数学文卷·2017届四川省成都外国语学校高三4月月考（2017 8页

成都外国语学校高2014级4月月考试题 文科数学 命题人：李 斌 审题人：郭健康 一、 选择题 ‎1、已知集合，则（ ）D A. B. C. D. ‎ ‎2、已知复数满足为虚数单位），则（ ）C A. B. C. D. ‎ ‎3、从某高中女学生中选取10名学生，根据其身高（）、体重（）数据，得到体重关于身高回归方程，用来刻画回归效果的相关指数，则下列说法正确的是（ ）B A. 这些女学生的体重和身高具有非线性相关关系 ‎ B. 这些女学生的体重差异有是由身高引起的 ‎ C. 身高为的学生体重一定为 ‎ D. 这些女学生的身高每增加，其体重约增加 ‎4、设，则的大小关系是（ ）B A. B. C. D. ‎ ‎5、若圆上存在两点关于直线对称，则的值为（ ）A A. B. C. D. ‎ ‎6、已知一正方体截去两个三棱锥后，所得几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）‎ A．8 B．7 C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 试题分析：，故选 B．‎ 考点：1、三视图；2、体积．‎ ‎7、执行如图的程序框图，若程序运行中输出的一组数是，则的值为（ ）B A. B. C. D. ‎ ‎8、将函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，再向右平移个单位长度，得到函数的图象，则图象的一条对称轴是（ ）C A． B． C． D．‎ ‎9、齐王与田忌赛马, 田忌的上等马优于齐王的中等马, 劣于齐王的上等马, 田忌的中等马优于齐王的下等马,劣于齐王的中等马, 田忌的下等马劣于齐王的下等马, 现从双方的马匹中随机选一匹进行一场比赛, 则田忌马获胜的概率为（ ）A ‎ A． B． C． D．‎ ‎10、已知分别为双曲线的左、右焦点，是双曲线的左支上的任意一点，当取得最小值时，双曲线的离心率为（ ）D A．2 B． C．3 D．5‎ ‎11、数列满足，对任意的都有，‎ 则（ ）B A． B． C． D．‎ ‎【解析】∵，∴，即，，…，，等式两边同时相加得，即，‎ 则，∴，故选：B.‎ 考点：数列求和.‎ ‎12、若函数有个解，则称函数为“复合解”函数。已知函数（其中为自然对数的底数，），且函数为“复合5解”函数，则的取值范围为（ ）D A． B． C． D．‎ 一、 填空题 13、 中，是斜边的中点，若，则____________‎ 答案：32‎ ‎14、当实数，满足不等式组时，恒有成立，则实数的取值范围是 ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】满足不等式组的平面区域如图所示，由于对任意的实数，不等式恒成立，根据图形，可得斜率或，解得 ‎，则实数的取值范围是．‎ ‎15、过双曲线的左焦点作圆的切线交双曲线的右支于点，切点为，的中点在第一象限，为坐标原点，则与的大小关系为_____________‎ 答案:‎ 16、 设曲线为自然对数的底数）上任意一点处的切线，总存在曲线上的一点处 的切线，使得，则实数的取值范围为____________‎ 答案：‎ 一、 解答题 ‎17、在中，所对的边分别为函数在处取得最大值．‎ ‎（1）当时，求函数的值域；‎ ‎（2）若且,求的面积．‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】（1）‎ 因为函数在处取得最大值，所以，得 所以 因为，所以，则函数值域为 ‎(2）因为 所以，则 所以，由余弦定理得 所以，又因为，，所以 则面积．‎ ‎18、近年空气质量逐步恶化，雾霾天气现象出现增多，大气污染危害加重。大气污染可引起心悸、呼吸困难等心肺疾病。为了解某市心肺疾病是否与性别有关，在某医院随机对头入院的50人进行问卷调查，得到了如下的列联表：‎ 患心肺疾病 不患心肺疾病 合计 男 ‎20‎ ‎5‎ ‎25‎ 女 ‎10‎ ‎15‎ ‎25‎ 合计 ‎30‎ ‎20‎ ‎50‎ （1） 用分层抽样的方法在患心肺疾病的人群中抽6人，其中男性抽多少人？‎ （2） 在上述抽取的6人中选2人，求恰好有1名女性的概率；‎ （3） 为了研究心肺疾病是否与性别有关，请计算出统计量，你有多大把握认为心肺疾病与性别有关？（结果保留三个有效数字）‎ 下面的临界值表供参考：‎ ‎0.15‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ ‎0.001‎ ‎2.072‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎7.879 ‎ ‎10.828‎ 参考公式:，其中 解：（1）在患心肺疾病的人群中抽6人，其中男性抽4人；‎ （2） 设4男分为：；2女分为：，则6人中抽出2人的所有抽法：‎ AB、AC、AD、AM、AN、BC、BD、BM、BN、CD、CM、CN、DM、DN、MN共15种抽法，其中恰好有1个女生的抽法有8种 所以恰好有1个女生的概率为 （3） 由列联表得，查临界值表知：有把握认为心肺疾病与性别有关 ‎19、如图，在四棱锥中，平面平面．‎ ‎（Ⅰ）求棱锥的体积；‎ ‎（Ⅱ）求证：平面平面；‎ ‎（Ⅲ）在线段上是否存在一点，使平面？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．‎ ‎【答案】（I）；（II）证明见解析；（III）存在，．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（I）在在中，，可得，由于平面，可的棱锥的高，利用体积公式求解几何体的体积；（II）由平面，可得，进而得到平面，即可证明平面平面；（III）在线段上存在一点，使得平面，，设F为线段DE上的一点，且，过F作，由线面垂直的性质可得，可得四边形ABMF是平行四边形，于是，即可证明平面．