数学卷·2018届宁夏石嘴山三中高二上学期第二次月考数学试卷（理科）+（解析版） 20页

‎2016-2017学年宁夏石嘴山三中高二（上）第二次月考数学试卷（理科）‎ ‎　‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．命题“若ab=0，则a=0或b=0”的否命题是（　　）‎ A．若ab=0，则a≠0或b≠0 B．若ab=0，则a≠0且b≠0‎ C．若ab≠0，则a≠0或b≠0 D．若ab≠0，则a≠0且b≠0‎ ‎2．抛物线的焦点坐标是（　　）‎ A．（0，﹣4） B．（0，﹣2） C． D．‎ ‎3．若sinα=，α是第二象限的角，则cos（α﹣）=（　　）‎ A．﹣ B．﹣ C． D．‎ ‎4．已知点P（x，y）在直线x+2y=1上运动，则2x+4y的最小值是（　　）‎ A． B．2 C．2 D．4‎ ‎5．下列说法中，正确的是（　　）‎ A．命题“若x≠2或y≠7，则x+y≠9”的逆命题为真命题 B．命题“若x2=4，则x=2”的否命题是“若x2=4，则x≠2”‎ C．命题“若x2＜1，则﹣1＜x＜1”的逆否命题是“若x＜﹣1或x＞1，则x2＞1”‎ D．若命题p：∀x∈R，x2﹣x+1＞0，q：∃x0∈（0，+∞），sinx0＞1，则（￢p）∨q为真命题 ‎6．与曲线=1共焦点，而与曲线=1共渐近线的双曲线方程为（　　）‎ A． =1 B． =1 C． =1 D． =1‎ ‎7．设数列{an}的前n项和Sn，且an=﹣2n+1，则数列的前11项和为（　　）‎ A．﹣45 B．﹣50 C．﹣55 D．﹣66‎ ‎8．已知双曲线﹣=1（m，n＞0）的离心率为3，有一个焦点与抛物线的焦点相同，那么双曲线的渐近线方程为（　　）‎ A．2x±y=0 B．x±2y=0 C．x±2y=0 D．2x±y=0‎ ‎9．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，向量=（sinA，b+c），=（a﹣c，sinC﹣sinB），满足⊥，则角B=（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎10．一个动圆与定圆F：（x+2）2+y2=1相内切，且与定直线l：x=3相切，则此动圆的圆心M的轨迹方程是（　　）‎ A．y2=8x B．y2=4x C．y2=﹣4x D．y2=﹣8x ‎11．直线y=x+2与曲线=1的交点个数为（　　）‎ A．0 B．1 C．2 D．3‎ ‎12．已知抛物线C：y2=8x的焦点为F，点M（﹣2，2），过点F且斜率为k的直线与C交于A，B两点，若，则k=（　　）‎ A． B． C． D．2‎ ‎　‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．‎ ‎13．若点（x，y）位于曲线y=|x﹣1|与y=2所围成的封闭区域，则2x﹣y的最小值为　　．‎ ‎14．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y2=8x的准线l的方程是　　；若双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的两条渐近线与直线l交于M，N两点，且△MON的面积为8，则此双曲线的离心率为　　．‎ ‎15．已知圆E：（x+1）2+y2=16，点F（1，0），P是圆E上的任意一点，线段PF的垂直平分线和半径PE相交于点Q，则动点Q的轨迹方程为　　．‎ ‎16．对于曲线x2﹣xy+y2=1有以下判断，其中正确的有　　‎ ‎（填上相应的序号即可）．‎ ‎（1）它表示圆；‎ ‎（2）它关于原点对称；‎ ‎（3）它关于直线y=x对称；‎ ‎（4）|x|≤1，|y|≤1．