安徽省皖江名校联盟2020届高三第一次联考试题（8月）数学（理科） 21页

数学(理科)‎ 一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，共6分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 ‎1.已知集合，则（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据集合的基本运算进行求解即可.‎ ‎【详解】由得，所以，‎ ‎，‎ 故选D.‎ ‎【点睛】该题考查的是有关集合的运算，属于简单题目.‎ ‎2.已知复数，则下列说法正确的是（ ）‎ A. 复数的实部为3 B. 复数的虚部为 C. 复数的共轭复数为 D. 复数的模为1‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 直接利用复数的基本概念得选项.‎ ‎【详解】，‎ 所以的实部为，虚部为 ，‎ 的共轭复数为，模为，‎ 故选C.‎ ‎【点睛】该题考查的是有关复数的概念和运算，属于简单题目.‎ ‎3.椭圆的一个焦点坐标为（ ）‎ A. (5,0) B. (0,5) C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题中所给的椭圆的方程，可得的值，并且可以判断焦点所在轴，从而求得椭圆的焦点的坐标.‎ ‎【详解】因为，所以，故椭圆的上焦点的坐标是，‎ 故选D.‎ ‎【点睛】该题考查的是有关椭圆的性质，属于简单题目.‎ ‎4.已知，，，则（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用指数函数和对数函数的单调性即可得出结果.‎ ‎【详解】因为，所以，‎ 故选B ‎【点睛】该题考查的是有关指数函数和对数函数的单调性，比较大小，属于基础题目.‎ ‎5.曲线在处的切线方程为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出函数的导数，求出切线的斜率，切点坐标，之后应用点斜式写出切线方程，化简得结果.‎ ‎【详解】，‎ 所以，又时，，‎ 所以所求切线方程为，即，‎ 故选A.‎ ‎【点睛】该题考查的是有关求曲线在某点处的切线方程的问题，涉及到的知识点有导数的几何意义，求导公式，属于简单题目 ‎6.设等差数列的前项和为，若，则（ ）‎ A. 18 B. 16 C. 14 D. 12‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用等差数列求和公式以及等差数列的性质，可以求得，结合，求得公差，从而求得的值.‎ ‎【详解】因为，所以，又，‎ 所以公差，所以．‎ ‎【点睛】该题考查的是数列的有关问题，涉及到的知识点有等差数列的求和公式，等差数列的性质，通项公式基本量的计算，属于简单题目.‎ ‎7.要得到函数的图象，只需将函数的图象（ ）‎ A. 向右平移个单位长度 B. 向右平移个单位长度 C. 向左平移个单位长度 D. 向左平移个单位长度 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据三角函数解析式之间的关系即可得到结论.‎ ‎【详解】因为， ‎ 所以将其图象向左平移个单位长度，‎ 可得，‎ 故选C.‎ ‎【点睛】该题考查的是有关图象的平移变换问题，涉及到的知识点有辅助角公式，诱导公式，图象的平移变换的原则，属于简单题目.‎ ‎8.若5个人按原来站的位置重新站成一排，恰有两人站在自己原来的位置上的概率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意，分2步分析：①先从5个人里选2人，其位置不变，其余3人都不在自己原来的位置，②分析剩余的3人都不在自己原来位置的站法数目，由分步计数原理计算可得答案.‎ ‎【详解】根据题意，分2步分析：‎ ‎①先从5个人里选2人，其位置不变，有种选法，‎ ‎②对于剩余的三人，因为每个人都不能站在原来的位置上，‎ 因此第一个人有两种站法，‎ 被站了自己位置的那个人只能站在第三个人的位置上，‎ 因此三个人调换有2种调换方法，‎ 故不同的调换方法有种.而基本事件总数为,‎ 所以所求概率为，‎ 故选C.‎ ‎【点睛】该题考查的是有关古典概型求概率的问题，涉及到的知识点有分步计数原理，排列组合的综合应用，古典概型概率求解公式，属于简单题目.‎ ‎9.定义在R上奇函数满足，当时， ，则不等式的解集为（ ）‎ A. (-1,3) B. (-3,1)‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意，可知当时，，从而利用导数的符号判断得出函数是R上的单调递增函数，所以得到，利用函数的单调性得到，解不等式求得结果.