D．不能确定 ‎2．已知复数满足（为虚数单位），为的共轭复数，则（ ）‎ A．2 B． C． D．4‎ ‎3．曲线在点处的切线方程是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎4．是函数y＝f(x)的导函数，若y＝的图象如图所示，则函数y＝f(x)的图象可能是(　　)‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎5．在一次数学单元测验中，甲、乙、丙、丁四名考生只有一名获得了满分.这四名考生的对话如下，甲：我没考满分；乙：丙考了满分；丙：丁考了满分；丁：我没考满分.其中只有一名考生说的是真话，则考得满分的考生是（ ）‎ A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 ‎6．用数学归纳法证明，则从到时左边添加的项是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎7．中国古代中的“礼、乐、射、御、书、数”合称“六艺”.“礼”，主要指德育；“乐”，主要指美育；“射”和“御”，就是体育和劳动；“书”，指各种历史文化知识；“数”，指数学.某校国学社团开展“六艺”课程讲座活动，每艺安排一节，连排六节，一天课程讲座排课有如下要求：“数”必须排在第三节，且“射”和“御”两门课程相邻排课，则“六艺”课程讲座不同的排课顺序共有（ ）‎ A．12种 B．24种 C．36种 D．48种 ‎8．已知与分别为函数与函数的图象上一点，则线段的最小值为( )‎ A． B． C． D．6‎ ‎9．函数在上的最大值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎10．已知函数 在上单调递减，则的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎11．设函数是奇函数（）的导函数，，当时，，则使得成立的的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎12．已知不等式对一切都成立，则的最小值是（ ）‎ A． B． C． D．1‎ 二、填空题（每题5分，共20分）‎ ‎13．设复数（为虚数单位），则的虚部为______.‎ ‎14．__________‎ ‎15．6人排成一排合影，甲乙相邻但乙丙不相邻，共有____（用数字）种不同的排法．‎ ‎16．“克拉茨猜想”又称“‎ 猜想”，是德国数学家洛萨•克拉茨在1950年世界数学家大会上公布的一个猜想：任给一个正整数，如果是偶数，就将它减半；如果为奇数就将它乘3加1,不断重复这样的运算，经过有限步后，最终都能够得到1.己知正整数经过6次运算后得到1，则的值为__________．‎ 三、解答题（17题10分，其余各题12分）‎ ‎17．为支援武汉抗击疫情，某医院准备从6名医生和3名护士中选出5人组成一个医疗小组远赴武汉，请解答下列问题：（用数字作答）‎ ‎（1）如果这个医疗小组中医生和护士都不能少于2人，共有多少种不同的建组方案？‎ ‎（2）医生甲要担任医疗小组组长，所以必选，而且医疗小组必须医生和护士都有，共有多少种不同的建组方案？‎ ‎18．已知函数.‎ ‎(I) 求的减区间;‎ ‎(II)当时, 求的值域.‎ ‎19．如图，设是抛物线上的一点．‎ ‎（Ⅰ）求该抛物线在点处的切线的方程；‎ ‎（Ⅱ）求曲线、直线和轴所围成的图形的面积．‎ ‎20．已知.‎ ‎（1）写出，，的值；‎ ‎（2）归纳的值，并用数学归纳法加以证明.‎ ‎21．已知函数.‎ ‎（1）若，求函数的最大值；‎ ‎（2）对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围.‎ ‎22．设，函数．‎ ‎（1）当时，求函数的单调区间；‎ ‎（2）若函数在区间上有唯一零点，试求a的值．‎ 参考答案 ‎1．B【解析】：由函数图像可知函数在A处的切点斜率比在B处的切线斜率要小，由导数的几何意义可知成立 ‎2．B【解析】：由题得，‎ 所以故答案为：B.‎ ‎3．D【解析】曲线, ‎ 故切线方程为.故答案为：D.‎ ‎4．D【解析】由已知条件找到导函数在和为正，在为负，可得原函数的单调性即可得答案.‎ ‎5．