2020年高三最新信息卷 数学试题（六） 10页

此卷只装订不密封 班级 姓名 准考证号 考场号 座位号 ‎ 绝密 ★ 启用前 ‎（新高考）2020年高三最新信息卷 数 学（六）‎ 注意事项：‎ ‎1、本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在答题卡上。‎ ‎2、回答第Ⅰ卷时，选出每小题的答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在试卷上无效。‎ ‎3、回答第Ⅱ卷时，将答案填写在答题卡上，写在试卷上无效。‎ ‎4、考试结束，将本试卷和答题卡一并交回。‎ 第Ⅰ卷 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．已知集合，，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎2．已知是虚数单位，复数的共轭复数虚部为（ ）‎ A． B．3 C．4 D．‎ ‎3．已知向量，，若，则实数（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎4．已知的展开式的各项系数和为，则展开式中的系数为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎5．已知三棱锥中，平面，且，，，‎ 则该三棱锥的外接球的体积为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎6．已知为函数的图像上任意一点，过作直线，分别与圆相切于，‎ 两点，则原点到直线的距离最大值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎7．已知命题，或，则为（ ）‎ A．，且 B．，或 C．，或 D．，且 ‎8．已知函数满足，当时，函数单调递减，设，，，则，，的大小关系是（ ）‎ A． B． C． D．‎ 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．‎ ‎9．即空气质量指数，越小，表明空气质量越好，当不大于时称空气质量为“优良”，如图是某市月日到日的统计数据，则下列叙述正确的是（ ）‎ A．这天的的中位数是 B．天中超过天空气质量为“优良”‎ C．从月日到日，空气质量越来越好 D．这天的的平均值约为 ‎10．设，是抛物线上的两个不同的点，是坐标原点，若直线与的斜率之积为，则下列说法不正确的是（ ）‎ A． B．以为直径的圆的面积大于 C．直线过抛物线的焦点 D．到直线的距离不大于 ‎11．如图，在正方体中，点在线段上运动，则下列判断中正确的是（ ）‎ A．平面平面 B．平面 C．异面直线与所成角的取值范围是 D．三棱锥的体积不变 ‎12．已知偶函数满足，则下列命题正确的是（ ）‎ A．函数是以为周期的周期函数 B．函数是以为周期的周期函数 C．函数为奇函数 D．函数为偶函数 第Ⅱ卷 三、填空题：本大题共4小题，每小题5分．‎ ‎13．将三位老师分配到户贫困家庭实施精准帮扶，若每位老师只去一户，每户家庭最多去位老师，则不同的分配方法有 种（用数字作答）．‎ ‎14．设为锐角，若，则的值为 ．‎ ‎15．已知椭圆的右焦点为，其关于直线的对称点在椭圆上，则离心率 ， ．‎ ‎16．已知三棱柱的侧面积为，平面，，，则该三棱柱外接球表面积的最小值为 ．‎ 四、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎17．（10分）已知数列的前项和为，且满足，（），数列是首项为，公差不为零的等差数列，且，，成等比数列．‎ ‎（1）求数列与的通项公式；‎ ‎（2）若，数列的前项和为，恒成立，求的范围．‎ ‎18．（12分）如图，是边上一点，，，．‎ ‎（1）求的长；‎ ‎（2）若，求的面积．‎ ‎19．（12分）如图，在四棱锥中，底面为等腰梯形，，，，为等腰直角三角形，，平面底面，为的中点．‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）若平面与平面的交线为，求二面角的正弦值．