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- 2021-06-30 发布
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全*品*高*考*网, 用后离不了!2016-2017学年广东省揭阳市惠来二中高二(下)第一次月考数学试卷(文科)
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,满分60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.在△ABC中,若∠A=60°,∠B=45°,BC=3,则AC=( )
A. B. C. D.
2.设复数z满足(1﹣i)z=2i,则z=( )
A.﹣1+i B.﹣1﹣i C.1+i D.1﹣i
3.设命题p:∃n∈N,n2>2n,则¬p为( )
A.∀n∈N,n2>2n B.∃n∈N,n2≤2n C.∀n∈N,n2≤2n D.∃n∈N,n2=2n
4.已知命题p:π是有理数,命题q:x2﹣3x+2<0的解集是(1,2).给出下列结论:
(1)命题p∧q是真命题
(2)命题p∧(¬q)是假命题
(3)命题(¬p)∨q是真命题
(4)命题(¬p)∨(¬q)是假命题
其中正确的是( )
A.(1)(3) B.(2)(4) C.(2)(3) D.(1)(4)
5.已知椭圆的一个焦点为F(0,1),离心率,则该椭圆的标准程为( )
A. B. C. D.
6.若,则目标函数z=x+2y的取值范围( )
A. B. C. D.
7.若两个等差数列{an}和{bn}的前n项和分别是Sn和Tn,已知,则=( )
A.7 B. C. D.
8.当x在(﹣∞,+∞)上变化时,导函数f′(x)的符号变化如下表:
x
(﹣
1
(1,4)
4
(4,+∞)
∞.1)
f′(x)
﹣
0
+
0
﹣
则函数f(x)的图象的大致形状为( )
A. B. C. D.
9.在我国古代著名的数学专著《九章算术》里有一段叙述:今有良马与驽马发长安至齐,齐去长安一千一百二十五里,良马初日行一百零三里,日增十三里;驽马初日行九十七里,日减半里;良马先至齐,复还迎驽马,二马相逢.问:几日相逢?( )
A.9日 B.8日 C.16日 D.12日
10.已知直线2ax+by﹣2=0(a>0,b>0)过点(1,2),则的最小值是( )
A.2 B.3 C.4 D.1
11.“1<m<2”是“方程+=1表示的曲线是焦点在y轴上的椭圆”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
12.设图F1、F2分别为双曲线的左、右焦点,双曲线上存在一点P使得|PF1|+|PF2|=3b,|PF1|•|PF2|=ab,则该双曲线的离心率为( )
A. B. C. D.3
二、填空题:(本大题共4小题,每小题5分,共20分.)
13.复数z=(1+2i)(3﹣i),其中i为虚数单位,则z的实部是 .
14.函数f(x)=x3﹣15x2﹣33x+6的单调减区间为 .
15.已知△ABC三边a,b,c上的高分别为,则cosA= .
16.观察下列等式:
(sin)﹣2+(sin)﹣2=×1×2;
(sin)﹣2+(sin)﹣2+(sin)﹣2+sin()﹣2=×2×3;
(sin)﹣2+(sin)﹣2+(sin)﹣2+…+sin()﹣2=×3×4;
(sin)﹣2+(sin)﹣2+(sin)﹣2+…+sin()﹣2=×4×5;
…
照此规律,
(sin)﹣2+(sin)﹣2+(sin)﹣2+…+(sin)﹣2= .
三、解答题:(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.在△ABC中,b=2,,△ABC的面积为.
(Ⅰ)求a的值;
(Ⅱ)求sin2A值.
18.已知数列{an}满足a1=3,,数列{bn}满足.
(1)证明数列{bn}是等差数列并求数列{bn}的通项公式;
(2)求数列{an}的前n项和Sn.
