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- 2021-06-30 发布
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2016-2017学年吉林省吉林二中高二(下)3月月考数学试卷(文科)
一、选择题(共12题,每题5分,共60分)
1.设F1,F2为定点,|F1F2|=6,动点M满足|MF1|+|MF2|=6,则动点M的轨迹是( )
A.椭圆 B.直线 C.圆 D.线段
2.椭圆的左右焦点为F1,F2,一直线过F1交椭圆于A,B两点,则△ABF2的周长为( )
A.32 B.16 C.8 D.4
3.双曲线=1的一个焦点为(2,0),则m的值为( )
A. B.1或3 C. D.
4.双曲线=1的渐近线方程是( )
A.y=±x B.y=±x C.y=±x D.y=±x
5.过点P(2,4)且与抛物线y2=8x有且只有一个公共点的直线有( )
A.0条 B.1条 C.2条 D..3条
6.已知点P是抛物线y2=2x上的一个动点,则点P到点(0,2)的距离与P到该抛物线准线的距离之和的最小值为( )
A. B.3 C. D.
7.已知f'(x0)=a,则的值为( )
A.﹣2a B.2a C.a D.﹣a
8.下列说法正确的是( )
A.若f′(x0)不存在,则曲线y=f(x)在点(x0,y0)处就没有切线
B.若曲线y=f(x)在点(x0,y0)处有切线,则f′(x0)必存在
C.若f′(x0)不存在,则曲线y=f(x)在点(x0,y0)处的切线斜率不存在
D.若曲线y=f(x)在点(x0,y0)处没有切线,则f′(x0)有可能存在
9.函数y=sin2x﹣cos2x的导数是( )
A.2cos B.cos2x﹣sin2x C.sin2x+cos2x D.2cos
10.以正弦曲线y=sinx上一点P为切点的切线为直线l,则直线l的倾斜角的范围是( )
A.∪ B.[0,π) C. D.∪
11.定义在R上的连续函数f(x),若(x﹣1)f′(x)<0,则下列各式正确的是( )
A.f(0)+f(2)>2f(1) B.f(0)+f(2)=2f(1)
C.f(0)+f(2)<2f(1) D.f(0)+f(2)与f(1)大小不定
12.已知函数f(x)=ax3+c,且f′(1)=6,函数在[1,2]上的最大值为20,则c的值为( )
A.1 B.4 C.﹣1 D.0
二、填空题(共4题,每题5分,共计20分)
13.椭圆E: +=1内有一点P(2,1),则经过P并且以P为中点的弦所在直线方程为 .
14.已知方程=1表示双曲线,则k的取值范围是 .
15.抛物线x2+12y=0的准线方程是 .
16.(文)如图,函数y=f(x)的图象在点P处的切线方程是y=﹣x+8,则f(5)+f′(5)= .
三、解答题(本大题共4小题,每题10分,共40分)
17.已知双曲线的中心在原点且一个焦点是F(,0),直线y=x﹣1与其相交于M,N两点.若MN的中点横坐标为,则此双曲线的方程为 .
18.已知椭圆的中心在原点,左焦点为F1(﹣,0),且右顶点为D(2,0).设点A的坐标是(1,)
(1)求该椭圆的标准方程;
(2)若P是椭圆上的动点,求线段PA的中点M的轨迹方程.
19.已知函数f(x)=x3﹣ax﹣1.
(1)若f(x)在实数集R上单调递增,求实数a的取值范围;
(2)是否存在实数a,使f(x)在(﹣1,1)上单调递减?若存在,求出a得取值范围;若不存在,说明理由.
20.已知函数f(x)=(x﹣a)2(x﹣b)(a,b∈R,a<b).
(1)当a=1,b=2时,求曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程;
(2)设x1,x2是f(x)的两个极值点,x3是f(x)的一个零点,且x3≠x1,x3≠x2.证明:存在实数x4,使得x1,x2,x3,x4按某种顺序排列后构成等差数列,并求x4.
2016-2017学年吉林省吉林二中高二(下)3月月考数学试卷(文科)
参考答案与试题解析
一、选择题(共12题,每题5分,共60分)
1.设F1,F2为定点,|F1F2|=6,动点M满足|MF1|+|MF2|=6,则动点M的轨迹是( )
A.椭圆 B.直线 C.圆 D.线段
【考点】椭圆的定义.