‎ ‎　‎ 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．‎ ‎17．已知实数p：x2﹣4x﹣12≤0，q：（x﹣m）（x﹣m﹣1）≤0‎ ‎（Ⅰ）若m=2，那么p是q的什么条件；‎ ‎（Ⅱ）若q是p的充分不必要条件，求实数m的取值范围．‎ ‎18．已知动圆过定点A（4，0），且在y轴上截得的弦MN的长为8．求动圆圆心的轨迹C的方程．‎ ‎19．已知f（x）=4cosxsin（x﹣），x∈R．‎ ‎（I）求f（x）的最小正周期和单调递增区间；‎ ‎（II）在△ABC中，BC=4，sinC=2sinB，若f（x）的最大值为f（A），求△ABC的面积．‎ ‎20．已知命题p：存在x∈[1，4]使得x2﹣4x+a=0成立，命题q：对于任意x∈R，函数f（x）=lg（x2﹣ax+4）恒有意义．‎ ‎（1）若p是真命题，求实数a的取值范围；‎ ‎（2）若p∨q是假命题，求实数a的取值范围．‎ ‎21．设数列{an}的前n项和为Sn．已知a1=1， =an+1﹣n2﹣n﹣，n∈N*．‎ ‎（1）求a2的值；‎ ‎（2）求数列{an}的通项公式；‎ ‎（3）证明：对一切正整数n有++…+＜．‎ ‎22．已知椭圆+=1（a＞b＞0）的右焦点为F，M为上顶点，O为坐标原点，若△OMF的面积为，且椭圆的离心率为．‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）是否存在直线l交椭圆于P，Q两点，且使点F为△PQM的垂心？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．‎ ‎　‎ ‎2016-2017学年宁夏石嘴山三中高二（上）第二次月考数学试卷（理科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．命题“若ab=0，则a=0或b=0”的否命题是（　　）‎ A．若ab=0，则a≠0或b≠0 B．若ab=0，则a≠0且b≠0‎ C．若ab≠0，则a≠0或b≠0 D．若ab≠0，则a≠0且b≠0‎ ‎【考点】四种命题间的逆否关系．‎ ‎【分析】根据否命题的定义，同时否定原命题的条件和结论即可否命题．‎ ‎【解答】解：根据否命题的定义可知：命题“若ab=0，则a=0或b=0”的否命题是：‎ 若ab≠0，则a≠0且b≠0，‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎2．抛物线的焦点坐标是（　　）‎ A．（0，﹣4） B．（0，﹣2） C． D．‎ ‎【考点】抛物线的简单性质．‎ ‎【分析】把抛物线的方程化为标准方程，求出 p值，再根据开口方向求得焦点坐标．‎ ‎【解答】解：抛物线的标准方程为 x2=﹣8y，p=4，∴=2，开口向下，‎ 故焦点坐标为 （0，﹣2），‎ 故选B．‎ ‎　‎ ‎3．若sinα=，α是第二象限的角，则cos（α﹣）=（　　）‎ A．﹣ B．﹣ C． D．‎ ‎【考点】两角和与差的正弦函数；同角三角函数间的基本关系．‎ ‎【分析】由sinα的值及α的范围，利用同角三角函数间的基本关系求出cosα的值，然后把所求式子利用两角和与差的余弦函数公式及特殊角的三角函数值化简后，把sinα和cosα的值代入即可求出值．‎ ‎【解答】解：∵sinα=，α是第二象限的角，‎ ‎∴cosα=﹣=﹣，‎ 则cos（）‎ ‎=（cosαcos+sinαsin）‎ ‎=cosα+sinα ‎=﹣+=﹣．‎ 故选A ‎　‎ ‎4．已知点P（x，y）在直线x+2y=1上运动，则2x+4y的最小值是（　　）‎ A． B．