‎ 试题解析：（Ⅰ）在中，‎ 因为平面，‎ 所以棱锥的体积为．‎ ‎（Ⅱ）证明：因为 平面，平面，‎ 所以．又因为，，‎ 所以平面．又因为平面，‎ 所以平面平面．‎ ‎（Ⅲ）结论：在线段上存在一点，且，使平面．‎ 解：设为线段上一点， 且，过点作交于，‎ 则．因为平面，平面，所以．‎ 又因为所以，，所以四边形是平行四边形，‎ 则．又因为平面，平面，所以平面．‎ ‎20、已知椭圆的离心率为，椭圆和抛物线交于两点，且直线恰好通过椭圆的右焦点．‎ ‎（1）求椭圆的标准方程；‎ ‎（2）经过椭圆右焦点的直线和椭圆交于两点，点在椭圆上，且，‎ 其中为坐标原点，求直线的斜率．‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）由知，可设，其中，把，代入椭圆方程中解得，故椭圆方程为 ‎（2）知直线的斜率不为零，故可设直线方程为，设，由已知，从而，由于均在椭圆上，故有：，三式结合化简得 ‎，把直线方程为和椭圆方程联立并结合韦达定理，即可求得的值 试题解析：（1）由知，可设，其中 由已知，代入椭圆中得：即，解得 从而，‎ 故椭圆方程为 ‎（2）设，由已知 从而，由于均在椭圆上，故有：‎ 第三个式子变形为：‎ 将第一，二个式子带入得： （*）‎ 分析知直线的斜率不为零，故可设直线方程为，与椭圆联立得：‎ ‎，由韦达定理 将（*）变形为：‎ 即 将韦达定理带入上式得：，解得 因为直线的斜率，故直线的斜率为 考点：椭圆标准方程；直线与椭圆的位置关系.‎ ‎【名师点睛】利用待定系数法即可求得椭圆的标准方程；解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题．涉及弦长问题利用弦长公式解决，往往会更简单．三角形面积公式的选用也是解题关键.‎ ‎21、（本小题满分12分）已知函数为自然对数的底数）．（1）求函数的单调区间；（2）若对任意在上总存在两个不同的，使成立，求的取值范围.‎ ‎21.解：（1）‎ ‎1）当；‎ ‎2）当,令；‎ 综上：当时，的单调递减区间是；‎ 当时，的单调递减区间是，单调递增区间是.‎ ‎（2），‎ 在内递增，在内递减.又，‎ 所以函数在内的值域为.‎ 由，得.‎ ‎①当时，在上单调递减，不合题意；‎ ‎②当时，令，则；令，则.‎ i）当，即，在上单调递减，不合题意；‎ ii）当，即时，在上单调递减，在上单调递增.‎ 令，则，‎ 在上单调递增，在上单调递减；‎ ‎，即在上恒成立.‎ 令，则，设，则，‎ 在内单调递减，在上单调递增，‎ ‎，即，即.‎ 当时，，‎ 且在上连续. ‎ 欲使对任意的在上总存在两个不同的，‎ 使成立，则需满足，即.‎ 又，，‎ ‎.综上所述，.‎ 请考生在第（22）、（23）题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一个题目计分．‎ ‎22、（本小题满分10分）选修44：坐标系与参数方程 已知曲线C的参数方程为（为参数）．以原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．‎ ‎（Ⅰ）求曲线的极坐标方程；‎ ‎（Ⅱ）若直线l：与曲线相交于A、B两点，设线段AB的中点为M，求的最大值．‎ 解：（I）曲线C的普通方程为，-------------------------------------2分 由，得；---------------------------------------5分 ‎（II）解法1：联立和，‎ 得，-----------------------------------------------------------------6分 设、，则，---------8分 由， 得，--------------------------------9分 当时，|OM|取最大值．----------------------------------------------------------------10分 ‎【解法2：由（I）知曲线C是以点P为圆心，以2为半径的圆，在直角坐标系中，直线的方程为，则，-----------------------------------------------------6分 ‎∵，---------------------------------8分 当时，，，，当且仅当，即时取等号，‎ ‎∴,即的最大值为．------------------------------------------------------------10分】‎ ‎23、（本小题满分10分）选修45：不等式选讲 设函数．（Ⅰ）当时，解不等式；‎ ‎（Ⅱ）设，当时，求证：．‎ 解：（I）当时，不等式即 ‎ 当时，得，∴-----------------------------------------1分 当时，得，∴------------------------------2分 当时，得，与矛盾，--------------------------------------3分 综上得原不等式的解集为=-------------------------5分 ‎（II）-----------------------------------------------6分 ‎∵，‎ ‎∴--------------------------------------------------7分 ‎，------------------------------------------------------9分 当时取“=”，得证． ------------------------------------------------------------------------10分