【分析】对选项进行分析:在平面内,若动点M到F1、F2两点的距离之和等于6,而6正好等于两定点F1、F2的距离,则动点M的轨迹是以F1,F2为端点的线段.
【解答】解:对于在平面内,若动点M到F1、F2两点的距离之和等于6,而6正好等于两定点F1、F2的距离,则动点M的轨迹是以F1,F2为端点的线段.
故选D.
2.椭圆的左右焦点为F1,F2,一直线过F1交椭圆于A,B两点,则△ABF2的周长为( )
A.32 B.16 C.8 D.4
【考点】椭圆的简单性质.
【分析】先由椭圆方程求得长半轴,而△ABF2的周长为AB+BF2+AF2,由椭圆的定义求解即可.
【解答】解:∵椭圆
∴a=4,b=,c=3
根据椭圆的定义
∴AF1+AF2=2a=8
∴BF1+BF2=2a=8
∵AF1+BF1=AB
∴△ABF2的周长为4a=16
故选B
3.双曲线=1的一个焦点为(2,0),则m的值为( )
A. B.1或3 C. D.
【考点】双曲线的简单性质.
【分析】利用双曲线方程以及焦点坐标,列出m的关系式,求解即可.
【解答】解:∵双曲线=1的焦点为(2,0),在x轴上且c=2,
∴m+3+m=c2=4.∴m=.
故选:A.
4.双曲线=1的渐近线方程是( )
A.y=±x B.y=±x C.y=±x D.y=±x
【考点】双曲线的简单性质.
【分析】由双曲线的方程,得到a=5且b=2,利用双曲线渐近线方程的公式加以计算,可得答案.
【解答】解:由于双曲线,
则a=5且b=2,双曲线的渐近线方程为y=±x,
即y=x.
故选:A.
5.过点P(2,4)且与抛物线y2=8x有且只有一个公共点的直线有( )
A.0条 B.1条 C.2条 D..3条
【考点】抛物线的简单性质.
【分析】先验证点P(2,4)在抛物线y2=8x上,进而根据抛物线的图象和性质可得到答案.
【解答】解:由题意可知点P(2,4)在抛物线y2=8x上
故过点P(2,4)且与抛物线y2=8x只有一个公共点时只能是
①过点P(2,4)且与抛物线y2=8x相切
②过点P(2,4)且平行与对称轴.
∴过点P(2,4)且与抛物线y2=8x有且只有一个公共点的直线有2条.
故选C.
6.已知点P是抛物线y2=2x上的一个动点,则点P到点(0,2)的距离与P到该抛物线准线的距离之和的最小值为( )
A. B.3 C. D.
【考点】抛物线的简单性质.
【分析】先求出抛物线的焦点坐标,再由抛物线的定义可得d=|PF|+|PA|≥|AF|,再求出|AF|的值即可.
【解答】解:依题设P在抛物线准线的投影为P',抛物线的焦点为F,则,
依抛物线的定义知P到该抛物线准线的距离为|PP'|=|PF|,
则点P到点A(0,2)的距离与P到该抛物线准线的距离之和
.
故选A.
7.已知f'(x0)=a,则的值为( )
A.﹣2a B.2a C.a D.﹣a
【考点】极限及其运算.
【分析】根据题意,由导数的定义可得=a,进而分析可得=2,即可得答案.
【解答】解:根据题意,若f'(x0)=a,则=a,
而=2=2a;
故选:B.
8.下列说法正确的是( )
A.若f′(x0)不存在,则曲线y=f(x)在点(x0,y0)处就没有切线
B.若曲线y=f(x)在点(x0,y0)处有切线,则f′(x0)必存在
C.若f′(x0)不存在,则曲线y=f(x)在点(x0,y0)处的切线斜率不存在
D.若曲线y=f(x)在点(x0,y0)处没有切线,则f′(x0)有可能存在
【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程.
【分析】根据导数的几何意义,可得若f′(x0)不存在,则曲线y=f(x)在点(x0,y0)处的切线斜率不存在.
【解答】解:根据导数的几何意义,可得若f′(x0)不存在,则曲线y=f(x)在点(x0,y0)处的切线斜率不存在.
故选:C.
9.函数y=sin2x﹣cos2x的导数是( )
A.2cos B.cos2x﹣sin2x C.sin2x+cos2x D.2cos
【考点】导数的运算.