2 C．2 D．4‎ ‎【考点】基本不等式．‎ ‎【分析】先将2x+4y变形为2x+22y，再利用基本不等式，求出函数的最小值．‎ ‎【解答】解：因为x+2y=1，‎ 所以2x+4y=2x+22y≥，‎ 当且仅当2x=22y即x=2y=时取等号，‎ 故选C．‎ ‎　‎ ‎5．下列说法中，正确的是（　　）‎ A．命题“若x≠2或y≠7，则x+y≠9”的逆命题为真命题 B．命题“若x2=4，则x=2”的否命题是“若x2=4，则x≠2”‎ C．命题“若x2＜1，则﹣1＜x＜1”的逆否命题是“若x＜﹣1或x＞1，则x2＞1”‎ D．若命题p：∀x∈R，x2﹣x+1＞0，q：∃x0∈（0，+∞），sinx0＞1，则（￢p）∨q为真命题 ‎【考点】四种命题．‎ ‎【分析】A．根据逆否命题的定义进行判断．‎ B．根据否命题的定义进行判断．‎ C．根据逆否命题的定义进行判断．‎ D．根据复合命题的真假关系进行判断．‎ ‎【解答】解：A．命题“若x≠2或y≠7，则x+y≠9”的否命题为，“若x=2且y=7，则x+y=9”，为真命题，则命题的逆命题为真命题正确，故A正确，‎ B．命题“若x2=4，则x=2”的否命题是“若x2≠4，则x≠2”，故B错误，‎ C．命题“若x2＜1，则﹣1＜x＜1”的逆否命题是“若x≤﹣1或x≥1，则x2≥1”，故C错误，‎ D．∵x2﹣x+1=（x﹣）2+＞0恒成立，∴命题p为真命题．，则￢p为假命题，‎ ‎∵sinx∈[﹣1，1]∃，∴∃x0∈（0，+∞），sinx0＞1为假命题．，则p是假命题，则（￢p）∨q为假命题．故D错误，‎ 故选：A ‎　‎ ‎6．与曲线=1共焦点，而与曲线=1共渐近线的双曲线方程为（　　）‎ A． =1 B． =1 C． =1 D． =1‎ ‎【考点】双曲线的标准方程．‎ ‎【分析】根据椭圆方程先求出焦点坐标，再由渐近线相同设出双曲线方程为 ‎，根据c值列出方程求出λ的值即可．‎ ‎【解答】解：由题意得，曲线=1是焦点在y轴上的椭圆，且c===5，‎ 所以双曲线焦点的坐标是（0、5）、（0，﹣5），‎ 因为双曲线与曲线=1共渐近线，所以设双曲线方程为，‎ 即，则﹣64λ﹣36λ=25，解得λ=，‎ 所以双曲线方程为，‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎7．设数列{an}的前n项和Sn，且an=﹣2n+1，则数列的前11项和为（　　）‎ A．﹣45 B．﹣50 C．﹣55 D．﹣66‎ ‎【考点】等差数列的前n项和．‎ ‎【分析】首先根据通项公式可以判断出数列{an}是首项为﹣1，以﹣2为公差的等差数列，进而由等差数列的前n项和公式求出sn，再得出=﹣n，即可求出结果．‎ ‎【解答】解：∵an=﹣2n+1‎ ‎∴数列{an}是首项为﹣1，以﹣2为公差的等差数列，‎ ‎∴sn=‎ ‎∴==﹣n ‎∴数列是以﹣1为首项和公差的等差数列 ‎∴数列的前11项和为﹣66．‎ 故选D．‎ ‎　‎ ‎8．已知双曲线﹣=1（m，n＞0）的离心率为3，有一个焦点与抛物线的焦点相同，那么双曲线的渐近线方程为（　　）‎ A．2x±y=0 B．x±2y=0 C．x±2y=0 D．2x±y=0‎ ‎【考点】双曲线的简单性质．‎ ‎【分析】由已知条件求出双曲线的一个焦点为（0，3），由双曲线的离心率为3，求出m=1，进而求出n，由此能求出双曲线的渐近线方程．‎ ‎【解答】解：∵抛物线，即x2=12y的焦点为（0，3），‎ ‎∴双曲线的一个焦点为（0，3），‎ ‎∴双曲线﹣=1（m，n＞0）的离心率为3，‎ ‎∴=3，‎ 解得m=1，‎ ‎∴n=2‎ ‎∴双曲线的渐近线方程为2x±y=0．‎ 故选A．‎ ‎　‎ ‎9．