【数学】2019届一轮复习人教A版理第8章第3节　圆的方程教案 7页

第三节　圆的方程 ‎[考纲传真]　(教师用书独具)1.掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程与一般方程.2.初步了解用代数方法处理几何问题的思想．‎ ‎(对应学生用书第131页)‎ ‎[基础知识填充]‎ ‎1．圆的定义及方程 定义 平面内与定点的距离等于定长的点的集合(轨迹)‎ 标准 方程 ‎(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)‎ 圆心(a，b)，半径r 一般 方程 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，(D2＋E2－4F＞0)‎ 圆心，半径 ‎2.点与圆的位置关系 点M(x0，y0)与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系：‎ ‎(1)若M(x0，y0)在圆外，则(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2.‎ ‎(2)若M(x0，y0)在圆上，则(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2.‎ ‎(3)若M(x0，y0)在圆内，则(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2.‎ ‎[知识拓展]　过x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的切线方程：x0x＋y0y＝r2.‎ ‎[基本能力自测]‎ ‎1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)．‎ ‎(1)确定圆的几何要素是圆心与半径．(　　)‎ ‎(2)方程(x＋a)2＋(y＋b)2＝t2(t∈R)表示圆心为(a，b)，半径为t的一个圆．(　　)‎ ‎(3)方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的充要条件是A＝C≠0，B＝0，D2＋E2－4AF>0.(　　)‎ ‎(4)若点M(x0，y0)在圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0外，则x＋y＋Dx0＋Ey0＋F>0.(　　)‎ ‎[解析]　由圆的定义及点与圆的位置关系，知(1)(3)(4)正确．‎ ‎(2)中，当t≠0时，表示圆心为(－a，－b)，半径为|t|的圆，不正确．‎ ‎[答案]　(1)√　(2)×　(3)√　(4)√‎ ‎2．圆心为(1,1)且过原点的圆的方程是(　　)‎ A．(x－1)2＋(y－1)2＝1 B．(x＋1)2＋(y＋1)2＝1‎ C．(x＋1)2＋(y＋1)2＝2 D．(x－1)2＋(y－1)2＝2‎ D　[由题意得圆的半径为，故该圆的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝2，故选D．]‎ ‎3．(2016·全国卷Ⅱ)圆x2＋y2－2x－8y＋13＝0的圆心到直线ax＋y－1＝0的距离为1，则a＝(　　)‎ A．－ B．－ C．　　　D．2‎ A　[圆x2＋y2－2x－8y＋13＝0，得圆心坐标为(1,4)，所以圆心到直线ax＋y－1＝0的距离d＝＝1，解得a＝－.]‎ ‎4．点(2a，a－1)在圆x2＋(y－1)2＝5的内部，则a的取值范围是(　　)‎ A．－1＜a＜1 B．0＜a＜1‎ C．－1＜a＜ D．－＜a＜1‎ D　[由(2a)2＋(a－2)2＜5得－＜a＜1.]‎ ‎5．(教材改编)圆C的圆心在x轴上，并且过点A(－1,1)和B(1,3)，则圆C的方程为________．