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  • 2021-06-30 发布

高中数学必修2第四章 章末检测

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章末检测 一、选择题 ‎1.在空间直角坐标系中,点A(-3,4,0)与点B(2,-1,6)的距离是(  )‎ A.2 B.2 C.9 D. 答案 D 解析 由空间直角坐标系中两点间距离公式得:‎ ‎|AB|==.‎ ‎2.点A(2a,a-1)在以点C(0,1)为圆心,半径为的圆上,则a的值为(  )‎ A.±1 B.0或1‎ C.-1或 D.-或1‎ 答案 D 解析 由题意,得圆的方程为x2+(y-1)2=5,将点A的坐标代入圆的方程可得a=1或a=-.‎ ‎3.已知点M(a,b)在圆O:x2+y2=1外,则直线ax+by=1与圆O的位置关系是(  )‎ A.相切 B.相交 C.相离 D.不确定 答案 B 解析 由题意知点在圆外,则a2+b2>1,圆心到直线的距离d=<1,故直线与圆相交.‎ ‎4.过原点且倾斜角为60°的直线被圆x2+y2-4y=0所截得的弦长为(  )‎ A. B.2 C. D.2 答案 D 解析 直线方程为y=x,圆的方程化为x2+(y-2)2=22,∴r=2,圆心(0,2)到直线y=x的距离为d=1,∴半弦长为=,∴弦长为2.‎ ‎5.圆心在x轴上,半径为1,且过点(2,1)的圆的方程是(  )‎ A.(x-2)2+y2=1 B.(x+2)2+y2=1‎ C.(x-1)2+(y-3)2=1 D.x2+(y-2)2=1‎ 答案 A 解析 设圆心坐标为(a,0),则由题意可知(a-2)2+(1-0)2=1,解得a=2.故所求圆的方程是 ‎(x-2)2+y2=1.‎ ‎6.圆(x-3)2+(y-3)2=9上到直线3x+4y-11=0的距离等于2的点有(  )‎ A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 答案 B 解析 (3,3)到直线3x+4y-11=0的距离d==2,而圆的半径为3,故符合题意的点有2个.‎ ‎7.若圆C与圆(x+2)2+(y-1)2=1关于原点对称,则圆C的方程是(  )‎ A.(x-2)2+(y+1)2=1 B.(x-2)2+(y-1)2=1‎ C.(x-1)2+(y+2)2=1 D.(x+1)2+(y-2)2=1‎ 答案 A 解析 方法一 因为点(x,y)关于原点的对称点为(-x,-y),所以圆C为(-x+2)2+(-y-1)2=1,‎ 即(x-2)2+(y+1)2=1.‎ 方法二 已知圆的圆心是(-2,1),半径是1,‎ 所以圆C的圆心是(2,-1),半径是1.‎ 所以圆C的方程是(x-2)2+(y+1)2=1.‎ ‎8.过点P(-2,4)作圆O:(x-2)2+(y-1)2=25的切线l,直线m:ax-3y=0与直线l平行,则直线l与m的距离为(  )‎ A.4 B.2 C. D. 答案 A 解析 P为圆上一点,则有kOP·kl=-1,而kOP==-,∴kl=.∴a=4,∴m:4x-3y=0,l:4x-3y+20=0.∴l与m的距离为=4.‎ ‎9.圆C1:x2+y2+4x-4y+7=0和圆C2:x2+y2-4x-10y+13=0的公切线有(  )‎ A.2条 B.3条 C.4条 D.0条 答案 B 解析 由x2+y2+4x-4y+7=0,得圆心和半径分别为O1(-2,2),r1=1.由x2+y2-4x-10y+13=0,得圆心和半径分别为O2(2,5),r2=4.‎ 因为d=5,r1+r2=5,即r1+r2=d,所以两圆外切,由平面几何知识得两圆有3‎ 条公切线.‎ ‎10.若P(2,-1)为圆(x-1)2+y2=25的弦AB的中点,则弦AB所在直线的方程是(  )‎ A.2x+y-3=0 B.x+y-1=0‎ C.x-y-3=0 D.2x-y-5=0‎ 答案 C 解析 设圆心为C,则C点坐标为(1,0)且AB⊥CP,kCP==-1,∴kAB=1,直线AB的方程为y+1=x-2即x-y-3=0.‎ 二、填空题 ‎11.