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，向量=（sinA，b+c），=（a﹣c，sinC﹣sinB），满足⊥，则角B=（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】三角函数的恒等变换及化简求值；数量积的坐标表达式．‎ ‎【分析】由题意可得 =0，应用正弦定理、余弦定理 可得cosB==，又 0＜B＜π，可得 B=．‎ ‎【解答】解：由题意可得 =（a﹣c）sinA+（b+c）（sinC﹣sinB）=2r[sin2A﹣sinAsinC]‎ ‎+2r[sinB sinC﹣sin2B+sin2C﹣sinCsinB]=2r[sin2A+sin2C﹣sin2B﹣sinAsinC]=0．‎ ‎∴sin2A+sin2C﹣sin2B=sinAsinC，∴a2+c2﹣b2=ac．‎ ‎∴cosB==，又 0＜B＜π，B=，‎ 故选 B．‎ ‎　‎ ‎10．一个动圆与定圆F：（x+2）2+y2=1相内切，且与定直线l：x=3相切，则此动圆的圆心M的轨迹方程是（　　）‎ A．y2=8x B．y2=4x C．y2=﹣4x D．y2=﹣8x ‎【考点】轨迹方程．‎ ‎【分析】先利用圆与圆的位置关系，直线与圆的位置关系找到动点M的几何条件，再根据抛物线的定义确定动点M的轨迹，最后利用抛物线的标准方程写出轨迹方程．‎ ‎【解答】解：设动圆M的半径为r，依题意：|MF|=r﹣1，点M到定直线x=2的距离为d=r﹣1‎ ‎∴动点M到定点F（﹣2，0）的距离等于到定直线x=2的距离 ‎∴M的轨迹为以F为焦点，x=2为准线的抛物线 ‎∴此动圆的圆心M的轨迹方程是y2=﹣8x 故选：D．‎ ‎　‎ ‎11．直线y=x+2与曲线=1的交点个数为（　　）‎ A．0 B．1 C．2 D．3‎ ‎【考点】椭圆的简单性质；双曲线的简单性质．‎ ‎【分析】作出曲线=1的图象，利用y=x+2是y2+x2‎ ‎=2的切线，渐近线方程为y=±x，即可得出结论．‎ ‎【解答】解：当x≥0时，曲线方程为，图形为双曲线在y轴的右半部分；‎ 当x＜0时，曲线方程为y2+x2=2，图形为圆在y轴的左半部分；如图所示，‎ ‎∵y=x+2是y2+x2=2的切线，渐近线方程为y=±x ‎∴直线y=x+2与曲线=1的交点个数为1．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎12．已知抛物线C：y2=8x的焦点为F，点M（﹣2，2），过点F且斜率为k的直线与C交于A，B两点，若，则k=（　　）‎ A． B． C． D．2‎ ‎【考点】抛物线的简单性质；平面向量数量积的运算．‎ ‎【分析】斜率k存在，设直线AB为y=k（x﹣2），代入抛物线方程，利用=（x1+2，y1﹣2）•（x2+2，y2﹣2）=0，即可求出k的值．‎ ‎【解答】解：由抛物线C：y2=8x得焦点（2，0），‎ 由题意可知：斜率k存在，设直线AB为y=k（x﹣2），‎ 代入抛物线方程，得到k2x2﹣（4k2+8）x+4k2=0，△＞0，‎ 设A（x1，y1），B（x2，y2）．‎ ‎∴x1+x2=4+，x1x2=4．‎ ‎∴y1+y2=，y1y2=﹣16，‎ 又=0，‎ ‎∴=（x1+2，y1﹣2）•（x2+2，y2﹣2）==0‎ ‎∴k=2．‎ 故选：D．‎ ‎　‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．‎ ‎13．若点（x，y）位于曲线y=|x﹣1|与y=2所围成的封闭区域，则2x﹣y的最小值为　﹣4　．‎ ‎【考点】简单线性规划．‎ ‎【分析】先根据曲线y=|x﹣1|与y=2所围成的封闭区域画出区域D，再利用线性规划的方法求出目标函数2x﹣y的最大值即可．