19.如表提供了工厂技术改造后某种型号设备的使用年限x和所支出的维修费用y(万元)的几组对照数据:
x(年)
3
4
5
6
y(万元)
2.5
3
4
4.5
(1)若知道y对x呈线性相关关系,请根据上表提供的数据,用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程=bx+a
(2)已知工厂技改前该型号设备使用10年的维修费用为9万元.试根据(1)求出的线性回归方程,预测该型号设备技改后使用10年的维修费用比技改前降低多少?
参考公式: ==, =y﹣x.
20.为了解人们对于国家新颁布的“生育二胎放开”政策的热度,现在某市进行调查,随机调查了50人,他们年龄的频数分布及支持“生育二胎”人数如表:
年龄
[5,15)
[15,25)
[25,35)
[35,45)
[45,55)
[55,65)
频数
5
10
15
10
5
5
支持“生育二胎”
4
5
12
8
2
1
(1)由以上统计数据填下面2乘2列联表,并问是否有的99%把握认为以45岁为分界点对“生育二胎放开”政策的支持度有差异:
(2)若对年龄在上的最小值为,求a的值.
2016-2017学年广东省揭阳市惠来二中高二(下)第一次月考数学试卷(文科)
参考答案与试题解析
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,满分60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.在△ABC中,若∠A=60°,∠B=45°,BC=3,则AC=( )
A. B. C. D.
【考点】HP:正弦定理.
【分析】结合已知,根据正弦定理,可求AC
【解答】解:根据正弦定理,,
则
故选B
2.设复数z满足(1﹣i)z=2i,则z=( )
A.﹣1+i B.﹣1﹣i C.1+i D.1﹣i
【考点】A5:复数代数形式的乘除运算.
【分析】根据所给的等式两边同时除以1﹣i,得到z的表示式,进行复数的除法运算,分子和分母同乘以分母的共轭复数,整理成最简形式,得到结果.
【解答】解:∵复数z满足z(1﹣i)=2i,
∴z==﹣1+i
故选A.
3.设命题p:∃n∈N,n2>2n,则¬p为( )
A.∀n∈N,n2>2n B.∃n∈N,n2≤2n C.∀n∈N,n2≤2n D.∃n∈N,n2=2n
【考点】2J:命题的否定.
【分析】根据特称命题的否定是全称命题即可得到结论.
【解答】解:命题的否定是:∀n∈N,n2≤2n,
故选:C.
4.已知命题p:π是有理数,命题q:x2﹣3x+2<0的解集是(1,2).给出下列结论:
(1)命题p∧q是真命题
(2)命题p∧(¬q)是假命题
(3)命题(¬p)∨q是真命题
(4)命题(¬p)∨(¬q)是假命题
其中正确的是( )
A.(1)(3) B.(2)(4) C.(2)(3) D.(1)(4)
【考点】2K:命题的真假判断与应用.
【分析】本题考查复合命题的真假,先判断命题p和命题q的真假,然后判断¬P和¬q的真假,由此判断复合命题“p∧q”,“p∧¬q”,“¬p∨q”和“¬p∨¬q”的真假.
【解答】解:∵命题p:π是有理数,是假命题,
命题q:x2﹣3x+2<0的解集是(1,2).是真命题,
∴¬P是真命题,¬q是假命题,
∴(1)命题p∧q是真命题错误.
(2)命题p∧(¬q)是假命题,正确.
(3)命题(¬p)∨q是真命题,正确.
(4)命题(¬p)∨(¬q)是假命题,错误.
故选:C.
5.已知椭圆的一个焦点为F(0,1),离心率,则该椭圆的标准程为( )
A. B. C. D.
【考点】K4:椭圆的简单性质.
【分析】由题意得,椭圆的焦点在y轴上,且c=1,e==,从而可得a=2,b=
,从而写出椭圆的标准方程.
【解答】解:由题意得,椭圆的焦点在y轴上,
且c=1,e==,
故a=2,b=,
则椭圆的标准方程为,
故选A.
6.若,则目标函数z=x+2y的取值范围( )
A. B. C. D.
【考点】7C:简单线性规划.
