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  • 2021-06-30 发布

数学卷·2018届吉林省吉林二中高二下学期3月月考数学试卷(文科) (解析版)

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‎2016-2017学年吉林省吉林二中高二(下)3月月考数学试卷(文科)‎ ‎ ‎ 一、选择题(共12题,每题5分,共60分)‎ ‎1.设F1,F2为定点,|F1F2|=6,动点M满足|MF1|+|MF2|=6,则动点M的轨迹是(  )‎ A.椭圆 B.直线 C.圆 D.线段 ‎2.椭圆的左右焦点为F1,F2,一直线过F1交椭圆于A,B两点,则△ABF2的周长为(  )‎ A.32 B.16 C.8 D.4‎ ‎3.双曲线=1的一个焦点为(2,0),则m的值为(  )‎ A. B.1或3 C. D.‎ ‎4.双曲线=1的渐近线方程是(  )‎ A.y=±x B.y=±x C.y=±x D.y=±x ‎5.过点P(2,4)且与抛物线y2=8x有且只有一个公共点的直线有(  )‎ A.0条 B.1条 C.2条 D..3条 ‎6.已知点P是抛物线y2=2x上的一个动点,则点P到点(0,2)的距离与P到该抛物线准线的距离之和的最小值为(  )‎ A. B.3 C. D.‎ ‎7.已知f'(x0)=a,则的值为(  )‎ A.﹣2a B.2a C.a D.﹣a ‎8.下列说法正确的是(  )‎ A.若f′(x0)不存在,则曲线y=f(x)在点(x0,y0)处就没有切线 B.若曲线y=f(x)在点(x0,y0)处有切线,则f′(x0)必存在 C.若f′(x0)不存在,则曲线y=f(x)在点(x0,y0)处的切线斜率不存在 D.若曲线y=f(x)在点(x0,y0)处没有切线,则f′(x0)有可能存在 ‎9.函数y=sin2x﹣cos2x的导数是(  )‎ A.2cos B.cos2x﹣sin2x C.sin2x+cos2x D.2cos ‎10.以正弦曲线y=sinx上一点P为切点的切线为直线l,则直线l的倾斜角的范围是(  )‎ A.∪ B.[0,π) C. D.∪‎ ‎11.定义在R上的连续函数f(x),若(x﹣1)f′(x)<0,则下列各式正确的是(  )‎ A.f(0)+f(2)>2f(1) B.f(0)+f(2)=2f(1)‎ C.f(0)+f(2)<2f(1) D.f(0)+f(2)与f(1)大小不定 ‎12.已知函数f(x)=ax3+c,且f′(1)=6,函数在[1,2]上的最大值为20,则c的值为(  )‎ A.1 B.4 C.﹣1 D.0‎ ‎ ‎ 二、填空题(共4题,每题5分,共计20分)‎ ‎13.椭圆E: +=1内有一点P(2,1),则经过P并且以P为中点的弦所在直线方程为  .‎ ‎14.已知方程=1表示双曲线,则k的取值范围是  .‎ ‎15.抛物线x2+12y=0的准线方程是  .‎ ‎16.(文)如图,函数y=f(x)的图象在点P处的切线方程是y=﹣x+8,则f(5)+f′(5)=  .‎ ‎ ‎ 三、解答题(本大题共4小题,每题10分,共40分)‎ ‎17.已知双曲线的中心在原点且一个焦点是F(,0),直线y=x﹣1与其相交于M,N两点.若MN的中点横坐标为,则此双曲线的方程为  .‎ ‎18.已知椭圆的中心在原点,左焦点为F1(﹣,0),且右顶点为D(2,0).