2019届二轮复习一元二次不等式及其解法课件（35张）（全国通用） 35页

一元二次不等式及其解法 [ 学习目标 ] 1. 理解一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系 . 2. 掌握图象法解一元二次不等式的方法 . 3. 培养数形结合、分类讨论思想方法 . 3.2 　一元二次不等式解法 （ 重点 ） （ 难点 ） [ 预习导引 ] 1. 一元二次不等式的概念 (1) 一般地，含有一个未知数，且未知数的 的整式不等式，叫做一元二次不等式 . (2) 一元二次不等式的一般表达形式为 _________________ 或 ( a ≠ 0) ，其中 a ， b ， c 均为常数 . ax 2 ＋ bx ＋ c <0 最高次数是 2 ax 2 ＋ bx ＋ c >0( a ≠ 0) 判别式 △ =b 2 - 4 ac y=ax 2 +bx+c ( a> 0 )的图象 ax 2 +bx+c= 0 ( a >0)的根 ax 2 +bx+c> 0 ( a> 0)的解集 ax 2 +bx+c< 0 ( a >0)的解集 △>0 有两相异实根 x 1 , x 2 ( x 1 < x 2 ) { x|xx 2 } { x|x 1 < x 0( a >0) 的解集为 ________ ； ax 2 ＋ bx ＋ c <0( a >0) 的解集为 . { x | x 1 < x < x 2 } { x | x < x 1 或 x > x 2 } 思考 　 知识点一　一元二次不等式的概念 不等式 x 2 >1 的解集为 { x | x < － 1 或 x >1} ，该集合中每一个元素都是不等式的解，而不等式的每一个解均属于解集 . 答案 我们知道，方程 x 2 ＝ 1 的解集是 {1 ，－ 1} ，解集中的每一个元素均可使等式成立 . 那么你能写出不等式 x 2 >1 的解集吗？ [ 问题导学 ] 梳理 　 (1) 形如 ax 2 ＋ bx ＋ c >0( ≥ 0) 或 ax 2 ＋ bx ＋ c <0( ≤ 0) 的不等式 ( 其中 a ≠ 0) ，叫作一元二次不等式 . (2)使某个一元二次不等式成立的 x 的值叫这个一元二次不等式的解. (3)一元二次不等式所有解组成的集，叫作一元二次不等式的解集. 知识点二　 “ 三个二次 ” 的关系 思考 　 分析二次函数 y ＝ x 2 － 1 与一元二次方程 x 2 － 1 ＝ 0 和一元二次不等式 x 2 － 1>0 之间的关系 . 答案 判别式 △ =b 2 - 4 ac y=ax 2 +bx+c ( a> 0 )的图象 ax 2 +bx+c= 0 ( a >0)的根 ax 2 +bx+c> 0 ( a> 0)的解集 ax 2 +bx+c< 0 ( a >0)的解集 △>0 有两相异实根 x 1 , x 2 ( x 1 < x 2 ) { x|xx 2 } { x|x 1 < x 0 的解集是 { x | x < x 1 或 x > x 2 }; 口诀：大于取两边，大于大根或小于小根 2. ax 2 +b x +c<0 的 解集 是 { x | x 1 < x < x 2 } 。 口诀：小于 取 中间，大于小根小于大根 知识点三　一元二次不等式的解法 思考 　 根据上表，尝试解不等式 x 2 ＋ 2>3 x . 先化为 x 2 － 3 x ＋ 2>0. ∵ 方程 x 2 － 3 x ＋ 2 ＝0的根 x 1 ＝1， x 2 ＝2， ∴ 原不等式的解集为{ x | x <1或 x >2}. 