‎ ‎【详解】由题意可知，当时，，所以，‎ 是R上的单调递增函数，‎ 故由，得，‎ 即，解得，‎ 故选A.‎ ‎【点睛】该题考查的是有关函数的问题，涉及到的知识点有奇函数的解析式的求解，函数的单调性的判断与应用，属于简单题目.‎ ‎10.过原点作直线的垂线，垂足为P，则P到直线的距离的最大值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将直线：化为，可得直线经过定点，从而可以判断得出的轨迹是以为直径的圆，圆心为，半径为1，利用点到直线的距离公式，可得点到直线的距离的最大值为.‎ ‎【详解】整理得，‎ 由题意得，解得，‎ 所以直线过定点.‎ 因为，所以点的轨迹是以为直径的圆，圆心为，半径为1，‎ 因为圆心到直线的距离为，‎ 所以到直线的距离的最大值为.‎ ‎【点睛】该题考查的是有关动点到直线的距离的最值问题，涉及到的知识点有动直线过定点问题，动点的轨迹，圆上的点到直线的距离的最值，点到直线的距离公式，属于简单题目.‎ ‎11.已知圆锥的母线长为4，侧面积为S，体积为，则取得最大值时圆锥的侧面积为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设底面半径为r，高为h，利用题的条件，可得，之后应用公式表示出，利用基本不等式得出取得最大值时对应的条件，得出答案.‎ ‎【详解】设圆锥的底面半径为r，高为h，则，‎ 所以，当且仅当时取等号.此时侧面积为.‎ ‎【点睛】该题考查的是有关圆锥的问题，涉及到的知识点有圆锥的性质，母线、高、底面圆的半径之间的关系，圆锥的体积与侧面积公式，基本不等式，属于简单题目.‎ ‎12.已知点A是双曲线的右顶点，若存在过点的直线与双曲线的渐近线交于一点M，使得是以点M为直角顶点的直角三角形，则双曲线的离心率（ ）‎ A. 存在最大值 B. 存在最大值 C. 存在最小值 D. 存在最小值 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意，写出其右顶点的坐标，写出双曲线的渐近线方程，取，设出点M的坐标，从而得到，，根据题意可得，从而得到，进一步整理得 ‎，根据方程有解，利用判别式大于等于零，求得，进一步求得其离心率的范围，得到结果.‎ ‎【详解】双曲线的右顶点，‎ 双曲线的渐近线方程为，‎ 不妨取，‎ 设，则，.‎ 若存在过的直线与双曲线的渐近线交于一点，‎ 使得是以为直角顶点的直角三角形，‎ 则，即，‎ 整理可得，‎ 由题意可知此方程必有解，‎ 则判别式，得，‎ 即，解得，‎ 所以离心率存在最大值，‎ 故选B.‎ ‎【点睛】该题考查的是有关双曲线的性质的问题，涉及到的知识点有双曲线的渐近线，向量的坐标公式，向量垂直的条件，方程有解的条件，双曲线的离心率，属于简单题目.‎ 第Ⅱ卷 二、填空题:本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把正确的答案填在横线上 ‎13.已知向量，且与垂直，则 ______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 分析】‎ 根据题意，可求得，由于与垂直，结合向量数量积坐标公式可得，从而求得的值，得到结果.‎ ‎【详解】向量，，，‎ ‎ 与垂直，，解得，‎ 故答案是：．‎ ‎【点睛】该题考查的是有关向量的问题，涉及到的知识点有向量加法坐标运算，向量垂直的条件，向量数量积坐标公式，属于简单题目.‎ ‎14.已知所有项均为正数的等比数列的前项和为，若，，则公比_________.‎ ‎【答案】4‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意可得，设等比数列的公比为，利用等比数列的求和公式表示出，得出关于的方程，求解即可得到的值.‎ ‎【详解】由题意得，所以，‎ 又，所以，‎ 解得或（舍），‎ 所以，‎ 故答案是：4.‎ ‎【点睛】该题考查的是有关数列的问题，涉及到的知识点有等比数列的求和公式，属于简单题目.‎ ‎15.二项式的展开式中，的系数为__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 写出二项展开式的通项，由的指数等于4，求得的值，得到结果.‎ ‎【详解】展开式的通项公式为 ‎，‎ 令，解得，‎ 故所求系数为，‎ 故答案是：.‎ ‎【点睛】该题考查的是有关二项式定理的问题，涉及到的知识点有二项展开式中指定项的系数的问题，二项展开式的通项，属于简单题目.