高中数学选修2-2课件2_2_1_1 49页

2.2 　直接证明与间接证明 2.2.1 　综合法和分析法 第 1 课时　综　合　法 问题 引航 1. 综合法的定义是什么 ? 有什么特点 ? 2. 综合法的推证过程是什么 ? 综合法 定义 推证过程 特点 利用 _________ 和某些数 学 _____ 、 _____ 、 _____ 等 , 经过一系列的 _____ _____, 最后推导出所要证明的结论成立 , 这种证明方法叫做综合法 P ⇒ Q 1 → Q 1 ⇒ Q 2 → Q 2 ⇒ Q 3 →…→ Q n ⇒ Q (P 表示 _____ _____ 、已有的 _____ 、 _____ 、 _____ 等 ,Q 表 示 _______________). 顺推证法或由因导果法 已知条件 定义 公理 定理 推理 论证 已知 条件 定义 公理 定理 所要证明的结论 1. 判一判 ( 正确的打 “ √ ” , 错误的打 “ × ” ) (1) 综合法是执果索因的逆推证法 .( 　　 ) (2) 综合法证明的依据是三段论 .( 　　 ) (3) 综合法的推理过程实际上是寻找它的必要条件 .( 　　 ) 【 解析 】 (1) 错误 . 综合法是一种由因导果的顺推证法 . (2) 正确 . 综合法的逻辑依据是三段论 . (3) 正确 . 综合法从 “ 已知 ” 看 “ 可知 ” , 逐步推出 “ 未知 ” , 其逐步推理实际上是寻找它的必要条件 . 答案 : (1)× 　 (2)√ 　 (3)√ 2. 做一做 ( 请把正确的答案写在横线上 ) (1) 已知函数 f(x)=ax 2 +bx+c 是偶函数 , 则 b 的值为 　　　　 . (2) 在不等式 “ a 2 +b 2 ≥2ab ” 的证明中 : 因为 a 2 +b 2 -2ab=(a-b) 2 ≥0 所以 a 2 +b 2 ≥2ab, 该证明用的方法是 　　　　　 . (3) 角 A,B 为△ ABC 内角 ,A>B 是 sinA>sinB 的 　　　　 条件 ( 填 “ 充分 ”“ 必要 ”“ 充要 ” 或 “ 既不充分又不必要 ” ). 【 解析 】 (1) 由于 f(x) 为偶函数 . 所以 f(-x)=f(x). 所以 ax 2 -bx+c=ax 2 +bx+c, 所以 -bx=bx, 所以 b=0. 答案 : 0 (2) 由因导果 , 易知该证法为综合法 . 答案 : 综合法 (3) 角 A,B 为△ ABC 内角且 A>B, 所以 sinA>sinB, 由 sinA>sinB(A,B 均为△ ABC 的内角 ) 知 A>B. 答案 : 充要 【 要点探究 】 知识点 综合法 1. 综合法的基本思路 综合法的基本思路是 “ 由因导果 ” , 由已知走向求证 , 即从数学题的已知条件出发 , 经过逐步的逻辑推理 , 最后导出待证结论或需求的问题 . 2. 综合法的两个特点 (1) 用综合法证明不等式 , 证明步骤严谨 , 逐层递进 , 步步为营 , 条理清晰 , 形式简洁 , 宜于表达推理的思维轨迹 . (2) 因用综合法证明命题 “ 若 A 则 D ” 的思考过程可表示为 : 故要从 A 推理到 D, 由 A 推演出的中间结论未必唯一 , 如 B,B 1 ,B 2 等 , 可由 B,B 1 ,B 2 进一步推演出的中间结论则可能更多 , 如 C,C 1 ,C 2 ,C 3 ,C 4 等等 . 所以如何找到“切入点”和有效的推理途径是有效利用综合法证明问题的“瓶颈” . 