答案 解一元二次方程的步骤 解形如 ax 2 ＋ bx ＋ c >0( ≥ 0) 或 ax 2 ＋ bx ＋ c <0( ≤ 0) 的一元二次不等式，一般可分为三步： (1) 确定对应方程 ax 2 ＋ bx ＋ c ＝0的解；( 求根 ) (2)画出对应函数 y ＝ ax 2 ＋ bx ＋ c 的图象简图；（作图） (3)由图 象 得出不等式的解集. （写解集） 梳理 　 类型一　一元二次不等式的解法 命题角度 1 　二次项系数大于 0 例 1 　求不等式 4 x 2 － 4 x ＋ 1>0 的解集 . 解答 因为 Δ ＝ ( － 4) 2 － 4 × 4 × 1 ＝ 0 ， 所以方程4 x 2 － 4 x ＋ 1 ＝ 0 的解是 x 1 ＝ x 2 ＝ ， 所以原不等式的解集为 . 题型探究 反思与感悟 当所给不等式是非一般形式的不等式时，应先化为一般形式，在具体求解一个一般形式的一元二次不等式的过程中，要密切结合一元二次方程的根的情况以及二次函数的图像 . 跟踪训练 1 　求不等式 2 x 2 － 3 x － 2 ≥ 0 的解集 . 解答 ∵ 2 x 2 － 3 x － 2 ＝ 0 的两解为 x 1 ＝－ ， x 2 ＝ 2 ， 且 a ＝ 2>0 ， ∴ 不等式 2 x 2 － 3 x － 2 ≥ 0 的解集是 { x | x ≤ － 或 x ≥ 2}. 命题角度 2 　二次项系数小于 0 例 2 　解不等式－ x 2 ＋ 2 x － 3>0. 解答 不等式可化为 x 2 － 2 x ＋ 3<0. 因为 Δ <0 ，方程 x 2 － 2 x ＋ 3 ＝ 0无实数解， 而 y ＝ x 2 －2 x ＋3的图像开口向上， 所以原不等式的解集是 ∅ . 反思与感悟 将－ x 2 ＋ 2 x － 3>0 转化为 x 2 － 2 x ＋ 3<0 的过程注意符号的变化，这是解本题关键之处 . 跟踪训练 2 　求不等式－ 3 x 2 ＋ 6 x >2 的解集 . 解答 不等式可化为 3 x 2 － 6 x ＋ 2<0 ， ∵ Δ ＝(－6) 2 －4 × 3 × 2＝12>0， ∴ 不等式－ 3 x 2 ＋ 6 x >2 的解集是 命题角度 3 　含参数的二次不等式 例3 　解关于 x 的不等式 ax 2 －( a ＋1) x ＋1＜0. 解答 反思与感悟 解含参数的不等式，可以按常规思路进行：先考虑开口方向，再考虑判别式的正负，最后考虑两根的大小关系，当遇到不确定因素时再讨论 . 跟踪训练 3 　解关于 x 的不等式 ( x － a )( x － a 2 ) ＜ 0. 解答 当 a ＜ 0 或 a ＞ 1 时，有 a ＜ a 2 ，此时，不等式的解集为 { x | a ＜ x ＜ a 2 } ； 当 0 ＜ a ＜ 1 时，有 a 2 ＜ a ，此时，不等式的解集为 { x | a 2 ＜ x ＜ a } ； 当 a ＝ 0 或 a ＝ 1 时，原不等式无解 . 综上，当 a ＜ 0 或 a ＞ 1 时，原不等式的解集为 { x | a ＜ x ＜ a 2 } ； 当 0 ＜ a ＜ 1 时，原不等式的解集为 { x | a 2 ＜ x ＜ a } ； 当 a ＝ 0 或 a ＝ 1 时，解集为 ∅ . 类型二　 “ 三个二次 ” 间对应关系的应用 例 4 　已知关于 x 的不等式 x 2 ＋ ax ＋ b <0 的解集为 { x |1 ＜ x ＜ 2} ，试求关于 x 的不等式 bx 2 ＋ ax ＋ 1>0 的解集 . 解答 由根与系数的关系，可得 ∴ 不等式 bx 2 ＋ ax ＋ 1>0 ，即 2 x 2 － 3 x ＋ 1>0. 