‎ ‎16.已知角，且满足，则______.(用表示)‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 化切为弦，整理后得到，利用诱导公式可得，结合题中所给的角的范围，最后确定出，从而得到结果.‎ ‎【详解】由得，‎ 所以，即.‎ 结合诱导公式得.‎ 因为，所以.‎ 由诱导公式可得，易知，‎ 因为在上单调递减，所以，即.‎ 法二：由得，‎ 所以.‎ 因为，所以.‎ 由诱导公式可得，即 因为在上单调递增，所以，即.‎ ‎【点睛】该题考查的是有关三角函数恒等变换的问题，涉及到的知识点有同角三角函数关系式，正弦差角公式，诱导公式，属于简单题目.‎ 三、解答题:本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写在答题卡上的指定区域内 ‎17.在中，内角所对的边分别为，且 ‎（1）求角的大小；‎ ‎（2）若的面积为，求的值.‎ ‎【答案】（1）；（2）7‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用同角三角函数关系和正弦定理可将已知关系式化为；利用余弦定理可求得，从而得到；（2）利用三角形面积公式可求得；利用余弦定理可构造关于的方程，解方程求得结果.‎ ‎【详解】（1）‎ 由正弦定理得：，即 ‎ ‎ ‎（2） ‎ 由余弦定理可得：‎ 即 ‎ ‎【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理解三角形、三角形面积公式的应用问题，属于常规题型.‎ ‎18.如图所示的多面体中，四边形是边长为2的正方形，平面.‎ ‎(1)设BD与AC的交点为O，求证:平面；‎ ‎(2)求二面角的正弦值.‎ ‎【答案】（1）证明见解析；(2) ．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据题意，推导出面，，，结合线面垂直的判定定理证得面；‎ ‎（2）以为原点，，，方向建立空间直角坐标系，利用面的法向量所成角的余弦值求得二面角的余弦值，之后应用平方关系求得正弦值，得到结果.‎ ‎【详解】(1) 证明：由题意可知：面，‎ 从而，，又为中点，‎ ‎，在中，，‎ ‎，又，‎ 面． ‎ ‎（2）面，且，‎ 如图以为原点，，，方向建立空间直角坐标系，‎ 从而，0，，，0，，，2，，，2，，，1，‎ 由（1）可知，1，是面的一个法向量，‎ 设，，为面的一个法向量，‎ 由，令得，，， ‎ 设为二面角的平面角，‎ 则，．‎ 二面角的正弦值为．‎ ‎【点睛】该题考查的是有关立体几何的问题，涉及到的知识点有线面垂直的判定，利用空间向量求二面角的余弦值，同角三角函数关系式，属于简单题目.‎ ‎19.抛物线的焦点是F，直线与C的交点到F的距离等于2.‎ ‎(1)求抛物线C的方程;‎ ‎(2)一直线交C于A，B两点，其中点在曲线上，求证:FA与FB斜率之积为定值.‎ ‎【答案】(1)；(2)证明见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据题意，结合抛物线的定义可得点P的坐标为，代入抛物线方程可得，从而求得抛物线的方程；‎ ‎（2）联立方程组，消元可得，设出两点的坐标，，由韦达定理可得，，根据点在曲线上，可得，整理求得，得到结果.‎ ‎【详解】（1）由知到准线的距离也是2，‎ 点横坐标是，‎ 将代入，得，‎ 抛物线的方程为. ‎ ‎（2）证明：联立得，‎ 设，，‎ 则，.‎ 因为点在曲线上，‎ 所以代入整理可得， 则 ‎.‎ ‎【点睛】该题考查的是有关直线与圆锥曲线的问题，涉及到的知识点有抛物线的定义，直线与抛物线的位置关系，点在曲线上的条件，两点斜率坐标公式，属于简单题目.‎ ‎20.设函数为常数 ‎(1)若函数在上是单调函数，求的取值范围；‎ ‎ (2)当时，证明.‎ ‎【答案】(1) ；(2) 证明见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）对函数求导，单调分单调增和单调减，利用或在上恒成立，求得实数的取值范围；‎ ‎（2）利用导数研究函数的单调性，求得结果.‎ ‎【详解】（1）由得导函数，其中.‎ 当时，恒成立，‎ 故在上是单调递增函数，符合题意； ‎ 当时，恒成立，‎ 故在上是单调递减函数，符合题意； ‎ 当时，由得，‎ 则存在，使得.‎ 当时，，当时，‎ ‎，所以在上单调递减，在上单调递增，‎ 故在上不是单调函数，不符合题意.‎ 综上，的取值范围是. ‎ ‎（2）由（1）知当时，，‎ 即，故. ‎ 令，‎ 则，‎ 当时，，所以在上是单调递减函数，‎ 从而，即.