【分析】画出不等式组对应的可行域,将目标函数变形,画出目标函数对应的直线,由图得到当直线过A点时纵截距最大,z最大,当直线过(2,0)时纵截距最小,z最小.
【解答】解:画出可行域
将z=x+2y变形为y=,由图知当直线过A(2,2)时,z最大为6,当直线过(2,0)时,z最小为2,
∴目标函数Z=x+2y的取值范围是
故选A.
7.若两个等差数列{an}和{bn}的前n项和分别是Sn和Tn,已知,则
=( )
A.7 B. C. D.
【考点】8F:等差数列的性质.
【分析】由已知,根据等差数列的性质,把转化为求解.
【解答】解:.
故选:D.
8.当x在(﹣∞,+∞)上变化时,导函数f′(x)的符号变化如下表:
x
(﹣∞.1)
1
(1,4)
4
(4,+∞)
f′(x)
﹣
0
+
0
﹣
则函数f(x)的图象的大致形状为( )
A. B. C. D.
【考点】52:函数零点的判定定理;51:函数的零点.
【分析】f′(x)在(﹣∞,1)上小于0,在(1,4)上大于0,故f(0)是函数的极小值,同理可得f(4)是函数的极大值,由此得出结论.
【解答】解:由图表可得函数f′(x)在(﹣∞,1)上小于0,在(1,4)上大于0,
即函数f(x)在(﹣∞,1)上是减函数,在(1,4)上是增函数,故f(0)是函数的极小值.
同理,由图表可得函数f′(x)在(1,4)上大于0,在(1,4)上小于0,
即函数f(x)在(1,4)上是增函数,在(4,+∞)上是增函数,可得f(4)是函数的极大值,
故选C.
9.在我国古代著名的数学专著《九章算术》里有一段叙述:今有良马与驽马发长安至齐,齐去长安一千一百二十五里,良马初日行一百零三里,日增十三里;驽马初日行九十七里,日减半里;良马先至齐,复还迎驽马,二马相逢.问:几日相逢?( )
A.9日 B.8日 C.16日 D.12日
【考点】89:等比数列的前n项和.
【分析】良马每日行的距离成等差数列,记为{an},其中a1=103,d=13;驽马每日行的距离成等差数列,记为{bn},其中b1=97,d=﹣0.5.求和即可得到答案.
【解答】解:由题意知,良马每日行的距离成等差数列,
记为{an},其中a1=103,d=13;
驽马每日行的距离成等差数列,
记为{bn},其中b1=97,d=﹣0.5;
设第m天相逢,则a1+a2+…+am+b1+b2+…+bm
=103m++97m+=2×1125,
解得:m=9.
故选:A.
10.已知直线2ax+by﹣2=0(a>0,b>0)过点(1,2),则的最小值是( )
A.2 B.3 C.4 D.1
【考点】7F:基本不等式.
【分析】根据直线过点(1,2),求出a,b的关系.利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出.
【解答】解:直线2ax+by﹣2=0(a>0,b>0)过点(1,2),
可得:2a+2b=2,即a+b=1.
则=()(a+b)=2+=4.当且仅当a=b=时取等号.
∴的最小值为4.
故选C.
11.“1<m<2”是“方程+=1表示的曲线是焦点在y轴上的椭圆”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
【考点】2L:必要条件、充分条件与充要条件的判断.
【分析】根据椭圆的性质,结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可.
【解答】解:若方程+=1表示的曲线是焦点在y轴上的椭圆,
则,
即,
解得1<m<2,即“1<m<2”是“方程+=1表示的曲线是焦点在y轴上的椭圆”的充要条件,
故选:C
12.设图F1、F2分别为双曲线的左、右焦点,双曲线上存在一点P使得|PF1|+|PF2|=3b,|PF1|•|PF2|=ab,则该双曲线的离心率为( )
A. B. C. D.3
【考点】KC:双曲线的简单性质.
【分析】要求离心率,即求系数a,c间的关系,因此只需用系数将题目已知的条件表示出来即可.本题涉及到了焦点弦问题,因此注意结合定义求解.