题型探究 反思与感悟 给出一元二次不等式的解集，相当于知道了相应二次函数的开口及与 x 轴的交点，可以利用代入根或根与系数的关系求待定系数 . 跟踪训练 4 　已知不等式 ax 2 － bx ＋ 2<0 的解集为 { x |1< x <2} ，求 a ， b 的值 . 解答 方法一　由题设条件知 a >0 ，且 1,2 是方程 ax 2 － bx ＋ 2 ＝ 0 的两实根 . 方法二　把 x ＝ 1,2 分别代入方程 ax 2 － bx ＋ 2 ＝ 0 中， 课堂检测 1. 不等式 2 x 2 － x － 1>0 的 解集是 答案 解析 1 2 3 √ 4 ∵ 2 x 2 － x － 1 ＝ (2 x ＋ 1)( x － 1) ， ∴ 由2 x 2 － x －1>0，得(2 x ＋1)( x －1)>0， ∵ 2 x 2 － x － 1 ＝ (2 x ＋ 1)( x － 1) ， ∴ 由2 x 2 － x －1>0，得(2 x ＋1)( x －1)>0， 1 2 3 4 2. 不等式－ 6 x 2 － x ＋ 2 ≤ 0 的 解集是 √ 答案 解析 1 2 3 4 ∵ － 6 x 2 － x ＋ 2 ≤ 0 ， ∴ 6 x 2 ＋ x － 2 ≥ 0 ， ∴ (2 x － 1)(3 x ＋ 2) ≥ 0 ， ∴ x ≥ 或 x ≤ . 3. 若不等式 ax 2 ＋ 8 ax ＋ 21<0 的解集是 { x | － 7< x < － 1} ，那么 a 的值是 A.1 B.2 C.3 D.4 √ 答案 解析 1 2 3 4 由题意可知－ 7 和－ 1 为方程 ax 2 ＋ 8 ax ＋ 21 ＝ 0 的两个根 . ∴ － 7 × ( － 1) ＝ ，故 a ＝ 3. 4. 若不等式 ( a － 2) x 2 ＋ 2( a － 2) x － 4<0 的解集为 R ，求实数 a 的取值范围 . 当 a － 2 ＝ 0 ，即 a ＝ 2 时，原不等式为－ 4<0 ， 所以 a ＝ 2 时解集为 R . 1 2 3 4 解答 解得－ 2< a <2. 综上所述， a 的取值范围为 ( － 2,2]. 课堂小结 1. 解一元二次不等式的常见方法 (1)图象法：由一元二次方程、一元二次不等式及二次函数的关系，可以得到解一元二次不等式的一般步骤 ① 化不等式为标准形式： ax 2 ＋ bx ＋ c >0( a >0)或 ax 2 ＋ bx ＋ c <0( a >0)； ② 求方程 ax 2 ＋ bx ＋ c ＝0( a >0)的根，并画出对应函数 y ＝ ax 2 ＋ bx ＋ c 图 象 的简图； ③ 由图 象 得出不等式的解集. (2) 代数法：将所给不等式化为一般式后借助分解因式或配方求解 . 当 m < n 时，若 ( x － m )( x － n )>0，则可得 x > n 或 x < m ； 若( x － m )( x － n )<0，则可得 m < x < n . 有口诀如下：大于取两边，小于取中间. 2. 含参数的一元二次型的不等式 在解含参数的一元二次型的不等式时，往往要对参数进行分类讨论，为了做到分类 “ 不重不漏 ” ，讨论需从如下三个方面进行考虑： (1)关于不等式类型的讨论：二次项系数 a >0， a <0， a ＝0. (2)关于不等式对应的方程根的讨论：两根( Δ >0)，一根( Δ ＝0)，无根( Δ <0). (3)关于不等式对应的方程根的大小的讨论： x 1 > x 2 ， x 1 ＝ x 2 ， x 1 < x 2 .