2021高考数学一轮复习课后限时集训9指数与指数函数文北师大版2 6页

课后限时集训9‎ 指数与指数函数 建议用时：45分钟 一、选择题 ‎1．设a＞0，将表示成分数指数幂的形式，其结果是(　　)‎ A．a　　　　　 B．a C．a D．a C　[＝＝＝＝a＝a.故选C.]‎ ‎2．已知函数f(x)＝4＋2ax－1的图像恒过定点P，则点P的坐标是(　　)‎ A．(1,6) B．(1,5)‎ C．(0,5) D．(5,0)‎ A　[由于函数y＝ax的图像过定点(0,1)，当x＝1时，f(x)＝4＋2＝6，故函数f(x)＝4＋2ax－1的图像恒过定点P(1,6)．]‎ ‎3．设a＝0.60.6，b＝0.61.5，c＝1.50.6，则a，b，c的大小关系是(　　)‎ A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．b＜a＜c D．b＜c＜a C　[y＝0.6x在R上是减函数，又0.6＜1.5，‎ ‎∴0.60.6＞0.61.5.‎ 又y＝x0.6为R上的增函数，‎ ‎∴1.50.6＞0.60.6，‎ ‎∴1.50.6＞0.60.6＞0.61.5，即c＞a＞b.]‎ ‎4．函数y＝(0＜a＜1)的图像的大致形状是(　　)‎ A　　　　　　　　 　　B - 6 -‎ C　　　　　　　　 　　D D　[函数的定义域为{x|x≠0}，所以y＝＝当x＞0时，函数是指数函数y＝ax，其底数0＜a＜1，所以函数递减；当x＜0时，函数y＝－ax的图像与指数函数y＝ax(0＜a＜1)的图像关于x轴对称，所以函数递增，所以应选D.]‎ ‎5．已知函数f(x)＝则函数f(x)是(　　)‎ A．偶函数，在[0，＋∞)上单调递增 B．偶函数，在[0，＋∞)上单调递减 C．奇函数，且单调递增 D．奇函数，且单调递减 C　[易知f(0)＝0，当x＞0时，f(x)＝1－2－x，－f(x)＝2－x－1，此时－x＜0，则f(－x)＝2－x－1＝－f(x)；当x＜0时，f(x)＝2x－1，－f(x)＝1－2x，此时，－x＞0，则f(－x)＝1－2－(－x)＝1－2x＝－f(x)．即函数f(x)是奇函数，且单调递增，故选C.]‎ 二、填空题 ‎6．若函数f(x)＝a|2x－4|(a＞0，a≠1)满足f(1)＝，则f(x)的单调递减区间是________．‎ ‎[2，＋∞)　[由f(1)＝得a2＝，‎ 所以a＝或a＝－(舍去)，即f(x)＝.‎ 由于y＝|2x－4|在(－∞，2]上单调递减，在[2，＋∞)上单调递增，‎ 所以f(x)在(－∞，2]上单调递增，在[2，＋∞)上单调递减．]‎ ‎7．不等式2＞的解集为________．‎ ‎(－1,4)　[原不等式等价为2＞2－x－4，‎ 又函数y＝2x为增函数，∴－x2＋2x＞－x－4，‎ 即x2－3x－4＜0，∴－1＜x＜4.]‎ ‎8．若直线y1＝2a与函数y2＝|ax－1|(a＞0且a≠1)的图像有两个公共点，则a的取值范围是________．‎ - 6 -‎ 　[(数形结合法)当0＜a＜1时，作出函数y2＝|ax－1|的图像，‎ 由图像可知0＜2a＜1，‎ ‎∴0＜a＜；‎ 同理，当a＞1时，解得0＜a＜，与a＞1矛盾．‎ 综上，a的取值范围是.]‎ 三、解答题 ‎9．已知函数f(x)＝.‎ ‎(1)若a＝－1，求f(x)的单调区间；‎ ‎(2)若f(x)有最大值3，求a的值；‎ ‎(3)若f(x)的值域是(0，＋∞)，求a的值．‎ ‎[解](1)当a＝－1时，f(x)＝，‎ 令u＝－x2－4x＋3＝－(x＋2)2＋7.‎ 则u在(－∞，－2)上单调递增，在(－2，＋∞)上单调递减，‎ 而y＝在R上单调递减，所以f(x)在(－∞，－2)上单调递减，在(－2，＋∞)上单调递增，即函数f(x)的单调递增区间是(－2，＋∞)，单调递减区间是(－∞，－2)．‎ ‎(2)令h(x)＝ax2－4x＋3，则f(x)＝，由于f(x)有最大值3，所以h(x)应有最小值－1.‎ 因此必有解得a＝1，‎ 即当f(x)有最大值3时，a的值为1.‎ ‎(3)由f(x)的值域是(0，＋∞)知，函数y＝ax2－4x＋3的值域为R，则必有a＝0.‎ ‎10．已知函数f(x)＝b·ax(其中a，b为常量，且a＞0，a≠1)的图像经过点A(1,6)，B(3,24)．‎ ‎(1)求f(x)的表达式；‎ ‎(2)若不等式＋－m≥0在(－∞，1]上恒成立，求实数m的取值范围．