设点A的坐标是(1,)‎ ‎(1)求该椭圆的标准方程;‎ ‎(2)若P是椭圆上的动点,求线段PA的中点M的轨迹方程.‎ ‎19.已知函数f(x)=x3﹣ax﹣1.‎ ‎(1)若f(x)在实数集R上单调递增,求实数a的取值范围;‎ ‎(2)是否存在实数a,使f(x)在(﹣1,1)上单调递减?若存在,求出a得取值范围;若不存在,说明理由.‎ ‎20.已知函数f(x)=(x﹣a)2(x﹣b)(a,b∈R,a<b).‎ ‎(1)当a=1,b=2时,求曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程;‎ ‎(2)设x1,x2是f(x)的两个极值点,x3是f(x)的一个零点,且x3≠x1,x3≠x2.证明:存在实数x4,使得x1,x2,x3,x4按某种顺序排列后构成等差数列,并求x4.‎ ‎ ‎ ‎2016-2017学年吉林省吉林二中高二(下)3月月考数学试卷(文科)‎ 参考答案与试题解析 ‎ ‎ 一、选择题(共12题,每题5分,共60分)‎ ‎1.设F1,F2为定点,|F1F2|=6,动点M满足|MF1|+|MF2|=6,则动点M的轨迹是(  )‎ A.椭圆 B.直线 C.圆 D.线段 ‎【考点】椭圆的定义.‎ ‎【分析】对选项进行分析:在平面内,若动点M到F1、F2两点的距离之和等于6,而6正好等于两定点F1、F2的距离,则动点M的轨迹是以F1,F2为端点的线段.‎ ‎【解答】解:对于在平面内,若动点M到F1、F2两点的距离之和等于6,而6正好等于两定点F1、F2的距离,则动点M的轨迹是以F1,F2为端点的线段.‎ 故选D.‎ ‎ ‎ ‎2.椭圆的左右焦点为F1,F2,一直线过F1交椭圆于A,B两点,则△ABF2的周长为(  )‎ A.32 B.16 C.8 D.4‎ ‎【考点】椭圆的简单性质.‎ ‎【分析】先由椭圆方程求得长半轴,而△ABF2的周长为AB+BF2+AF2,由椭圆的定义求解即可.‎ ‎【解答】解:∵椭圆 ‎∴a=4,b=,c=3‎ 根据椭圆的定义 ‎∴AF1+AF2=2a=8‎ ‎∴BF1+BF2=2a=8‎ ‎∵AF1+BF1=AB ‎∴△ABF2的周长为4a=16‎ 故选B ‎ ‎ ‎3.双曲线=1的一个焦点为(2,0),则m的值为(  )‎ A. B.1或3 C. D.‎ ‎【考点】双曲线的简单性质.‎ ‎【分析】利用双曲线方程以及焦点坐标,列出m的关系式,求解即可.‎ ‎【解答】解:∵双曲线=1的焦点为(2,0),在x轴上且c=2,‎ ‎∴m+3+m=c2=4.∴m=.‎ 故选:A.‎ ‎ ‎ ‎4.双曲线=1的渐近线方程是(  )‎ A.y=±x B.y=±x C.y=±x D.y=±x ‎【考点】双曲线的简单性质.‎ ‎【分析】由双曲线的方程,得到a=5且b=2,利用双曲线渐近线方程的公式加以计算,可得答案.‎ ‎【解答】解:由于双曲线,‎ 则a=5且b=2,双曲线的渐近线方程为y=±x,‎ 即y=x.‎ 故选:A.‎ ‎ ‎ ‎5.过点P(2,4)且与抛物线y2=8x有且只有一个公共点的直线有(  )‎ A.0条 B.1条 C.2条 D..3条 ‎【考点】抛物线的简单性质.‎ ‎【分析】先验证点P(2,4)在抛物线y2=8x上,进而根据抛物线的图象和性质可得到答案.‎ ‎【解答】解:由题意可知点P(2,4)在抛物线y2=8x上 故过点P(2,4)且与抛物线y2=8x只有一个公共点时只能是 ‎①过点P(2,4)且与抛物线y2=8x相切 ‎②过点P(2,4)且平行与对称轴.