【分析】根据导数的运算法则和三角函数的和差公式计算即可
【解答】解:y′=(sin2x)′﹣(cos2x)′=2cos2x+2sin2x=2(cos2x+sin2x)=2cos
故选:A.
10.以正弦曲线y=sinx上一点P为切点的切线为直线l,则直线l的倾斜角的范围是( )
A.∪ B.[0,π) C. D.∪
【考点】三角函数的化简求值.
【分析】先对函数解析式求导,进而利用余弦函数的性质求得导函数的范围,进而求得切线的斜率的范围,则直线的倾斜角的范围可得.
【解答】解:y'=cosx
∵cosx∈[﹣1,1]
∴切线的斜率范围是[﹣1,1]
∴倾斜角的范围是[0,]∪
故选A
11.定义在R上的连续函数f(x),若(x﹣1)f′(x)<0,则下列各式正确的是( )
A.f(0)+f(2)>2f(1) B.f(0)+f(2)=2f(1)
C.f(0)+f(2)<2f(1) D.f(0)+f(2)与f(1)大小不定
【考点】函数的单调性与导数的关系.
【分析】利用(x﹣1)f'(x)<0,得到x>1时,f'(x)<0;x<1时,f'(x)>
0;得到f(x)在(1,+∞)递减;在(﹣∞,1)递增;判断出函数值的大小.
【解答】解:因为(x﹣1)f'(x)<0,
所以x>1时,f'(x)<0;x<1时,f'(x)>0;
所以f(x)在(1,+∞)递减;在(﹣∞,1)递增;
所以f(0)<f(1),
f(2)<f(1)
所以f(0)+f(2)<2f(1)
故选C.
12.已知函数f(x)=ax3+c,且f′(1)=6,函数在[1,2]上的最大值为20,则c的值为( )
A.1 B.4 C.﹣1 D.0
【考点】利用导数求闭区间上函数的最值.
【分析】求出函数的导数,利用导函数值求出a,判断函数的单调性,然后求解函数的最大值,推出c即可.
【解答】解:∵f′(x)=3ax2,∴f′(1)=3a=6,∴a=2.当x∈[1,2]时,f′(x)=6x2>0,即f(x)在[1,2]上是增函数,∴f(x)max=f(2)=2×23+c=20,∴c=4.
故选:B.
二、填空题(共4题,每题5分,共计20分)
13.椭圆E: +=1内有一点P(2,1),则经过P并且以P为中点的弦所在直线方程为 x+2y﹣4=0 .
【考点】直线与圆锥曲线的关系.
【分析】设所求直线与椭圆相交的两点的坐标,然后利用点差法求得直线的斜率,最后代入直线方程的点斜式得答案.
【解答】解:设所求直线与椭圆相交于A(x1,y1),B(x2,y2),
则,.
两式相减得.
又x1+x2=4,y1+y2=2,
∴kAB=.
因此所求直线方程为y﹣1=﹣(x﹣2),即x+2y﹣4=0.
故答案为:x+2y﹣4=0.
14.已知方程=1表示双曲线,则k的取值范围是 ﹣1<k<1 .
【考点】双曲线的简单性质.
【分析】利用双曲线的性质,列出不等式求解即可.
【解答】解:因为方程=1表示双曲线方程,所以(1﹣k)(1+k)>0,解得﹣1<k<1.
故答案为:﹣1<k<1
15.抛物线x2+12y=0的准线方程是 y=3 .
【考点】抛物线的简单性质.
【分析】抛物线x2+12y=0化为x2=﹣12y,即可得到抛物线的准线方程.
【解答】解:抛物线x2+12y=0可化为x2=﹣12y,则2p=12,∴=3
∴抛物线x2+12y=0的准线方程是y=3
故答案为:y=3.
16.(文)如图,函数y=f(x)的图象在点P处的切线方程是y=﹣x+8,则f(5)+f′(5)= 2 .
【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程.
【分析】根据导数的几何意义,结合切线方程,即可求得结论.
【解答】解:由题意,f(5)=﹣5+8=3,f′(5)=﹣1
∴f(5)+f′(5)=2
故答案为:2
三、解答题(本大题共4小题,每题10分,共40分)
17.已知双曲线的中心在原点且一个焦点是F(,0),直线y=x﹣1与其相交于M,N两点.若MN的中点横坐标为,则此双曲线的方程为 .