【 知识拓展 】 综合法证明不等式时常用的不等式 (1)a 2 +b 2 ≥2ab( 当且仅当 a=b 时取等号 ). (2) (a,b∈R * , 当且仅当 a=b 时取等号 ). (3)a 2 ≥0,|a|≥0,(a-b) 2 ≥0. (4) ≥2(a,b 同号 ). ≤-2(a,b 异号 ). (5)a,b∈R,a 2 +b 2 ≥ (a+b) 2 . (6) 不等式的性质 定理 1 　对称性 :a>b ⇔ bc. 定理 3 　加法性质 : ⇒ a+c>b+c. 推论　 ⇒ a+c>b+d. 定理 4 　乘法性质 : ⇒ ac>bc. 推论 1 　 ⇒ ac>bd. 推论 2 　 ⇒ a n >b n . 定理 5 　开方性质 : 【 微思考 】 综合法的推理过程是合情推理还是演绎推理 ? 提示 : 综合法的推理过程是演绎推理 , 它的每一步推理都是严密的逻辑推理 , 得到的结论是正确的 . 【 即时练 】 1.(2014 · 福州高二检测 ) 下面的四个不等式 :①a 2 +b 2 +3≥ ab+ (a+b);②a(1-a)≤ ;③ ≥2;④(a 2 +b 2 ) · (c 2 +d 2 )≥(ac+bd) 2 , 其中恒成立的有 　　　　　 . 2. 求证 :a 2 +b 2 +c 2 ≥ab+ac+bc. 【解析】 1. 因为 a 2 +b 2 ≥2ab,a 2 +3≥2 a,b 2 +3≥2 b. 相加 得 2(a 2 +b 2 +3)≥2ab+2 (a+b), 所以 a 2 +b 2 +3≥ab+ (a+b), 所以①正确 . 由于 a(1-a)- =-a 2 +a- =- ≤0. 所以 ②正确 .(a 2 +b 2 ) · (c 2 +d 2 )=a 2 c 2 +a 2 d 2 +b 2 c 2 +b 2 d 2 ≥a 2 c 2 +2abcd+ b 2 d 2 =(ac+bd) 2 , 所以④正确 . 而 ≥ 2, 因为 a,b 的符号不确定 , 所以不一定成立 . 答案 : ①②④ 2. 因为 a 2 +b 2 ≥2ab,a 2 +c 2 ≥2ac,b 2 +c 2 ≥2bc. 将此三式相加可得 2(a 2 +b 2 +c 2 )≥2ab+2ac+2bc, 所以 a 2 +b 2 +c 2 ≥ab+ac+bc, 所以原式成立 . 【 题型示范 】 类型一 用综合法证明三角问题 【典例 1】 (1)(2014 · 马鞍山高二检测 ) 在△ ABC 中 , 已知 cosAcosB> sinAsinB, 则△ ABC 的形状一定是 　　　　 . (2) 在△ ABC 中 ,a,b,c 分别为内角 A,B,C 的对边 , 且 2asinA= (2b-c)sinB+(2c-b)sinC. ① 求证 :A 的大小为 60°; ② 若 sinB+sinC= . 证明△ ABC 为等边三角形 . 【 解题探究 】 1. 题 (1) 中△ ABC 的形状可从哪些角度判断 ? 2. 题 (2) 中① A 的大小怎样与已知条件联系起来 ?② 中怎样说明△ ABC 为等边三角形 ? 【 探究提示 】 1. 可以从边的角度或角的角度判断△ ABC 的形状 , 结合已知条件应从角的角度判断 . 2.① 中可利用正弦定理将角与边互化然后利用余弦定理求 A; ② 中由 sinB+sinC= 及隐含条件 A=60° 可求 B,C, 说明△ ABC 的形状 . 【 自主解答 】 (1) 因为 cosAcosB>sinAsinB, 所以 cosAcosB-sinAsinB =cos(A+B)>0. 因为 00,b+a-c>0,b-a-c<0,b+a+c>0. 所以 Δ=(b-a+c)(b+a-c)(b-a-c)(b+a+c)<0, 故方程 a 2 x 2 +(b 2 -a 2 -c 2 )x+c 2 =0 没有实数根 . 