【解答】解:由双曲线的定义得:|PF1|﹣|PF2|=2a,(不妨设该点在右支上)
又|PF1|+|PF2|=3b,所以,
两式相乘得.结合c2=a2+b2得.
故e=.
故选B
二、填空题:(本大题共4小题,每小题5分,共20分.)
13.复数z=(1+2i)(3﹣i),其中i为虚数单位,则z的实部是 5 .
【考点】A7:复数代数形式的混合运算.
【分析】利用复数的运算法则即可得出.
【解答】解:z=(1+2i)(3﹣i)=5+5i,
则z的实部是5,
故答案为:5.
14.函数f(x)=x3﹣15x2﹣33x+6的单调减区间为 (﹣1,11) .
【考点】6B:利用导数研究函数的单调性.
【分析】要求函数的单调减区间可先求出f′(x),并令其小于零得到关于x的不等式求出解集即可.
【解答】解:f′(x)=3x2﹣30x﹣33=3(x2﹣10x﹣11)
=3(x+1)(x﹣11)<0,
解得﹣1<x<11,故减区间为(﹣1,11).
故答案为:(﹣1,11)
15.已知△ABC三边a,b,c上的高分别为,则cosA= .
【考点】HR:余弦定理.
【分析】由题意和三角形的面积公式列出方程,化简后得到a、b、c的关系,由余弦定理求出cosA的值.
【解答】解:∵△ABC三边a,b,c上的高分别为,
∴,
则,即c=a,b=a,
由余弦定理得,cosA=
==,
故答案为:.
16.观察下列等式:
(sin)﹣2+(sin)﹣2=×1×2;
(sin)﹣2+(sin)﹣2+(sin)﹣2+sin()﹣2=×2×3;
(sin)﹣2+(sin)﹣2+(sin)﹣2+…+sin()﹣2=×3×4;
(sin)﹣2+(sin)﹣2+(sin)﹣2+…+sin()﹣2=×4×5;
…
照此规律,
(sin)﹣2+(sin)﹣2+(sin)﹣2+…+(sin)﹣2= n(n+1) .
【考点】F1:归纳推理.
【分析】由题意可以直接得到答案.
【解答】解:观察下列等式:
(sin)﹣2+(sin)﹣2=×1×2;
(sin)﹣2+(sin)﹣2+(sin)﹣2+sin()﹣2=×2×3;
(sin)﹣2+(sin)﹣2+(sin)﹣2+…+sin()﹣2=×3×4;
(sin)﹣2+(sin)﹣2+(sin)﹣2+…+sin()﹣2=×4×5;
…
照此规律(sin)﹣2+(sin)﹣2+(sin)﹣2+…+(sin)﹣2=×n(n+1),
故答案为: n(n+1)
三、解答题:(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.在△ABC中,b=2,,△ABC的面积为.
(Ⅰ)求a的值;
(Ⅱ)求sin2A值.
【考点】HR:余弦定理;HP:正弦定理.
【分析】(Ⅰ)由条件求得sinC的值,利用△ABC的面积为求得a的值.
(Ⅱ)由余弦定理求得c的值,利用正弦定理求得sinA的值,再利用二倍角的正弦公式求得sin2A值.
【解答】解:(Ⅰ)△ABC中,∵b=2,,∴sinC=,
∴△ABC的面积为=ab•sinC=•2•.
a=1.
(Ⅱ)由余弦定理可得c2=a2+b2﹣2ab•cosC=1+4﹣3=2,∴c=.
再由正弦定理可得=,即 =,∴sinA=.
由于a不是最大边,故A为锐角,故cosA=,
∴sin2A=2sinAcosA=2ו=.
18.已知数列{an}满足a1=3,,数列{bn}满足.
(1)证明数列{bn}是等差数列并求数列{bn}的通项公式;
(2)求数列{an}的前n项和Sn.
【考点】8H:数列递推式;84:等差数列的通项公式;8E:数列的求和.