‎ ‎【解答】解：如图，封闭区域为三角形．‎ 令|x﹣1|=2，解得x1=﹣1，x2=3，‎ 所以三角形三个顶点坐标分别为（1，0，），（﹣1，2），（3，2），‎ 把z=2x﹣y变形为y=2x﹣z，则直线经过点（﹣1，2）时z取得最小值；‎ 所以zmin=2×（﹣1）﹣2=﹣4，‎ 故2x﹣y在点（﹣1，2）取最小值﹣4．‎ 故答案为：﹣4．‎ ‎　‎ ‎14．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y2=8x的准线l的方程是　x=﹣2　‎ ‎；若双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的两条渐近线与直线l交于M，N两点，且△MON的面积为8，则此双曲线的离心率为　　．‎ ‎【考点】双曲线的简单性质；抛物线的简单性质．‎ ‎【分析】根据抛物线的准线方程进行求解即可．根据准线和双曲线的渐近线的交点坐标，结合三角形的面积公式进行求解即可．‎ ‎【解答】解：由y2=8x得抛物线的焦点在x轴，且2p=8，则p=4， =2，‎ 即抛物线的准线方程为x=﹣2，‎ 双曲线的渐近线方程为y=±x，‎ 当x=﹣2时，y=±，‎ 即M（﹣2，），N（﹣2，﹣），则KN=，‎ ‎∵△MON的面积为8，‎ ‎∴S=×2×==8，‎ 即b=2a，则c2=a2+b2=a2+4a2=5a2，‎ 即c=a，‎ 则离心率e==，‎ 故答案为：x=﹣2，‎ ‎　‎ ‎15．已知圆E：（x+1）2+y2=16，点F（1，0），P是圆E上的任意一点，线段PF的垂直平分线和半径PE相交于点Q，则动点Q的轨迹方程为　=1　．‎ ‎【考点】轨迹方程．‎ ‎【分析】连结QF，根据题意，|QP|=|QF|，则|QE|+|QF|=|QE|+|QP|=4＞|EF|，故Q的轨迹Γ是以E，F为焦点，长轴长为4的椭圆，从而可求动点Q的轨迹Γ的方程．‎ ‎【解答】解：连结QF，根据题意，|QP|=|QF|，‎ 则|QE|+|QF|=|QE|+|QP|=4＞|EF|，‎ 故Q的轨迹Γ是以E，F为焦点，长轴长为4的椭圆，a=2，c=1，‎ 所以b=，‎ 所以点Q的轨迹方程为=1．‎ 故答案为： =1．‎ ‎　‎ ‎16．对于曲线x2﹣xy+y2=1有以下判断，其中正确的有　（2）（3）　（填上相应的序号即可）．‎ ‎（1）它表示圆；‎ ‎（2）它关于原点对称；‎ ‎（3）它关于直线y=x对称；‎ ‎（4）|x|≤1，|y|≤1．‎ ‎【考点】轨迹方程．‎ ‎【分析】（1）曲线x2﹣xy+y2=1中含有xy项，方程不表示圆；（2）将x换成﹣x，且将y换成﹣y，方程不变；（3）将x，y互换，方程不变；（4）取x=时，求出y=，不满足|y|≤1．‎ ‎【解答】解：（1）曲线x2﹣xy+y2=1中含有xy项，方程不表示圆；‎ ‎（2）在原方程中，同时将x换成﹣x，且将y换成﹣y，方程不变，就说明曲线关于原点对称；‎ ‎（3）在原方程中，将x，y互换，方程不变，因此曲线关于直线y=x对称；‎ ‎（4）x=时，y2﹣﹣=0，所以y=，不满足|y|≤1，即（4）不正确．‎ 故答案为：（2）（3）．‎ ‎　‎ 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．‎ ‎17．已知实数p：x2﹣4x﹣12≤0，q：（x﹣m）（x﹣m﹣1）≤0‎ ‎（Ⅰ）若m=2，那么p是q的什么条件；‎ ‎（Ⅱ）若q是p的充分不必要条件，求实数m的取值范围．‎ ‎【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．