‎ ‎∴过点P(2,4)且与抛物线y2=8x有且只有一个公共点的直线有2条.‎ 故选C.‎ ‎ ‎ ‎6.已知点P是抛物线y2=2x上的一个动点,则点P到点(0,2)的距离与P到该抛物线准线的距离之和的最小值为(  )‎ A. B.3 C. D.‎ ‎【考点】抛物线的简单性质.‎ ‎【分析】先求出抛物线的焦点坐标,再由抛物线的定义可得d=|PF|+|PA|≥|AF|,再求出|AF|的值即可.‎ ‎【解答】解:依题设P在抛物线准线的投影为P',抛物线的焦点为F,则,‎ 依抛物线的定义知P到该抛物线准线的距离为|PP'|=|PF|,‎ 则点P到点A(0,2)的距离与P到该抛物线准线的距离之和 ‎.‎ 故选A.‎ ‎ ‎ ‎7.已知f'(x0)=a,则的值为(  )‎ A.﹣2a B.2a C.a D.﹣a ‎【考点】极限及其运算.‎ ‎【分析】根据题意,由导数的定义可得=a,进而分析可得=2,即可得答案.‎ ‎【解答】解:根据题意,若f'(x0)=a,则=a,‎ 而=2=2a;‎ 故选:B.‎ ‎ ‎ ‎8.下列说法正确的是(  )‎ A.若f′(x0)不存在,则曲线y=f(x)在点(x0,y0)处就没有切线 B.若曲线y=f(x)在点(x0,y0)处有切线,则f′(x0)必存在 C.若f′(x0)不存在,则曲线y=f(x)在点(x0,y0)处的切线斜率不存在 D.若曲线y=f(x)在点(x0,y0)处没有切线,则f′(x0)有可能存在 ‎【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程.‎ ‎【分析】根据导数的几何意义,可得若f′(x0)不存在,则曲线y=f(x)在点(x0,y0)处的切线斜率不存在.‎ ‎【解答】解:根据导数的几何意义,可得若f′(x0)不存在,则曲线y=f(x)在点(x0,y0)处的切线斜率不存在.‎ 故选:C.‎ ‎ ‎ ‎9.函数y=sin2x﹣cos2x的导数是(  )‎ A.2cos B.cos2x﹣sin2x C.sin2x+cos2x D.2cos ‎【考点】导数的运算.‎ ‎【分析】根据导数的运算法则和三角函数的和差公式计算即可 ‎【解答】解:y′=(sin2x)′﹣(cos2x)′=2cos2x+2sin2x=2(cos2x+sin2x)=2cos 故选:A.‎ ‎ ‎ ‎10.以正弦曲线y=sinx上一点P为切点的切线为直线l,则直线l的倾斜角的范围是(  )‎ A.∪ B.[0,π) C. D.∪‎ ‎【考点】三角函数的化简求值.‎ ‎【分析】先对函数解析式求导,进而利用余弦函数的性质求得导函数的范围,进而求得切线的斜率的范围,则直线的倾斜角的范围可得.‎ ‎【解答】解:y'=cosx ‎∵cosx∈[﹣1,1]‎ ‎∴切线的斜率范围是[﹣1,1]‎ ‎∴倾斜角的范围是[0,]∪‎ 故选A ‎ ‎ ‎11.定义在R上的连续函数f(x),若(x﹣1)f′(x)<0,则下列各式正确的是(  )‎ A.f(0)+f(2)>2f(1) B.f(0)+f(2)=2f(1)‎ C.f(0)+f(2)<2f(1) D.f(0)+f(2)与f(1)大小不定 ‎【考点】函数的单调性与导数的关系.‎ ‎【分析】利用(x﹣1)f'(x)<0,得到x>1时,f'(x)<0;x<1时,f'(x)>‎ ‎0;得到f(x)在(1,+∞)递减;在(﹣∞,1)递增;判断出函数值的大小.