‎ ‎(x－2)2＋y2＝10　[设圆心坐标为C(a,0)，‎ ‎∵点A(－1,1)和B(1,3)在圆C上，‎ ‎∴|CA|＝|CB|，即＝，‎ 解得a＝2，所以圆心为C(2,0)，‎ 半径|CA|＝＝，‎ ‎∴圆C的方程为(x－2)2＋y2＝10.]‎ ‎(对应学生用书第132页)‎ 圆的方程 ‎　(1)(2017·豫北名校4月联考)圆(x－2)2＋y2＝4关于直线y＝x对称的圆的方程是(　　)‎ A．(x－)2＋(y－1)2＝4‎ B．(x－)2＋(y－)2＝4‎ C．x2＋(y－2)2＝4‎ D．(x－1)2＋(y－)2＝4‎ ‎(2)(2015·全国卷Ⅱ)过三点A(1,3)，B(4,2)，C(1，－7)的圆交y轴于M，N两点，则|MN|＝(　　)‎ A．2　　　　　 B．8‎ C．4 D．10‎ ‎(1)D　(2)C　[(1)设圆(x－2)2＋y2＝4的圆心(2,0)关于直线y＝x对称的点的坐标为(a，b)，则有解得a＝1，b＝，从而所求圆的方程为(x－1)2＋(y－)2＝4.故选D．‎ ‎(2)设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，‎ 则解得 ‎∴圆的方程为x2＋y2－2x＋4y－20＝0.令x＝0，得y＝－2＋2或y＝－2－2，∴M(0，－2＋2)，N(0，－2－2)或M(0，－2－2)，N(0，－2＋2)，∴|MN|＝4，故选C．]‎ ‎[规律方法]　求圆的方程的两种方法 (1)直接法：根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程.‎ (2)待定系数法：‎ ‎①若已知条件与圆心(a，b)和半径r有关，则设圆的标准方程，依据已知条件列出关于a，b，r的方程组，从而求出a，b，r的值.‎ ‎②若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D，E，F的方程组，进而求出D，E，F的值.‎ 易错警示：解答圆的有关问题，应注意数形结合，充分运用圆的几何性质.‎ ‎[跟踪训练]　(1)(2018·海口调研)已知圆M与直线3x－4y＝0及3x－4y ‎＋10＝0都相切，圆心在直线y＝－x－4上，则圆M的标准方程为(　　)‎ ‎【导学号：97190276】‎ A．(x＋3)2＋(y－1)2＝1‎ B．(x－3)2＋(y＋1)2＝1‎ C．(x＋3)2＋(y＋1)2＝1‎ D．(x－3)2＋(y－1)2＝1‎ ‎(2)(2016·天津高考)已知圆C的圆心在x轴的正半轴上，点M(0，)在圆C上，且圆心到直线2x－y＝0的距离为，则圆C的方程为________．‎ ‎(1)C　(2)(x－2)2＋y2＝9　[(1)到两直线3x－4y＝0和3x－4y＋10＝0的距离都相等的直线方程为3x－4y＋5＝0，联立方程组解得所以圆M的圆心坐标为(－3，－1)，又两平行线之间的距离为＝2，所以圆M的半径为1，所以圆M的方程为(x＋3)2＋(y＋1)2＝1，故选C．‎ ‎(2)因为圆C的圆心在x轴的正半轴上，设C(a,0)，且a>0，‎ 所以圆心到直线2x－y＝0的距离d＝＝，‎ 解得a＝2，‎ 所以圆C的半径r＝|CM|＝＝3，‎ 所以圆C的方程为(x－2)2＋y2＝9.]‎ 与圆有关的最值问题 ‎　已知M(x，y)为圆C：x2＋y2－4x－14y＋45＝0上任意一点，且点Q(－2,3)．‎ ‎(1)求|MQ|的最大值和最小值；‎ ‎(2)求的最大值和最小值．‎ ‎[解]　(1)由圆C：x2＋y2－4x－14y＋45＝0，‎ 可得(x－2)2＋(y－7)2＝8，‎ ‎∴圆心C的坐标为(2,7)，半径r＝2.‎ 又|QC|＝＝4，‎ ‎∴|MQ|max＝4＋2＝6，‎ ‎|MQ|min＝4－2＝2.‎ ‎(2)可知表示直线MQ的斜率k.‎ 设直线MQ的方程为y－3＝k(x＋2)，即kx－y＋2k＋3＝0.‎ 由直线MQ与圆C有交点，所以≤2，‎ 可得2－≤k≤2＋，‎ ‎∴的最大值为2＋，最小值为2－.‎ ‎1．