‎ ‎20．（12分）基于移动网络技术的共享单车被称为“新四大发明”之一，短时间内就风靡全国，给人们带来新的出行体验，某共享单车运营公司的市场研究人员为了了解公司的经营状况，对公司最近个月的市场占有率进行了统计，结果如下表：‎ ‎（1）请用相关系数说明能否用线性回归模型拟合与月份代码之间的关系．如果能，请计算出关于的线性回归方程，如果不能，请说明理由；‎ ‎（2）根据调研数据，公司决定再采购一批单车扩大市场，从成本元/辆的型车和元/辆的型车中选购一种，两款单车使用寿命频数如下表：‎ 经测算，平均每辆单车每年能为公司带来元的收入，不考虑除采购成本以外的其它成本，假设每辆单车的使用寿命都是整数年，用频率估计每辆车使用寿命的概率，以平均每辆单车所产生的利润的估计值为决策依据，如果你是公司负责人，会选择哪款车型？‎ 参考数据：，，，．‎ 参考公式：相关系数，，．‎ ‎21．（12分）已知点是离心率为的椭圆（）上的一点，斜率为的直线交椭圆于、两点，且、、三点不重合．‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）求证：直线，的斜率之和为定值；‎ ‎（3）面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由？‎ ‎22．（12分）已知函数，．‎ ‎（1）若在处取得极值，求的值；‎ ‎（2）求在区间上的最小值；‎ ‎（3）在（1）的条件下，若，求证：当，恒有．‎ 绝密 ★ 启用前 ‎（新高考）2020年高三最新信息卷 数学（六）答案 第Ⅰ卷 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．【答案】A ‎【解析】化简集合，，‎ 可得，，所以．‎ ‎2．【答案】C ‎【解析】因为，所以复数的共轭复数为，因此虚部为4．‎ ‎3．【答案】D ‎【解析】由题意得，‎ ‎∵，∴，∴．‎ ‎4．【答案】D ‎【解析】由题意知的展开式的各项系数和为，即，解得，‎ 则二项式的展开式中的项为，所以的系数为．‎ ‎5．【答案】D ‎【解析】∵，∴，‎ ‎∴是以为斜边的直角三角形，其外接圆半径，‎ 则三棱锥外接球即为以为底面，以为高的三棱柱的外接球，‎ ‎∴三棱锥外接球的半径满足，‎ 故三棱锥外接球的体积．‎ ‎6．【答案】B ‎【解析】设，则，‎ ‎∴以为直径的圆的方程为，即，‎ 又∵为圆与圆的公共弦，‎ ‎∴两圆作差可得直线的方程为，‎ ‎∴点到直线的距离，‎ 当且仅当，即或时取等号，‎ ‎∴原点到直线的距离的最大值为．‎ ‎7．【答案】D ‎【解析】全称命题的否定为特称命题．‎ ‎8．【答案】B ‎【解析】根据题意，函数满足，‎ 则函数关于直线对称，‎ 又由当时，函数单调递减，则函数在上单调递增，‎ 又由，‎ ‎，‎ ‎，则有．‎ 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．‎ ‎9．【答案】CD ‎【解析】这天的指数值的中位数是，故A不正确；‎ 这天中，空气质量为“优良”的有，，，，，共天，故B不正确；‎ 从日到日，空气质量越来越好，故C正确；‎ 这天的指数值的平均值约为，故D正确．‎ ‎10．【答案】ABC ‎【解析】当直线的斜率不存在时，‎ 设，，由斜率之积为，可得，即，‎ ‎∴的直线方程为；‎ 当直线的斜率存在时，设直线方程为，联立，可得，‎ 此时设，，则，，‎ ‎∴，即，‎ ‎∴直线方程为，则直线过定点，‎ 则到直线的距离不大于．‎ ‎11．【答案】ABD ‎【解析】对于A，连接，根据正方体的性质，有面，平面，‎ 从而可以证明平面平面，正确；‎ 对于B，连接，容易证明平面面，从而由线面平行的定义可得平面，正确；‎ 对于C，当与线段的两端点重合时，与所成角取最小值，‎ 当与线段的中点重合时，与所成角取最大值，‎ 故与所成角的范围是，错误；‎ 对于D，，到面的距离不变，且三角形的面积不变，‎ ‎∴三棱锥的体积不变，正确．‎ ‎12．【答案】BC ‎【解析】偶函数满足，即有，‎ 即为，，‎ 可得的最小正周期为，故A错误；B正确；‎ 由，可得，‎ 又，即有，故为奇函数，故C正确；‎ 由，若为偶函数，即有，‎ 可得，即，‎ 可得为的周期，这与为最小正周期矛盾，故D错误．