数学理卷·2018届黑龙江省大庆铁人中学高三下学期开学考试（3月）（2018 11页

大庆铁人中学2015级高三·下学期开学考试 数学试题（理科）‎ 答题时长（分钟）：120 分值：150分 命题人：赵倩楠 ‎ 第Ⅰ卷 选择题（共60分） ‎ 一、选择题（本大题共12小题，每小题只有一个选项正确，每小题5分，共60分。）‎ ‎1.已知全集U=R，集合，集合，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎2.已知复数，则下列说法正确的是（　）‎ A．z的虚部为4i B．z的共轭复数为1﹣4i C．|z|=5 D．z在复平面内对应的点在第二象限 ‎3.设是两条不同的直线，是两个不同的平面，且，下列命题中正确的是（ ）‎ A．若，则 B．若，则 ‎ C．若，则 D．若，则 ‎4.设，则“”是“直线与直线 垂直”的（ ）‎ A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 ‎5．甲、乙、丙三人参加某公司的面试，最终只有一人能够被该公司录用，得到面试结果以后，甲说：“丙被录用了”；乙说：“甲被录用了”；丙说：“我没被录用”.若这三人中仅有一人说法错误，则下列结论正确的是（ ）‎ A. 丙被录用了 B. 乙被录用了 C. 甲被录用了 D. 无法确定谁被录用了 ‎6.的展开式中，的系数为（ ）‎ A． B． C. D． ‎ ‎7.设是等比数列，则下列结论中正确的是（ ） ‎ A. 若，则 B. 若，则 ‎ C. 若，则 D. 若，则 ‎ ‎8.某四面体的三视图如下图所示，正视图、俯视图都是腰长为2的等腰直角三角形，侧视图是边长为2的正方形，则此四面体的四个面中最大面积是（ ）‎ A． B．4 C． D．‎ ‎8题图 9题图 ‎9.如上图，在长方形内任取一点，则点落在阴影部分内的概率为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎10.若将函数的图象向左平移个单位长度，则平移后图象的对称轴方程为（ ）‎ A． B． ‎ C. D．‎ ‎11.已知椭圆的左焦点为轴上的点在椭圆外，且线段与椭圆交于点，若，则椭圆的离心率为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎12．已知函数有三个不同的零点，（其中），则的值为（ ）‎ A． B． C．-1 D．1‎ 第II卷 非选择题（共90分）‎ 二、填空题（本大题4小题，每小题5分，共20分。）‎ ‎13.已知实数满足约束条件，则的最小值为 .‎ ‎14. 某学校需要把6名同学安排到三个兴趣小组学习，每个兴趣小组安排2名同学，已知甲不能安排到组，乙和丙不能安排到同一小组，则安排方案的种数有 .‎ ‎15.函数的图象与函数的图象所有交点的横坐标之和等于 .‎ ‎16.在中，，点是所在平面内一点，则当取得最小值时， .‎ 三、解答题（本大题7小题，共70分。其中17至21题为必做题，22、23题为选做题。解答过 程应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）‎ ‎17.（本小题满分12分）设数列满足.‎ ‎（Ⅰ）求数列的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）求数列的前项和.‎ ‎18. （本小题满分12分）在中，内角所对的边分别为，已知的面积为.‎ ‎（Ⅰ）求；‎ ‎（Ⅱ）求的值.‎ ‎19.（本小题满分12分）如图，在四棱锥中，⊥底面，，是以为斜边的等腰直角三角形，是的中点．（I）求证：平面⊥平面；（II）求直线与平面所成角的余弦值. ‎ ‎19题图 ‎20. （本小题满分12分）已知椭圆：的离心率为，且以两焦点为直径的圆的内接正方形面积为2．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的标准方程；‎ ‎（Ⅱ）若直线：与椭圆相交于，两点，在轴上是否存在点，使直线与的斜率之和为定值？若存在，求出点坐标及该定值，若不存在，试说明理由．‎ ‎21. （本小题满分12分）已知函数.‎ ‎（Ⅰ）当时，求函数的极值；‎ ‎（Ⅱ）若函数有两个零点，求的取值范围，并证明.