数学理卷·2019届福建省闽侯第四中学高二上学期期中考试（2017-11） 9页

福建省闽侯第四中学 2017-2018 学年高二上学期期中 数学试题（理科）‎ 第Ⅰ卷（共60分）‎ 一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．若，则下列不等式中错误的是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎2．命题“对任意的，”的否定是（ ）‎ A．不存在， B．存在， ‎ C．存在， D．对任意的，‎ ‎3．已知：，那么命题的一个必要不充分条件是（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎4．已知等比数列单调递减，满足，，则数列的公比（ ）‎ A． B． C． D．3‎ ‎5．《九章算术》有这样一个问题：今有男子善走，日增等里，九日走一千二百六十里，第一日、第四日、第七日所走之和为三百九十里，问第八日所走里数为（ ）‎ A．150 B．160 C．170 D．180‎ ‎6．已知实数 满足：，则的最小值为（ ）‎ A．6 B．4 C． D．‎ ‎7．如图，从高为的气球(A)上测量待建规划铁桥(BC)的长，如果测得桥头(B)的俯角是，桥头(C) 的俯角是，则桥BC的长为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎8．计算机是将信息转换成二进制进行处理的. 二进制即“逢二进一”，如表示二进制数，将它转换成十进制形式是，那么将二进制数转换成十进制形式是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎9．设数列的通项公式为，若数列是单调递增数列， 则实数的取值范围为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎10．若函数的图象上存在点满足约束条件，则实数的最大值为（ ）‎ A．2 B． C．1 D．‎ ‎11．设 ，，，若，，则的最大值为（ ）‎ A．2 B． C．1 D．‎ ‎12．跳格游戏：如图，人从格子外只能进入第1个格子，在格子中每次可向前跳1格或2格，那么人从格子外跳到第8个格子的方法种数为（ ）‎ A．8种 B．13种 C．21种 D．34种 第Ⅱ卷（共60分）‎ 二、填空题（每题4分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13．已知两个球的表面积之比为，则这两个球的半径之比为 .‎ ‎14．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为 .‎ ‎15．已知是椭圆和双曲线的公共焦点，是它们的一个公共点，且，椭圆的离心率为，双曲线的离心率，则 . ‎ ‎16．给出以下说法：①不共面的四点中，任意三点不共线；‎ ‎②有三个不同公共点的两个平面重合；‎ ‎③没有公共点的两条直线是异面直线；‎ ‎④分别和两条异面直线都相交的两条直线异面；‎ ‎⑤一条直线和两条异面直线都相交，则它们可以确定两个平面． ‎ 其中正确结论的序号是 . ‎ 三、解答题 （本大题共6题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） ‎ ‎17．设条件：，条件：，若是的必要不充分条件，求实数 a 的取值范围.‎ ‎18．如图，是正方形， 是正方形的中心，底面，是的中点，求证：‎ ‎（1）平面；‎ ‎（2）平面.‎ ‎19．已知圆心为 的圆过点和，且圆心在直线：上.‎ ‎（1）求圆心为的圆的标准方程；‎ ‎（2）过点 作圆的切线，求切线方程.‎ ‎20．已知坐标平面上点与两个定点，的距离之比等于5.‎ ‎（1）求点的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形；‎ ‎（2）记（1）中的轨迹为，过点的直线被所截得的线段的长为 8，求直线的方程.‎ ‎21．如图，在几何体中，平面，平面，，，又，．‎ ‎（1）求 与平面所成角的正弦值；‎ ‎（2）求平面与平面所成的锐二面角的余弦值.‎ ‎22．如图，在三棱柱中，，顶点在底面 上的射影恰为点 ，且.‎ ‎（1）求棱 与所成的角的大小；‎ ‎（2）在棱 上确定一点，使，并求出二面角的平面角的余弦值.‎ 试卷答案 一、选择题 ‎1-5：BCBBC 6-10：CACCC 11-12：CC 二、填空题 ‎13． 14． 15．4 16．①⑤ ‎ 三、解答题 ‎17．解：由题意得，命题：，命题：，‎ ‎∵是的必要不充分条件，‎ ‎∴是的充分不必要条件，‎ 即，‎ ‎∴且，‎ ‎∴‎ 故实数a 的取值范围为.‎ ‎18．证明（1）连接，‎ 在中，，，‎ ‎∴，‎ 又∵平面，平面，‎ ‎∴平面．‎ ‎（2）∵底面，底面 ‎∴‎ 又∵四边形是正方形，‎ ‎∴‎ ‎∴，平面 ‎∴平面 ‎19．（1）（1）设所求的圆的方程为，‎ 依题意得：，‎ 解得 所以所求的圆的方程为：‎ ‎（2）设所求的切线方程的斜率为，则切线方程为，即 又圆心到切线的距离 又由，即，解得 ‎∴所求的切线方程为 若直线的斜率不存在时，即也满足要求．‎ ‎∴综上所述，所求的切线方程为或.‎ ‎20. 解：（1）由题意坐标平面上点与两个定点，的距离之比为5，得，‎ ‎，化简得 即 ‎∴点的轨迹方程是，‎ ‎（2）当直线的斜率不存在时，过点的直线：，‎ 此时过点的直线被圆所截得的线段的长为，‎ ‎∴：符合题意.‎ 当直线的斜率存在时，设过点的直线的方程为，即 圆心到的距离，‎ 由题意，得，解得 ‎∴直线的方程为，即.‎ 综上，直线的方程为，或．‎ ‎21.(1)解：解：如图，过点 作的垂线交于，以为原点，‎ 分别以为轴建立空间直角坐标系.‎ ‎∵，‎ ‎∴，‎ 又，则点到轴的距离为1，到轴的距离为 则有，，，，.‎ ‎（1）设平面的法向量为，‎ ‎∵，‎ 则有，取，‎ 得，又，‎ 设与平面所成角为，‎ 则，‎ 故 与平面所成角的正弦值为.‎ ‎（2）设平面的法向量为，‎ ‎∵，，‎ 则有，取，得，‎ ‎∴，‎ 故平面与平面所成的锐二面角的余弦值为.‎ ‎22. 解：（1）如图，以为原点建立空间直角坐标系，‎ 则，‎ 故与棱所成的角是.‎ ‎（2）设，则 于是（舍去），‎ 则为棱的中点，其坐标为 设平面的法向量为，‎ 则 故 而平面的法向量是，‎ 则，‎ 故二面角的余弦值是.‎ ‎，取，得，‎ ‎∴，‎