‎ ‎【分析】（Ⅰ）分别解出关于p，q的不等式，将m=2代入q，结合集合的包含关系判断p，q的充分必要性即可；‎ ‎（Ⅱ）根据集合的包含关系解出关于m的不等式组，从而求出m的范围．‎ ‎【解答】解：实数p：x2﹣4x﹣12≤0，解得：﹣2≤x≤6，‎ q：（x﹣m）（x﹣m﹣1）≤0，解得：m≤x≤m+1，‎ 令A=[﹣2，6]，B=[m，m+1]，‎ ‎（Ⅰ）若m=2，则B=[2，3]，‎ B⊊A，那么p是q的必要不充分条件；‎ ‎（Ⅱ）若q是p的充分不必要条件，‎ 即B⊊A，则，解得：﹣2≤m≤5（等号不同时成立），‎ ‎∴m∈[﹣2，5）或m∈（﹣2，5]．‎ ‎　‎ ‎18．已知动圆过定点A（4，0），且在y轴上截得的弦MN的长为8．求动圆圆心的轨迹C的方程．‎ ‎【考点】轨迹方程．‎ ‎【分析】设圆心C（x，y），过点C作CE⊥y 轴，垂足为E，利用垂径定理可得|ME|=4，又|CA|2=|CM|2=|ME|2+|EC|2，利用两点间的距离公式即可得出．，‎ ‎【解答】解：设圆心C（x，y），过点C作CE⊥y 轴，垂足为E，则|ME|=4，‎ ‎∴|CA|2=|CM|2=|ME|2+|EC|2，‎ ‎∴（x﹣4）2+y2=42+x2，化为y2=8x．‎ ‎　‎ ‎19．已知f（x）=4cosxsin（x﹣），x∈R．‎ ‎（I）求f（x）的最小正周期和单调递增区间；‎ ‎（II）在△ABC中，BC=4，sinC=2sinB，若f（x）的最大值为f（A），求△ABC的面积．‎ ‎【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象．‎ ‎【分析】（Ⅰ）由两角差的正弦公式、二倍角公式及辅助角公式化简，由此得到最小正周期和单调递增区间．‎ ‎（Ⅱ）由正弦定理得c=2b，由最值得A=，由余弦定理得b=4，所以由三角形面积公式得到面积．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）=4cosxsin（x﹣）=sin2x﹣cos2x﹣1=2sin（2x﹣）﹣1，x∈R．‎ ‎∴f（x）的最小正周期T=π．‎ 当﹣+2kπ≤2x﹣≤+2kπ，即﹣+2kπ≤x≤+2kπ，（k∈Z），‎ ‎∴f（x）的单调递增区间是[﹣+2kπ， +2kπ]，‎ ‎（Ⅱ）∵sinC=2sinB，由正弦定理得c=2b，‎ ‎∵f（x）的最大值为f（A），‎ 即2A﹣=，‎ ‎∴A=，‎ 在△ABC中，由余弦定理得b2+4b2﹣4b2cosA=16，‎ ‎∴b=4，‎ ‎∴△ABC的面积S=bcsinA=．‎ ‎　‎ ‎20．已知命题p：存在x∈[1，4]使得x2﹣4x+a=0成立，命题q：对于任意x∈R，函数f（x）=lg（x2﹣ax+4）恒有意义．‎ ‎（1）若p是真命题，求实数a的取值范围；‎ ‎（2）若p∨q是假命题，求实数a的取值范围．‎ ‎【考点】复合命题的真假．‎ ‎【分析】（1）根据函数的根的存在性定理分两类存在一个x∈[1，4]满足条件和存在两个x∈[1，4]满足条件，求出p是真命求实数a的取值范围 ‎（2）本题考查的知识点是复合命题的真假判定，解决的办法是先求出简单命题为真命题的参数范围，再根据真值表进行判断．‎ ‎【解答】解：（1）设g（x）=x2﹣4x+a，对称轴为x=2‎ 若存在一个x∈[1，4]满足条件，则g（1）＜0，g（4）≥0，得0≤a＜3，…‎ 若存在两个x∈[1，4]满足条件，则g（1）≥0，g（2）≤0，得3≤a≤4，‎ 故p是真命题时实数a的取值范围为0≤a≤4…‎ ‎（2）由题意知p，q都为假命题，‎ 若p为假命题，则a＜0或a＞4…‎ 若命题q为真命题即对于任意x∈R，函数f（x）=lg（x2﹣ax+4）恒有意义 所以x2﹣ax+4＞0恒成立 所以△=a2﹣16＜0得﹣4＜a＜4‎ 所以q为假命题时a≤﹣4或a≥4…‎ 故满足条件的实数a的取值范围为a≤﹣4或a＞4…‎ ‎　‎ ‎21．