(变化结论)在本例的条件下，求y－x的最大值和最小值．‎ ‎[解]　设y－x＝b，则x－y＋b＝0.‎ 当直线y＝x＋b与圆C相切时，截距b取到最值，‎ ‎∴＝2，∴b＝9或b＝1.‎ 因此y－x的最大值为9，最小值为1.‎ ‎2．(变换条件)若本例中条件“点Q(－2,3)”改为“点Q是直线3x＋4y＋1＝0上的动点”，其它条件不变，试求|MQ|的最小值．‎ ‎[解]　∵圆心C(2,7)到直线3x＋4y＋1＝0上动点Q的最小值为点C到直线3x＋4y＋1＝0的距离，‎ ‎∴|QC|min＝d＝＝7.‎ 又圆C的半径r＝2，‎ ‎∴|MQ|的最小值为7－2.‎ ‎[规律方法]　与圆有关的最值问题的三种几何转化法 (1)形如μ＝形式的最值问题可转化为动直线斜率的最值问题.‎ (2)形如t＝ax＋by形式的最值问题可转化为动直线截距的最值问题.‎ (3)形如m＝(x－a)2＋(y－b)2形式的最值问题可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题.‎ ‎[跟踪训练]　(1)(2018·陕西质检(一))圆：x2＋y2－2x－2y＋1＝0上的点到直线x－y＝2的距离的最大值是(　　)‎ A．1＋ B．2‎ C．1＋ D．2＋2 ‎(2)(2017·广东七校联考)圆x2＋y2＋2x－6y＋1＝0关于直线ax－by＋3＝0(a＞0，b＞0)对称，则＋的最小值是(　　)‎ A．2 B． C．4 D． ‎(1)A　(2)D　[(1)由已知得圆的标准方程为(x－1)2＋(y－1)2＝1，则圆心坐标为(1,1)，半径为1，所以圆心到直线的距离为＝，所以圆上的点到直线的距离的最大值是1＋，故选A．‎ ‎(2)由圆x2＋y2＋2x－6y＋1＝0知其标准方程为(x＋1)2＋(y－3)2＝9，∵圆x2＋y2＋2x－6y＋1＝0关于直线ax－by＋3＝0(a＞0，b＞0)对称，∴该直线经过圆心(－1,3)，即－a－3b＋3＝0，∴a＋3b＝3(a＞0，b＞0)，∴＋＝(a＋3b)＝≥＝，当且仅当＝，即a＝b时取等号，故选D．]‎ 与圆有关的轨迹问题 ‎　已知A(2,0) 为圆x2＋y2＝4上一定点，B(1,1)为圆内一点，P，Q为圆上的动点. 【导学号：97190277】‎ ‎(1)求线段AP中点的轨迹方程；‎ ‎(2)若∠PBQ＝90°，求线段PQ中点的轨迹方程．‎ ‎[解]　(1)设AP的中点为M(x，y)，‎ 由中点坐标公式可知，‎ P点坐标为(2x－2,2y)．‎ 因为P点在圆x2＋y2＝4上，‎ 所以(2x－2)2＋(2y)2＝4.‎ 故线段AP中点的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝1.‎ ‎(2)设PQ的中点为N(x，y)，‎ 在Rt△PBQ中，|PN|＝|BN|，‎ 设O为坐标原点，连接ON，则ON⊥PQ，‎ 所以|OP|2＝|ON|2＋|PN|2＝|ON|2＋|BN|2，所以x2＋y2＋(x－1)2＋(y－1)2＝4.故线段PQ中点的轨迹方程为x2＋y2－x－y－1＝0.‎ ‎[规律方法]　求与圆有关的轨迹问题的四种方法 (1)直接法：直接根据题设给定的条件列出方程求解.‎ (2)定义法：根据圆的定义列方程求解.‎ (3)几何法：利用圆的几何性质得出方程求解.‎ (4)代入法(相关点法)：找出要求的点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式求解.‎ ‎[跟踪训练]　已知点A(－1,0)，点B(2,0)，动点C满足|AC|＝|AB|，求点C与点P(1,4)所连线段的中点M的轨迹方程．‎ ‎[解]　由题意可知：动点C的轨迹是以(－1,0)为圆心，3为半径长的圆，方程为(x＋1)2＋y2＝9.‎ 设M(x0，y0)，则由中点坐标公式可求得 C(2x0－1,2y0－4)，‎ 代入点C的轨迹方程得4x＋4(y0－2)2＝9，‎ 化简得x＋(y0－2)2＝，‎ 故点M的轨迹方程为x2＋(y－2)2＝.‎