【考点】双曲线的标准方程.
【分析】先设出双曲线的方程,然后与直线方程联立方程组,经消元得二元一次方程,再根据韦达定理及MN中点的横坐标可得a、b的一个方程,又双曲线中有c2=a2+b2,则另得a、b的一个方程,最后解a、b的方程组即得双曲线方程.
【解答】解:设双曲线方程为﹣=1.
将y=x﹣1代入﹣=1,整理得(b2﹣a2)x2+2a2x﹣a2﹣a2b2=0.
由韦达定理得x1+x2=,则 ==﹣.
又c2=a2+b2=7,解得a2=2,b2=5,
所以双曲线的方程是.
故答案为:.
18.已知椭圆的中心在原点,左焦点为F1(﹣,0),且右顶点为D(2,0).设点A的坐标是(1,)
(1)求该椭圆的标准方程;
(2)若P是椭圆上的动点,求线段PA的中点M的轨迹方程.
【考点】圆锥曲线的轨迹问题;轨迹方程;椭圆的标准方程.
【分析】(1)利用椭圆的中心在原点,左焦点为F1(﹣,0),且右顶点为D(2,0).求出椭圆的几何量a,b,即可得到椭圆方程.
(2)设P(x0,y0),M(x,y),点A的坐标是(1,),线段PA的中点M,转化求解代入椭圆方程即可得到M的轨迹方程.
【解答】解:(1)∵a=2,c=,∴b==1.∴椭圆的标准方程为:.
(2)设P(x0,y0),M(x,y),点A的坐标是(1,),线段PA的中点M,
由中点坐标公式,得,
∴,又∵,
∴,即为中点M的轨迹方程.
19.已知函数f(x)=x3﹣ax﹣1.
(1)若f(x)在实数集R上单调递增,求实数a的取值范围;
(2)是否存在实数a,使f(x)在(﹣1,1)上单调递减?若存在,求出a得取值范围;若不存在,说明理由.
【考点】利用导数研究函数的单调性.
【分析】(1)先求出函数f(x)的导函数f′(x),要使f(x)在实数集R上单调递增,只需f′(x)≥0在R上恒成立,再验证等号是否成立,即可求出实数a的取值范围;
(2)欲使f(x)在(﹣1,1)上单调递减,只需f′(x)≤0在(﹣1,1)上恒成立,利用分离法将a分离出来,求出不等式另一侧的最大值,再验证等号是否成立,即可求出a的范围;
【解答】解:(1)f′(x)=3x2﹣a,3x2﹣a≥0在R上恒成立,∴a≤0.
又a=0时,f(x)=x3﹣1在R上单调递增,∴a≤0.
(2)假设存在a满足条件,由题意知,
f′(x)=3x2﹣a≤0在(﹣1,1)上恒成立,
即a≥3x2在(﹣1,1)上恒成立,∴a≥3.
又a=3,f(x)=x3﹣3x﹣1,f′(x)=3(x2﹣1)在(﹣1,1)上,
f′(x)<0恒成立,即f(x)在(﹣1,1)上单调递减,
∴a≥3.
20.已知函数f(x)=(x﹣a)2(x﹣b)(a,b∈R,a<b).
(1)当a=1,b=2时,求曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程;
(2)设x1,x2是f(x)的两个极值点,x3是f(x)的一个零点,且x3≠x1,x3≠x2.证明:存在实数x4,使得x1,x2,x3,x4按某种顺序排列后构成等差数列,并求x4.
【考点】利用导数研究函数的极值;利用导数研究曲线上某点切线方程.
【分析】(1)求出函数的导数,计算f(2),f′(2),求出切线方程即可;(2)求出函数f(x)的极值点,根据等差数列的性质求出x4即可.
【解答】解:(1)当a=1,b=2时,因为f′(x)=(x﹣1)(3x﹣5),
故f′(2)=1,又f(2)=0,
所以f(x)在点(2,0)处的切线方程为y=x﹣2.
(2)证明:因为f′(x)=3(x﹣a)(x﹣),
由于a<b,故a<,
所以f(x)的两个极值点为x=a或x=,
不妨设x1=a,x2=,
因为x3≠x1,x3≠x2,且x3是f(x)的零点,故x3=b,
又因为﹣a=2(b﹣),x4=(a+)=,
此时a,,,b依次成等差数列,
所以存在实数x4满足题意,且x4=.