‎ ‎【解答】解:因为(x﹣1)f'(x)<0,‎ 所以x>1时,f'(x)<0;x<1时,f'(x)>0;‎ 所以f(x)在(1,+∞)递减;在(﹣∞,1)递增;‎ 所以f(0)<f(1),‎ f(2)<f(1)‎ 所以f(0)+f(2)<2f(1)‎ 故选C.‎ ‎ ‎ ‎12.已知函数f(x)=ax3+c,且f′(1)=6,函数在[1,2]上的最大值为20,则c的值为(  )‎ A.1 B.4 C.﹣1 D.0‎ ‎【考点】利用导数求闭区间上函数的最值.‎ ‎【分析】求出函数的导数,利用导函数值求出a,判断函数的单调性,然后求解函数的最大值,推出c即可.‎ ‎【解答】解:∵f′(x)=3ax2,∴f′(1)=3a=6,∴a=2.当x∈[1,2]时,f′(x)=6x2>0,即f(x)在[1,2]上是增函数,∴f(x)max=f(2)=2×23+c=20,∴c=4.‎ 故选:B.‎ ‎ ‎ 二、填空题(共4题,每题5分,共计20分)‎ ‎13.椭圆E: +=1内有一点P(2,1),则经过P并且以P为中点的弦所在直线方程为 x+2y﹣4=0 .‎ ‎【考点】直线与圆锥曲线的关系.‎ ‎【分析】设所求直线与椭圆相交的两点的坐标,然后利用点差法求得直线的斜率,最后代入直线方程的点斜式得答案.‎ ‎【解答】解:设所求直线与椭圆相交于A(x1,y1),B(x2,y2),‎ 则,.‎ 两式相减得.‎ 又x1+x2=4,y1+y2=2,‎ ‎∴kAB=.‎ 因此所求直线方程为y﹣1=﹣(x﹣2),即x+2y﹣4=0.‎ 故答案为:x+2y﹣4=0.‎ ‎ ‎ ‎14.已知方程=1表示双曲线,则k的取值范围是 ﹣1<k<1 .‎ ‎【考点】双曲线的简单性质.‎ ‎【分析】利用双曲线的性质,列出不等式求解即可.‎ ‎【解答】解:因为方程=1表示双曲线方程,所以(1﹣k)(1+k)>0,解得﹣1<k<1.‎ 故答案为:﹣1<k<1‎ ‎ ‎ ‎15.抛物线x2+12y=0的准线方程是 y=3 .‎ ‎【考点】抛物线的简单性质.‎ ‎【分析】抛物线x2+12y=0化为x2=﹣12y,即可得到抛物线的准线方程.‎ ‎【解答】解:抛物线x2+12y=0可化为x2=﹣12y,则2p=12,∴=3‎ ‎∴抛物线x2+12y=0的准线方程是y=3‎ 故答案为:y=3.‎ ‎ ‎ ‎16.(文)如图,函数y=f(x)的图象在点P处的切线方程是y=﹣x+8,则f(5)+f′(5)= 2 .‎ ‎【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程.‎ ‎【分析】根据导数的几何意义,结合切线方程,即可求得结论.‎ ‎【解答】解:由题意,f(5)=﹣5+8=3,f′(5)=﹣1‎ ‎∴f(5)+f′(5)=2‎ 故答案为:2‎ ‎ ‎ 三、解答题(本大题共4小题,每题10分,共40分)‎ ‎17.已知双曲线的中心在原点且一个焦点是F(,0),直线y=x﹣1与其相交于M,N两点.若MN的中点横坐标为,则此双曲线的方程为  .‎ ‎【考点】双曲线的标准方程.‎ ‎【分析】先设出双曲线的方程,然后与直线方程联立方程组,经消元得二元一次方程,再根据韦达定理及MN中点的横坐标可得a、b的一个方程,又双曲线中有c2=a2+b2,则另得a、b的一个方程,最后解a、b的方程组即得双曲线方程.‎ ‎【解答】解:设双曲线方程为﹣=1.‎ 将y=x﹣1代入﹣=1,整理得(b2﹣a2)x2+2a2x﹣a2﹣a2b2=0.‎ 由韦达定理得x1+x2=,则 ==﹣.‎ 又c2=a2+b2=7,解得a2=2,b2=5,‎ 所以双曲线的方程是.