‎ 请考生在第22、23两题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时，请用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。 ‎ ‎22．（本小题满分10分）（选修4-4：坐标系与参数方程选讲）‎ 已知圆锥曲线：（为参数）和定点（0，），、是此圆锥曲线的左、右焦点，以原点为极点，以x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．‎ ‎（1）求直线的直角坐标方程；‎ ‎（2）经过点且与直线垂直的直线交此圆锥曲线于、两点，求的值．‎ ‎23．（本小题满分10分）（选修4-5：不等式选讲）‎ 设函数．‎ ‎（Ⅰ）求不等式的解集；‎ ‎（Ⅱ）若对任意恒成立，求实数的取值范围．　‎ ‎2018年大庆铁人中学高三下开学考试（答案）‎ 数学参考答案（理科） ‎ 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 C B D A C B D C D A C D 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.‎ ‎13. 14. 15. 16. ‎ 三、解答题：本大题共6小题，共70分．‎ ‎17.解：（Ⅰ）∵数列满足 ‎∴当时，..............................2分 ‎∴当时，，即........................................4分 当时，满足上式 ‎∴数列的通项公式..............................................6分 ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知，...................................7分 ‎∴‎ ‎...............................9分 ‎.........................................................12分 ‎18. 解：（1）由的面积为，得.‎ 因，所以，‎ 所以，得，‎ 又，‎ 由余弦定理得：，‎ 所以.‎ ‎（2）法一：由（1）中.‎ 解得，‎ 由正弦定理得：，‎ 所以，‎ 法二：由（1）有，‎ 所以.‎ 由正弦定理得，‎ 所以.‎ ‎19（I）证明：∵⊥底面，底面 ‎∴⊥ …………………1分 由题意可知，，且 ‎ 是等腰直角三角形 ‎∴ ， …………………2分 ‎∴，即, …………………3分 又∵ …………………4分 ‎∴⊥平面 …………………5分 平面 ‎ ‎∴平面⊥平面 …………………6分 ‎（II）解法1：由（1）得平面⊥平面,‎ 平面平面=‎ 作，∴平面 ……………………8分 所以与平面所成角为 …………………9分 在中，，‎ 在中， ………………10分 所以直线与平面所成角的余弦值为………12分 解法二：建立空间直角坐标系略 ‎20.解：（1）由已知可得解得，，‎ 所求椭圆方程为．‎ ‎（2）由得，‎ 则，解得或．‎ 设，，‎ 则，，‎ 设存在点，则，，‎ 所以．‎ 要使为定值，只需与参数无关，‎ 故，解得，‎ 当时，．‎ 综上所述，存在点，使得为定值，且定值为0．‎ ‎21.解：（1）由得，‎ 当时，，若；若，‎ 故当时，在处取得的极大值；函数无极小值.‎ ‎（2）当时，由（1）知在处取得极大值，且当趋向于时，趋向于负无穷大，又有两个零点，则，解得.‎ 当时，若；若；若，则在处取得极大值，在处取得极小值，由于，则仅有一个零点.‎ 当时，，则仅有一个零点.‎ 当时，若；若；若，则在处取得极小值，在处取得极大值，由于，则仅有一个零点.‎ 综上，有两个零点时，的取值范围是.‎ 两零点分别在区间和内，不妨设.‎ 欲证，需证明，‎ 又由（1）知在单调递减，故只需证明即可.‎ ‎，‎ 又，‎ 所以，‎ 令，则，‎ 则在上单调递减，所以，即，‎ 所以.‎ ‎22.选修4-4：坐标系与参数方程选讲 ‎∴||MF1|﹣|NF1||=|t1+t2|=．‎ ‎23.选修4-5：不等式选讲 解：（1），即，‎ 即①或②或③‎ 解①可得；解②可得；解③可得．‎ 综上，不等式的解集为．‎ ‎（2）等价于恒成立，‎ 等价于恒成立，‎ 而，‎ 所以，得或，‎ 解得或，‎ 即实数的取值范围是．‎