A【解析】分析四人说的话，由丙、丁两人一定是一真一假，分丙为真与丁为真进行推理判断可得答案.‎ ‎6．D【解析】当时，等式的左边为，‎ 当 时，等式的左边为，‎ 故从“到”，左边所要添加的项是．‎ ‎7．C【解析】由题意，“数”排在第三节，则“射”和“御”两门课程相邻时，可排在第1节和第2节或第4节和第5节或第5节和第6节，有3种，再考虑两者的顺序，有种，‎ 剩余的3门全排列，安排在剩下的3个位置，有种，‎ 所以“六艺”课程讲座不同的排课顺序共有种不同的排法.‎ ‎8．C【解析】已知与分别为函数与函数的图象上一点，‎ 可知抛物线存在某条切线与直线平行，则，‎ 设抛物线的切点为，则由可得，‎ ‎，所以切点为，‎ 则切点到直线的距离为线段的最小值，‎ 则.‎ ‎9．A【解析】，，‎ 令，由于，得.‎ 当时，；当时，．‎ 因此，函数在处取得最小值，在或处取得最大值，‎ ‎，，因此，，‎ ‎10．A【解析】在上恒成立，‎ 则在上恒成立，，，‎ 所以在单调递增，故g(x)的最大值为g(3)=.故.‎ ‎11．A【解析】构造新函数,，当时.‎ 所以在上单减，又，即.‎ 所以可得,此时，‎ 又为奇函数，所以在上的解集为：.‎ ‎12．A【解析】令，则，‎ 若，则恒成立，时函数递增，无最值．‎ 若，由得，‎ 当时，，函数递增；当时，，函数递减．‎ 则处取得极大值，也为最大值，‎ ‎，，，‎ 令，，上，，上，，‎ 时，，的最小值为．‎ ‎13．【解析】∵，∴复数的虚部为.‎ ‎14．【解析】表示以(1,0)为圆心,1为半径的圆的个圆的面积,所以π×12=；故答案为：‎ ‎15．192【解析】‎ 第一步：甲乙相邻，共有种排法；‎ 第二步：将甲乙看做一个人，与除丙外的其他人排列，共有：种排法；‎ 第三步：将丙插空放入，保证与乙不相邻，共有：种排法 共有：种排法 ‎16．10或64.【解析】‎ 如果正整数按照上述规则经过6次运算得到1，‎ 则经过5次运算后得到的一定是2；‎ 经过4次运算后得到的一定是4；‎ 经过3次运算后得到的为8或1（不合题意）；‎ 经过2次运算后得到的是16；‎ 经过1次运算后得到的是5或32；‎ 所以开始时的数为10或64．‎ 所以正整数的值为10或64．‎ 故答案为10或64．‎ ‎17【解析】‎ ‎ (1)由题可能的情况有医生3人护士2人和医生2人护士3人,‎ 共种不同的建组方案.‎ ‎(2)由题,除开医生甲后不考虑必须医生护士都有的建组方案共 种,其中只有医生的情况数有,不可能存在只有女医生的情况.故共有种不同的建组方案.‎ ‎18．【解析】‎ 解: (I) 由函数, 求导 ‎ 当, 解得 即的减区间 ‎ ‎(II) 当, 解得 即在上递减, 在上递增 ‎ 故的值域 ‎19．【解析】‎ 解:（Ⅰ）因为，所以 所以直线在处的斜率 则切线的方程为即 ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，所以由定积分可得面积 所以曲线、直线和轴所围成的图形的面为．‎ ‎20．【解析】‎ 解: (1)由题意可得：‎ f(1)=1，，，.‎ ‎，，‎ ‎.‎ ‎(2)由(1)猜想g(n)=n(n2).‎ 下面利用数学归纳法证明：‎ ‎①当n=2时，猜想成立；‎ ‎②假设当时，g(k)=k.‎ 即，‎ ‎∴f(1)+f(2)+…+f(k−1)=kf(k)−k，‎ 则当n=k+1时，‎ ‎=k+1，‎ 因此当n=k+1时，命题g(k+1)=k+1成立.‎ 综上可得：，g(n)=n(n⩾2)成立.‎ ‎21．【解析】‎ 解:（1）当时，，定义域为，.‎ 令，得；令，得.‎ 因此，函数的单调递增区间为，单调递减区间为；‎ ‎（2）不等式恒成立，等价于在恒成立，‎ 令，，则，‎ 令，，.‎ 所以在单调递增，而，‎ 所以时，，即，单调递减；‎ 时，，即，单调递增.‎ 所以在处取得最小值，‎ 所以，即实数的取值范围是.‎ ‎22．【解析】‎ 解:（1）函数,‎ 当时,（）,‎ ‎∴,‎ 令,即,‎ 解得或（舍）,‎ ‎∴时,；时,,‎ ‎∴的单调减区间是,单调增区间是 ‎（2）,‎ 则,‎ 令,得,‎ ‎∵,‎ ‎∴,‎ ‎∴方程的解为（舍）,；‎ ‎∴函数在上单调递减,在上单调递增，‎ ‎∴,‎ 若函数在区间上有唯一零点,‎ 则,‎ 而满足,‎ ‎∴,‎ 即,‎ 设,‎ ‎∵在是单调递增的,‎ ‎∴至多只有一个零点,‎ 而,‎ ‎∴用代入,‎ 得,‎ 解得