若圆C经过坐标原点和点(4,0),且与直线y=1相切,则圆C的方程是________________.‎ 答案 (x-2)2+2= 解析 因为圆的弦的垂直平分线必过圆心且圆经过点(0,0)和(4,0),所以设圆心为(2,m).又因为圆与直线y=1相切,所以=|1-m|,所以m2+4=m2-2m+1,解得m=-,所以圆的方程为(x-2)2+2=.‎ ‎12.若两圆x2+y2=m和x2+y2+6x-8y-11=0有公共点,则实数m的取值范围是________.‎ 答案 1≤m≤121‎ 解析 由x2+y2+6x-8y-11=0得(x+3)2+(y-4)2=36,所以两圆的圆心距d==5,当两圆有公共点时,它们只能是内切、外切或相交,因此圆心距d应满足|r2-r1|≤d≤r1+r2,即|-6|≤5≤+6,从而1≤≤11,即1≤m≤121.‎ ‎13.以原点O为圆心且截直线3x+4y+15=0所得弦长为8的圆的方程是________.‎ 答案 x2+y2=25‎ 解析 原点O到直线的距离d==3,设圆的半径为r,∴r2=32+42=25,∴圆的方程是x2+y2=25.‎ ‎14.过点M(3,2)作圆O:x2+y2+4x-2y+4=0的切线方程是________________.‎ 答案 y=2或5x-12y+9=0‎ 解析 由圆的方程可知,圆心为(-2,1),半径为1,显然所求直线斜率存在,设直线的方程为y-2=k(x-3),‎ 即kx-y-3k+2=0,由=1,‎ 解得k=0或k=,所以所求直线的方程为y=2和5x-12y+9=0.‎ 三、解答题 ‎15.已知圆C的方程是(x-1)2+(y-1)2=4,直线l的方程为y=x+m,求当m为何值时,‎ ‎(1)直线平分圆;‎ ‎(2)直线与圆相切.‎ 解 (1)∵直线平分圆,所以圆心在直线上,即有m=0.‎ ‎(2)∵直线与圆相切,所以圆心到直线的距离等于半径,‎ ‎∴d===2,m=±2.‎ 即m=±2时,直线l与圆相切.‎ ‎16.已知△ABC的边AB长为2a,若BC边上的中线为定长m,求顶点C的轨迹.‎ 解 如图:以直线AB为x轴,AB的中垂线为y轴建立直角坐标系,则A(-a,0),B(a,0),设C(x,y),BC的中点为D(x0,y0)则x0=,y0=,①‎ ‎∵|AD|=m,∴|x0+a|2+y=m2,②‎ 将①代入②并整理,得(x+3a)2+y2=4m2,‎ ‎∵点C不能在x轴上,∴y≠0.‎ 综上,点C的轨迹是以(-3a,0)为圆心,以2m为半径的圆,挖去(-3a+2m,0)和(-3a-2m,0)两点.‎ ‎17.在三棱柱ABOA′B′O′中,∠AOB=90°,侧棱OO′⊥面OAB,OA=OB=OO′=2.若C为线段O′A的中点,在线段BB′上求一点E,使|EC|最小.‎ 解 如图所示,以三棱柱的O点为坐标原点,以OA,OB,OO′所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系Oxyz.‎ 由OA=OB=OO′=2,得A(2,0,0),B(0,2,0),O(0,0,0),A′(2,0,2),B′(0,2,2),O′(0,0,2).‎ 由C为线段O′A的中点得C点坐标为(1,0,1),‎ 设E点坐标为(0,2,z),根据空间两点间距离公式得 ‎|EC|= ‎=,‎ 故当z=1时,|EC|取得最小值为,此时E(0,2,1)为线段BB′的中点.‎ ‎18.已知圆C:x2+(y-1)2=5,直线l:mx-y+1-m=0(m∈R).‎ ‎(1)判断直线l与圆C的位置关系;‎ ‎(2)设直线l与圆C交于A,B两点,若直线l的倾斜角为120°,求弦AB的长.‎ 解 (1)直线l可变形为y-1=m(x-1),‎ 因此直线l过定点D(1,1),‎ 又=1<,‎ 所以点D在圆C内,则直线l与圆C必相交.‎ ‎(2)由题意知m≠0,所以直线l的斜率k=m,‎ 又k=tan 120°=-,即m=-.‎ 此时,圆心C(0,1)到直线l:x+y--1=0的距离d==,‎ 又圆C的半径r=,‎ 所以|AB|=2=2=.‎

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