【分析】(1)由,可得,然后检验bn+1﹣bn是否为常数即可证明,进而可求其通项
(2)由题意可先求an,结合数列的通项的特点,考虑利用错位相减求和即可求解
【解答】解(1)证明:由,得,
∴﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
所以数列{bn}是等差数列,首项b1=1,公差为﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
∴﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
(2)﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
∴Sn=a1+a2+…+an=3×1+4×3+…+(n+2)×3n﹣1﹣﹣﹣﹣①
∴﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣②
①﹣②得
=2+1+3+32+…+3n﹣1﹣(n+2)×3n=﹣﹣﹣﹣﹣﹣
∴﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
19.如表提供了工厂技术改造后某种型号设备的使用年限x和所支出的维修费用y(万元)的几组对照数据:
x(年)
3
4
5
6
y(万元)
2.5
3
4
4.5
(1)若知道y对x呈线性相关关系,请根据上表提供的数据,用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程=bx+a
(2)已知工厂技改前该型号设备使用10年的维修费用为9万元.试根据(1)求出的线性回归方程,预测该型号设备技改后使用10年的维修费用比技改前降低多少?
参考公式: ==, =y﹣x.
【考点】BK:线性回归方程.
【分析】(1)计算平均数、,求出回归系数,写出回归方程;
(2)利用回归方程求出x=10时的值即可.
【解答】解:(1)计算xiyi=3×2.5+4×3+5×4+6×4.5=66.5,
,…
=×(3+4+5+6)=4.5,
=×(2.5+3+4+4.5)=3.5;…
回归系数;
;
故所求的回归方程为;…
(2)当x=10时,利用y关于x的线性回归方程计算=0.7×10+0.35=7.35,…
预测该型号设备技改后使用10年的维修费用比技改前降低9﹣7.35=1.65(万元),
答:求出y关于x的线性回归方程=0.7x+0.35,
预测该型号设备技改后使用10年的维修费用比技改前降低1.65万元.…
20.为了解人们对于国家新颁布的“生育二胎放开”政策的热度,现在某市进行调查,随机调查了50人,他们年龄的频数分布及支持“生育二胎”人数如表:
年龄
[5,15)
[15,25)
[25,35)
[35,45)
[45,55)
[55,65)
频数
5
10
15
10
5
5
支持“生育二胎”
4
5
12
8
2
1
(1)由以上统计数据填下面2乘2列联表,并问是否有的99%把握认为以45岁为分界点对“生育二胎放开”政策的支持度有差异:
(2)若对年龄在上的最小值为,求a的值.
【考点】6H:利用导数研究曲线上某点切线方程;6E:利用导数求闭区间上函数的最值.
【分析】(1)求导数,确定切线的斜率,即可求f(x)在x=0处的切线方程;
(2)分类讨论,确定函数的单调性,利用f(x)在上的最小值为,即可求a的值.
【解答】解:(1)当a=1时,f(x)=x3﹣x+1,f′(x)=x2﹣1 …
∴f′(0)=﹣1 …
∵f(0)=1 …
所以切线的方程为y﹣1=﹣(x﹣0),即 y=﹣x+1 …
(2)f′(x)=x2﹣a …
当a≤0时,f′(x)>0对x∈(0,1)成立,
所以f(x)在(0,1)上单调递增,f(x)在x=0处取最小值f(0)=1 …
因为1≠,所以a≤0不成立 …
当a>0时,令f'(x)=x2﹣a=0,x1=﹣,x2=,
当0<a<1时,<1,当x∈(0,)时,f'(x)<0,f(x)单调递减,x∈(,1)时,f'(x)>0,f(x)单调递增.
所以f(x)在x=处取得最小值f()=1﹣=,∴.
当a≥1时,≥1,x∈(0,1)时,f'(x)<0,f(x)单调递减
所以f(x)在x=1处取得最小值f(1)=﹣a.
令﹣a=,解得a=(舍去)
综上.