【补偿训练】 求证 :sin3α=3sinα-4sin 3 α. 【 解析 】 左边 =sin(2α+α) =sin2αcosα+cos2αsinα =2sinαcos 2 α+(1-2sin 2 α)sinα =2sinα(1-sin 2 α)+sinα-2sin 3 α =2sinα-2sin 3 α+sinα-2sin 3 α =3sinα-4sin 3 α= 右边 . 所以 sin3α=3sinα-4sin 3 α. 类型二 综合法在数列中的应用 【典例 2】 (1)(2014 · 温州高二检测 ) 已知方程 (x 2 -mx+2)(x 2 -nx+2)=0 的四个根组成一个首项为 的等比数列 , 则 |m-n|= 　　　　 . (2) 设数列 {a n } 的前 n 项和为 S n , 满足 (3-m)S n +2ma n =m+3(n∈N * ). 其中 m 为常数 , 且 m≠-3,m≠0. ① 求证 :{a n } 是等比数列 . ② 若数列 {a n } 的公比 q=f(m), 数列 {b n } 满足 b 1 =a 1 ,b n = f(b n-1 )(n∈N * ,n≥2), 求证 :{ } 为等差数列 . 【解题探究】 1. 题 (1) 中 m,n 的值怎样求解 ? 2. 题 (2)① 中证明等比数列的关键是什么 ?② 中怎样说明为 { } 等差数列 ? 【 探究提示 】 1. 利用根与系数的关系结合等比数列的性质可求 m,n. 2.① 中关键是利用 a n+1 与 S n 和 S n+1 之间的关系结合等比数列的 定义 ;② 中利用定义说明 , 即 常数 (n≥2). 【 自主解答 】 (1) 方程 (x 2 -mx+2)(x 2 -nx+2)=0 ⇔ x 2 -mx+2=0① 或 x 2 -nx+2=0②. 设方程①两根为 x 1 ,x 4 , 方程②两根为 x 2 ,x 3 . 则 x 1 · x 4 =2,x 1 +x 4 =m,x 2 · x 3 =2,x 2 +x 3 =n. 因为方程 (x 2 -mx+2) (x 2 -nx+2)=0 的四个根组成一个首项为 的等比数列 . 所以 x 1 ,x 2 ,x 3 ,x 4 分别为此数列的前四项且 x 1 = ,x 4 = =4, 公比 为 2, 所以 x 2 =1,x 3 =2, 所以 m=x 1 +x 4 = +4= ,n=x 2 +x 3 =1+2=3, 故 |m-n|= 答案 : (2)① 由 (3-m)S n +2ma n =m+3, 得 (3-m)S n+1 +2ma n+1 =m+3, 两式相减得 (3+m)a n+1 =2ma n , 因为 m≠0 且 m≠-3, 所以 所以 {a n } 是等比数列 . ② 因为 b 1 =a 1 =1,q=f(m)= 所以 n∈N * 且 n≥2 时 , 所以 { } 是以 1 为首项 , 为公差的等差数列 . 【 延伸探究 】 题 (2)① 中若 m=1 试求 {a n } 的前 n 项和 . 【 解析 】 若 m=1 则 由已知得 (3-1)S 1 +2a 1 =4, 所以 a 1 =1, 即数列 {a n } 是以 1 为首项为 公比的等比数列 . =2-2 1-n . 【 方法技巧 】 综合法证明数列问题的依据 【 变式训练 】 在数列 {a n } 中 ,a 1 =1,a n+1 =2a n +2 n . (1) 设 b n = , 求证数列 {b n } 是等差数列 . (2) 求数列 {a n } 的前 n 项和 S n . 