‎ 第Ⅱ卷 三、填空题：本大题共4小题，每小题5分．‎ ‎13．【答案】‎ ‎【解析】若每户贫困家庭去一位老师，则有种分配方法；‎ 若有一户贫困家庭去两位老师，另一户贫困家庭去一位老师，则有种分配方法，‎ 所以共有种不同的分配方法．‎ ‎14．【答案】‎ ‎【解析】∵为锐角，即，∴，‎ ‎∵，∴，‎ ‎∴，∴，‎ ‎∴‎ ‎．‎ ‎15．【答案】，‎ ‎【解析】设，由题意可得，‎ 由①②可得，，‎ 代入③可得，即，‎ 可得，解得，‎ 所以，，．所以，‎ 所以是等腰直角三角形，所以．‎ ‎16．【答案】‎ ‎【解析】如图，设，，，则，‎ ‎∴，‎ 三棱柱底面外接圆半径为，则，即，‎ 由，‎ 得，∴，‎ ‎∴的最小值为，‎ 则该三棱柱外接球半径的最小值为，‎ ‎∴该三棱柱外接球表面积的最小值为．‎ 四、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎17．【答案】（1），；（2）．‎ ‎【解析】（1）因为，，‎ 所以，所以，‎ 所以成等比，首项，公比，所以，‎ 由题意知，设公差为，则，‎ 即，解得或（舍），‎ 所以．‎ ‎（2），‎ 所以，，‎ 两式相减得，‎ 所以，所以．‎ ‎18．【答案】（1）；（2）．‎ ‎【解析】（1）在和中由正弦定理得 ‎，，‎ 因为，，，，‎ 所以．‎ ‎（2）在中，由余弦定理得，‎ 在中由余弦定理得，‎ 因为，，，，，‎ 所以，‎ 解得，‎ 所以，‎ 所以．‎ ‎19．【答案】（1）证明见解析；（2）．‎ ‎【解析】（1）证明，如图，取的中点，连接，，‎ ‎∵，，∴，，‎ ‎∵，，∴，且，‎ ‎∴四边形为平行四边形，∴，‎ ‎∵平面，平面，∴平面．‎ ‎（2）如图，取中点，中点，连接，‎ ‎∵，，，∴，，‎ ‎∵平面平面，平面平面，‎ ‎∴平面，平面，‎ ‎∴，，两两垂直，以点为坐标原点，‎ 向量，，方向分别为，，轴正方向建立如图所示空间直角坐标系，‎ 由，，可得，，‎ 在等腰梯形中，，，，所以，‎ ‎∴，，，，，，，‎ 设平面的法向量为，‎ ‎，，‎ 由，取，得；‎ 设平面的法向量为，‎ ‎，，‎ 由，取，得，‎ 由，，，则，‎ ‎∴平面与平面所成二面角的正弦值为．‎ ‎20．【答案】（1）能用线性回归模型拟合与月份代码之间的关系，；（2）采购款车型，详见解析．‎ ‎【解析】（1）由表格中数据可得，，‎ ‎∵，‎ ‎∴与月份代码之间具有较强的相关关系，故可用线性回归模型拟合两变量之间的关系，‎ ‎，∴，‎ ‎∴关于的线性回归方程为．‎ ‎（2）这辆款单车平均每辆的利润为 ‎（元），‎ 这辆款单车平均每辆的利润为 ‎（元），‎ ‎∴用频率估计概率，款单车与款单车平均每辆的利润估计值分别为元、元，应采购款车型．‎ ‎21．【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）面积存在最大值，最大值为．‎ ‎【解析】（1）∵点是离心率为的椭圆（）上的一点，‎ ‎∴，解得，，，‎ ‎∴椭圆的方程为．‎ ‎（2）设，，直线、的斜率分别为、，‎ 设直线的方程为，‎ 联立，得，‎ ‎∴，解得，‎ ‎①，②，‎ 则 ‎，（*）‎ 将①、②式代入*式整理得，∴直线，的斜率之和为定值．‎ ‎（3），‎ 设为点到直线的距离，∴，‎ ‎∴，‎ 当且仅当时取等号，‎ ‎∵，∴当时，的面积最大，最大值为．‎ ‎22．【答案】（1）；（2）见解析；（3）证明见解析．‎ ‎【解析】（1）由，定义域为，得，‎ 因为函数在处取得极值，‎ 所以，即，解得，‎ 经检验，满足题意，所以．‎ ‎（2）由（1）得，定义域为，‎ 当时，由，得，且，‎ 当时，，单调递减；‎ 当时，，单调递增，‎ 所以在区间上单调递增，最小值为；‎ 当时，，‎ 当时，，单调递减；‎ 当时，，单调递增，‎ 所以函数在处取得最小值，‎ 综上，当时，在区间上的最小值为；‎ 当时，在区间上的最小值为．‎ ‎（3）证明：由，得，‎ 当时，，，‎ 欲证，只需证，‎ 即证，即，设，‎ 则，‎ 当时，，所以在区间上单调递增，‎ 所以当时，，即，故，‎ 所以当时，恒成立．‎