‎ 故答案为:.‎ ‎ ‎ ‎18.已知椭圆的中心在原点,左焦点为F1(﹣,0),且右顶点为D(2,0).设点A的坐标是(1,)‎ ‎(1)求该椭圆的标准方程;‎ ‎(2)若P是椭圆上的动点,求线段PA的中点M的轨迹方程.‎ ‎【考点】圆锥曲线的轨迹问题;轨迹方程;椭圆的标准方程.‎ ‎【分析】(1)利用椭圆的中心在原点,左焦点为F1(﹣,0),且右顶点为D(2,0).求出椭圆的几何量a,b,即可得到椭圆方程.‎ ‎(2)设P(x0,y0),M(x,y),点A的坐标是(1,),线段PA的中点M,转化求解代入椭圆方程即可得到M的轨迹方程.‎ ‎【解答】解:(1)∵a=2,c=,∴b==1.∴椭圆的标准方程为:.‎ ‎(2)设P(x0,y0),M(x,y),点A的坐标是(1,),线段PA的中点M,‎ 由中点坐标公式,得,‎ ‎∴,又∵,‎ ‎∴,即为中点M的轨迹方程.‎ ‎ ‎ ‎19.已知函数f(x)=x3﹣ax﹣1.‎ ‎(1)若f(x)在实数集R上单调递增,求实数a的取值范围;‎ ‎(2)是否存在实数a,使f(x)在(﹣1,1)上单调递减?若存在,求出a得取值范围;若不存在,说明理由.‎ ‎【考点】利用导数研究函数的单调性.‎ ‎【分析】(1)先求出函数f(x)的导函数f′(x),要使f(x)在实数集R上单调递增,只需f′(x)≥0在R上恒成立,再验证等号是否成立,即可求出实数a的取值范围;‎ ‎(2)欲使f(x)在(﹣1,1)上单调递减,只需f′(x)≤0在(﹣1,1)上恒成立,利用分离法将a分离出来,求出不等式另一侧的最大值,再验证等号是否成立,即可求出a的范围;‎ ‎【解答】解:(1)f′(x)=3x2﹣a,3x2﹣a≥0在R上恒成立,∴a≤0.‎ 又a=0时,f(x)=x3﹣1在R上单调递增,∴a≤0.‎ ‎(2)假设存在a满足条件,由题意知,‎ f′(x)=3x2﹣a≤0在(﹣1,1)上恒成立,‎ 即a≥3x2在(﹣1,1)上恒成立,∴a≥3.‎ 又a=3,f(x)=x3﹣3x﹣1,f′(x)=3(x2﹣1)在(﹣1,1)上,‎ f′(x)<0恒成立,即f(x)在(﹣1,1)上单调递减,‎ ‎∴a≥3.‎ ‎ ‎ ‎20.已知函数f(x)=(x﹣a)2(x﹣b)(a,b∈R,a<b).‎ ‎(1)当a=1,b=2时,求曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程;‎ ‎(2)设x1,x2是f(x)的两个极值点,x3是f(x)的一个零点,且x3≠x1,x3≠x2.证明:存在实数x4,使得x1,x2,x3,x4按某种顺序排列后构成等差数列,并求x4.‎ ‎【考点】利用导数研究函数的极值;利用导数研究曲线上某点切线方程.‎ ‎【分析】(1)求出函数的导数,计算f(2),f′(2),求出切线方程即可;(2)求出函数f(x)的极值点,根据等差数列的性质求出x4即可.‎ ‎【解答】解:(1)当a=1,b=2时,因为f′(x)=(x﹣1)(3x﹣5),‎ 故f′(2)=1,又f(2)=0,‎ 所以f(x)在点(2,0)处的切线方程为y=x﹣2.‎ ‎(2)证明:因为f′(x)=3(x﹣a)(x﹣),‎ 由于a<b,故a<,‎ 所以f(x)的两个极值点为x=a或x=,‎ 不妨设x1=a,x2=,‎ 因为x3≠x1,x3≠x2,且x3是f(x)的零点,故x3=b,‎ 又因为﹣a=2(b﹣),x4=(a+)=,‎ 此时a,,,b依次成等差数列,‎ 所以存在实数x4满足题意,且x4=.‎