【 解题指南 】 用综合法证明有关数列的问题 , 同时要注意理解等差数列的含义 . 【 解析 】 (1) 因为 a n+1 =2a n +2 n , 所以 因为 b n = 所以 b n+1 = =b n +1, 所以数列 {b n } 是等差数列 , 其中 b 1 =1, 公差为 1, 所以 b n =n,a n =n · 2 n-1 . (2) 因为 S n =1×2 0 +2×2 1 + … +(n-1) · 2 n-2 +n · 2 n-1 , 所以 2S n =1×2 1 +2×2 2 + … +(n-1) · 2 n-1 +n · 2 n , 两式相减得 S n =n · 2 n -1×2 0 -1×2 1 - … -1×2 n-1 =n · 2 n -2 n +1=2 n (n-1)+1. 【 补偿训练 】 在等比数列 {a n } 中 , 首项 a 1 >1, 公比 q>0,n∈N, 且 n>1. 求证 lga n+1 lga n-1 <(lga n ) 2 . 【 证明 】 因为 {a n } 为等比数列 , 所以 =a n-1 · a n+1 (n>1). 又因为 a 1 >1, 公比 q>0,n∈N, 且 n>1, 所以 lga n-1 lga n+1 < 所以 lga n+1 lga n-1 <(lga n ) 2 . 【 规范解答 】 综合法在几何证明中的应用 【 典例 】 (12 分 ) 如图 , 在四棱锥 O-ABCD 中 , 底面 ABCD 为菱形 ,OA⊥ 平面 ABCD,E 为 OA 的 中点 ,F 为 BC 的中点 , 求证 : (1) 平面 BDO⊥ 平面 ACO. (2)EF∥ 平面 OCD. 【 审题 】 抓信息 , 找思路 【 解题 】 明步骤 , 得高分 【 点题 】 警误区 , 促提升 失分点 1: 证明时忽略①处条件的运用导致无法证明面面垂直 , 考试时最多得 2 分 . 失分点 2: 证明时不能正确地构造出平行四边形 , 从而无法得到线线平行如本题中②则会导致第 (2) 问无法证出 , 实际考试中最多得 8 分 . 【 悟题 】 提措施 , 导方向 1. 关注题中的条件 证明时要注意应用题中的条件 , 注意隐含条件的挖掘 , 如果漏掉某一条件或对某一条件挖掘不深则会导致题目无法证明 , 如本例中 ABCD 为菱形的条件 . 2. 注重定理的应用 几何证明的前提是熟练地应用各个判定定理及性质定理 , 注意各个定理的应用格式 , 掌握常见的辅助线的作法 , 寻找好定理所需的条件 , 如本例中构造平行四边形说明线线平行 . 【 类题试解 】 如图 , 正方形 ABCD 和四边形 ACEF 所在的平面互 相垂直 ,CE⊥AC,EF∥AC,AB= ,CE=EF=1. (1) 求证 :AF∥ 平面 BDE. (2) 求证 :CF⊥ 平面 BDE. 【 证明 】 (1) 设 AC 与 BD 的交点是 G. 因为 EF∥AG, 且 EF=1, AG= AC=1, 所以四边形 AGEF 为平行四边形 , 所以 AF∥EG, 因为 EG ⊂ 平面 BDE,AF ⊄ 平面 BDE, 所以 AF∥ 平面 BDE. (2) 连接 FG, 因为 EF∥CG,EF=CG=1, 所以四边形 CEFG 为平行四边形 , 又因为 CE=EF=1, 所以四边形 CEFG 为菱形 , 所以 EG⊥CF. 在正方形 ABCD 中 ,AC⊥BD. 因为正方形 ABCD 和四边形 ACEF 所在的平面互相垂直 , 所以 BD⊥ 平面 CEFG, 所以 BD⊥CF, 又因为 EG∩BD=G, 所以 CF⊥ 平面 BDE.