设数列{an}的前n项和为Sn．已知a1=1， =an+1﹣n2﹣n﹣，n∈N*．‎ ‎（1）求a2的值；‎ ‎（2）求数列{an}的通项公式；‎ ‎（3）证明：对一切正整数n有++…+＜．‎ ‎【考点】数列的求和；数列递推式．‎ ‎【分析】（1）利用=an+1﹣n2﹣n﹣，代入计算，即可求a2的值；‎ ‎（2）再写一式，两式相减，即可求数列{an}的通项公式；‎ ‎（3）分类讨论，证明当n≥3时，n2＞（n﹣1）•（n+1），可得＜‎ ‎，利用裂项法求和，可得结论．‎ ‎【解答】（1）解：∵=an+1﹣n2﹣n﹣，n∈N．‎ ‎∴当n=1时，2a1=2S1=a2﹣﹣1﹣=a2﹣2．‎ 又a1=1，∴a2=4．‎ ‎（2）解：∵=an+1﹣n2﹣n﹣，n∈N．‎ ‎∴2Sn=nan+1﹣n3﹣n2﹣n ‎=nan+1﹣，①‎ ‎∴当n≥2时，2Sn﹣1=（n﹣1）an﹣，②‎ 由①﹣②，得2Sn﹣2Sn﹣1=nan+1﹣（n﹣1）an﹣n（n+1），‎ ‎∵2an=2Sn﹣2Sn﹣1，∴2an=nan+1﹣（n﹣1）an﹣n（n+1），‎ ‎∴﹣=1，∴数列{an}是以首项为1，公差为1的等差数列．‎ ‎∴=1+1×（n﹣1）=n，∴an=n2（n≥2），‎ 当n=1时，上式显然成立．∴an=n2，n∈N*．‎ ‎（3）证明：由（2）知，an=n2，n∈N*，‎ ‎①当n=1时， =1＜，∴原不等式成立．‎ ‎②当n=2时， +=1+＜，∴原不等式成立．‎ ‎③当n≥3时，∵n2＞（n﹣1）•（n+1），‎ ‎∴＜，‎ ‎∴++…+＜1+++…++‎ ‎=1+（﹣+﹣+﹣+…+﹣+﹣）‎ ‎=1+（﹣﹣）＜，‎ ‎∴当n≥3时，∴原不等式亦成立．‎ 综上，对一切正整数n，有++…+＜．‎ ‎　‎ ‎22．已知椭圆+=1（a＞b＞0）的右焦点为F，M为上顶点，O为坐标原点，若△OMF的面积为，且椭圆的离心率为．‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）是否存在直线l交椭圆于P，Q两点，且使点F为△PQM的垂心？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．‎ ‎【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．‎ ‎【分析】（1）由题意得，由此能求出椭圆方程．‎ ‎（2）假设存在直线l交椭圆于P，Q两点，且F为△PQM的垂心，设P（x1，y1），Q（x2，y2），由M（0，1），F（1，0），得kPQ=1．设直线l的方程为y=x+m，由得3x2+4mx+2m2﹣2=0．由此利用根的判别式、韦达定理、向量知识，结合已知条件能求出直线l的方程．‎ ‎【解答】解：（1）∵椭圆+=1（a＞b＞0）的右焦点为F，M为上顶点，O为坐标原点，‎ ‎△OMF的面积为，且椭圆的离心率为，‎ 由题意得，‎ 解得b=1，，‎ 故椭圆方程为．‎ ‎（2）假设存在直线l交椭圆于P，Q两点，且F为△PQM的垂心，‎ 设P（x1，y1），Q（x2，y2），‎ 因为M（0，1），F（1，0），故kPQ=1．‎ 于是设直线l的方程为y=x+m，‎ 由得3x2+4mx+2m2﹣2=0．‎ 由△＞0，得m2＜3，且，．‎ 由题意应有，‎ 又，‎ 故x1（x2﹣1）+y2（y1﹣1）=0，得x1（x2﹣1）+（x2+m）（x1+m﹣1）=0．‎ 即．‎ 整理得．‎ 解得或m=1．经检验，当m=1时，△PQM不存在，故舍去m=1．‎ 当时，所求直线l存在，且直线l的方程为．‎ ‎　‎