‎ ‎【点睛】该题考查的是有关导数的应用，涉及到的知识点有根据函数在给定区间上单调求参数的取值范围，利用导数证明不等式，属于中档题目.‎ ‎21.某电子公司新开发一电子产品，该电子产品的一个系统G有3个电子元件组成，各个电子元件能否正常工作的概率均为，且每个电子元件能否正常工作相互独立.若系统C中有超过一半的电子元件正常工作，则G可以正常工作，否则就需要维修，且维修所需费用为500元.‎ ‎(1)求系统不需要维修的概率；‎ ‎(2)该电子产品共由3个系统G组成，设E为电子产品需要维修的系统所需的费用，求的分布列与期望;‎ ‎(3)为提高G系统正常工作概率，在系统内增加两个功能完全一样的其他品牌的电子元件，每个新元件正常工作的概率均为，且新增元件后有超过一半的电子元件正常工作，则C可以正常工作，问:满足什么条件时，可以提高整个G系统的正常工作概率?‎ ‎【答案】(1)；(2)见解析；(3) 当时，可以提高整个系统的正常工作概率.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由条件，利用独立重复试验成功的次数对应的概率公式以及概率加法公式求得系统不需要维修的概率；‎ ‎（2）设为维修维修的系统的个数，根据题意可得，从而得到，利用公式写出分布列，并求得期望；‎ ‎（3）根据题意，当系统有5个电子元件时，分析得出系统正常工作对应的情况，分类得出结果，求得相应的概率，根据题意列出式子，最后求得结果.‎ ‎【详解】（1）系统不需要维修的概率为.‎ ‎（2）设为维修维修的系统的个数，则，且，‎ 所以.‎ 所以的分布列为 ‎0‎ ‎500‎ ‎1000‎ ‎1500‎ 所以的期望为. ‎ ‎（3）当系统有5个电子元件时，‎ 原来3个电子元件中至少有1个元件正常工作，系统的才正常工作.‎ 若前3个电子元件中有1个正常工作，同时新增的两个必须都正常工作，‎ 则概率为；‎ 若前3个电子元件中有两个正常工作，‎ 同时新增的两个至少有1个正常工作，‎ 则概率为；‎ 若前3个电子元件中3个都正常工作，则不管新增两个元件能否正常工作，‎ 系统均能正常工作，则概率为.‎ 所以新增两个元件后系统能正常工作的概率为，‎ 于是由知，当时，即时，‎ 可以提高整个系统正常工作概率.‎ ‎【点睛】该题考查的是有关概率的问题，涉及到的知识点有独立重复试验，二项分布，分布列与期望，概率加法公式，属于中档题目.‎ 请考生从第22、23题中任选一题做答，并用2铅笔将答题卡上所选题目对应的题号右侧方框涂黑，按所涂题号进行评分;多涂、多答，按所涂的首题进行评分;不涂，按本选考题的首题进行评分 选修4-4:坐标系与参数方程 ‎22.已知平面直角坐标系中，曲线的参数方程为 (为参数)，以原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.‎ ‎(1)求曲线的直角坐标方程；‎ ‎(2)求曲线与曲线交点的直角坐标.‎ ‎【答案】(1)；(2) .‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用极坐标与平面直角坐标的转换关系求得结果；‎ ‎（2）将曲线的参数方程化为普通方程，与直线方程联立，求得方程组的解，结合对应的坐标的范围，求得对应的交点的坐标，得到结果.‎ ‎【详解】（1）依题意，曲线的直角坐标方程为. ‎ ‎（2）因为曲线的参数方程为（为参数），‎ 所以曲线的直角坐标方程为， ‎ 联立解方程组得或 根据的范围应舍去故交点的直角坐标为.‎ ‎【点睛】该题考查的是有关坐标系与参数方程的问题，涉及到的知识点有参数方程与普通方程的互化，平面直角坐标方程与极坐标方程的互化，曲线交点的坐标的求解，属于简单题目.‎ ‎ 选修4-5:不等式选讲 ‎23.已知函数. ‎ ‎(1)求不等式的解集；‎ ‎(2)若恒成立，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】(1)；(2).‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）通过讨论的范围，求出不等式的解集即可；‎ ‎（2）通过求函数的最小值，将恒成立问题转化为最值问题，得到关于的不等关系，从而求得结果.‎ ‎【详解】（1）依题意，，‎ 当时，原式化为，解得，故；‎ 当时，原式化为，解得，故无解；‎ 当时，原式化为，解得，故；‎ 综上所述，不等式的解集为； ‎ ‎（2）因为，‎ 当且仅当时，等号成立.‎ 故恒成立等价于；即，‎ 解得，‎ 故实数的取值范围为.‎ ‎【点睛】该题考查的是有关绝对值不等式的问题，涉及到的知识点有零点分段法解绝对值不等式，恒成立问题向最值靠拢，属于简单题目.‎ ‎ ‎