‎ ‎[解](1)因为f(x)的图像过A(1,6)，B(3,24)，‎ 所以 所以a2＝4，又a＞0，所以a＝2，b＝3.‎ - 6 -‎ 所以f(x)＝3·2x.‎ ‎(2)由(1)知a＝2，b＝3，则x∈(－∞，1]时，＋－m≥0恒成立，即m≤＋在(－∞，1]上恒成立．‎ 又因为y＝与y＝均为减函数，所以y＝＋也是减函数，所以当x＝1时，y＝＋有最小值.所以m≤.即m的取值范围是.‎ ‎1．已知a，b∈(0,1)∪(1，＋∞)，当x＞0时，1＜bx＜ax，则(　　)‎ A．0＜b＜a＜1 B．0＜a＜b＜1‎ C．1＜b＜a D．1＜a＜b C　[∵当x＞0时，1＜bx，∴b＞1.‎ ‎∵当x＞0时，bx＜ax，∴当x＞0时，＞1.‎ ‎∴＞1，∴a＞b.∴1＜b＜a，故选C.]‎ ‎2．(2019·郴州质检)已知函数f(x)＝ex－，其中e是自然对数的底数，则关于x的不等式f(2x－1)＋f(－x－1)＞0的解集为(　　)‎ A.∪(2，＋∞)‎ B．(2，＋∞)‎ C.∪(2，＋∞)‎ D．(－∞，2)‎ B　[函数f(x)＝ex－的定义域为R，‎ ‎∵f(－x)＝e－x－＝－ex＝－f(x)，∴f(x)是奇函数，那么不等式f(2x－1)＋f(－x－1)＞0等价于f(2x－1)＞－f(－x－1)＝f(1＋x)，易证f(x)是R上的单调递增函数，∴2x－1＞x＋1，解得x＞2，∴不等式f(2x－1)＋f(－x－1)＞0的解集为(2，＋∞)．]‎ ‎3．已知函数f(x)＝ax(a＞0，a≠1)在[1,2]上的最大值比最小值大，则a的值为________．‎ - 6 -‎ 或　[当0＜a＜1时，a－a2＝，‎ ‎∴a＝或a＝0(舍去)．‎ 当a＞1时，a2－a＝，‎ ‎∴a＝或a＝0(舍去)．‎ 综上所述，a＝或.]‎ ‎4．已知定义域为R的函数f(x)＝是奇函数．‎ ‎(1)求a，b的值；‎ ‎(2)若对任意的t∈R，不等式f(t2－2t)＋f(2t2－k)＜0恒成立，求k的取值范围．‎ ‎[解](1)因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(0)＝0，即＝0，解得b＝1，‎ 所以f(x)＝.‎ 又由f(1)＝－f(－1)知＝－，解得a＝2.‎ ‎(2)由(1)知f(x)＝＝－＋，‎ 由上式易知f(x)在R上为减函数，又因为f(x)是奇函数，从而不等式f(t2－2t)＋f(2t2－k)＜0等价于f(t2－2t)＜－f(2t2－k)＝f(－2t2＋k)．‎ 因为f(x)是R上的减函数，由上式推得t2－2t＞－2t2＋k.‎ 即对一切t∈R有3t2－2t－k＞0，‎ 从而Δ＝4＋12k＜0，解得k＜－.‎ 故k的取值范围为(－∞，－).‎ ‎1．设y＝f(x)在(－∞，1]上有定义，对于给定的实数K，定义fK(x)＝给出函数f(x)＝2x＋1－4x，若对于任意x∈(－∞，1]，恒有fK(x)＝f(x)，则(　　)‎ A．K的最大值为0‎ B．K的最小值为0‎ C．K的最大值为1‎ D．K的最小值为1‎ D　[根据题意可知，对于任意x∈(－∞，1]，若恒有fK(x)＝f(x)，则f(x)≤K在x≤‎ - 6 -‎ ‎1上恒成立，即f(x)的最大值小于或等于K即可．‎ 令2x＝t，则t∈(0,2]，f(t)＝－t2＋2t＝－(t－1)2＋1，可得f(t)的最大值为1，所以K≥1，故选D.]‎ ‎2．已知函数f(x)＝－＋3(－1≤x≤2)．‎ ‎(1)若λ＝，求函数f(x)的值域；‎ ‎(2)若函数f(x)的最小值是1，求实数λ的值．‎ ‎[解](1)f(x)＝－＋3‎ ‎＝－2λ·＋3(－1≤x≤2)．‎ 设t＝，得g(t)＝t2－2λt＋3(≤t≤2).‎ 当λ＝时，g(t)＝t2－3t＋3‎ ‎＝(t－)＋≤t≤2.‎ 所以g(t)max＝g＝，g(t)min＝g＝.‎ 所以f(x)max＝，f(x)min＝，‎ 故函数f(x)的值域为[，].‎ ‎(2)由(1)得g(t)＝t2－2λt＋3‎ ‎＝(t－λ)2＋3－λ2(≤t≤2)，‎ ‎①当λ≤时，g(t)min＝g＝－＋，‎ 令－＋＝1，得λ＝＞，不符合，舍去；‎ ‎②当＜λ≤2时，g(t)min＝g(λ)＝－λ2＋3，‎ 令－λ2＋3＝1，得λ＝(λ＝－＜，不符合，舍去)；‎ ‎③当λ＞2时，g(t)min＝g(2)＝－4λ＋7，‎ 令－4λ＋7＝1，得λ＝＜2，不符合，舍去．‎ 综上所述，实数λ的值为.‎ - 6 -‎