数学文卷·2017届广东省汕头市高三上学期期末教学质量监测（2017 13页

广东省汕头市 2017 届高三上学期期末教学质量监测 文科数学 第Ⅰ卷（共 60 分） 一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选 项中，只有一项是符合题目要求的. 1.集合 }5,4,3,2,1{A ， }03|{ 2  xxxB ，则 BA  （ ） A． }2,1{ B． }3,2{ C． }4,3{ D． }5,4{ 2.设 yixi i 1 （ Ryx , ，i 为虚数单位），则模  || yix （ ） A．1 B． 2 1 C． 2 D． 2 2 3.若实数 yx, 满足       3 03 093 y yx yx ，则使得 xyz 2 取得最大值的最优解为（ ） A． )0,3( B． )3,3( C． )3,4( D． )3,6( 4.设 nS 是数列 }{ na 的前 n 项和，且 nn aS 2 1 2 1  ，则 na （ ） A． 1)2 1(3 1  n B． 1)3 2(2 1  n C． 3 1)3 1(2  n D． n)3 1( 5.去 nS 城市旅游有三条不同路线，甲、乙两位同学各自选择其中一条线路去 3 1)3 1(2  n 城 市旅游，若每位同学选择每一条线路的可能性相同，则这两位同学选择同一条路线的概率为 （ ） A． 3 1 B． 2 1 C． 3 2 D． 9 1 6.执行如图的程序框图，则输出的 n 是（ ） A．5 B．4 C．3 D．2 7.已知 )(xf 在 R 上是偶函数，且满足 )()3( xfxf  ，当 ]2 3,0[x 时， 22)( xxf  ，则 )5(f （ ） A．8 B．2 C. 2 D．50 8.已知函数 ))(32cos(3)( Rxxxf   ，下列结论错误的是（ ） A．函数 )(xf 的最小正周期为 B．函数 )(xf 图象关于点 )0,12 5(  对称 C. 函数 )(xf 在区间 ]2,0[  上是减函数 D．函数 )(xf 的图象关于直线 6 x 对称 9.某单位为了了解用电量 )0,12 5(  度与气温 )0,12 5(  之间的关系，随机统计了某 4 天的用电 量与当天气温，并制作了对照表 气温（ C ） 20 16 12 4 用电量（度） 14 64 28 42 由表中数据得回归直线方程 )0,12 5(  中 )0,12 5(  ，预测当气温为 )0,12 5(  时，用电量的度数是 （ ） A．70 B．68 C. 64 D．62 10.下列判断错误的是（ ） A．命题“ 01,1 2  xx ”的否定是“ 01,1 2  xx ” B．“ 2x ”是“ 022  xx ”的充分不必要条件 C. 若“ qp  ”为假命题，则 qp, 均为假命题 D．命题“若 0ba ，则 0a 或 0b ”的否命题为“若 0ba ，则 0a 且 0b ” 11.已知三棱柱 111 CBAABC  的侧棱垂直于底面，各顶点都在同一球面上，若该棱柱的体 积为 32 ， 2AB ， 1AC ， 60BAC ，则此球的表面积等于（ ） A． 5 B． 20 C. 8 D． 16 12.已知函数 )0(2 12cos)(  xxxf x 与 )(logcos)( 2 axxxg  图象上存在关于 y 轴对称的点，则 a 的取值范围是（ ） A． )2,(  B． )2 2,(  C. )2 2,2( D． )2,( 第Ⅱ卷（共 90 分） 二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上） 13.已知向量 ),1( ma  ， )12,1(  mb ，且 ba // ，则 m ． 14.一个几何体的三视图如图所示，正视图和侧视图是两个全等的三角形，俯视图是 4 3 个圆， 则该几何体的体积等于 ． 15.已知 为第二象限角，且 3)4tan(   ，则   cossin ． 16.已知函数       1,1 1),2(log )( 2 xe xx xf x ，若 0,0  nm ，且 )]2(ln[ ffnm  ，则 nm 21  的最小值为 ． 三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演 算步骤.） 17. （本小题满分 12 分） 已知 }{ na 是等差数列，满足 5,1 41  aa ，数列 }{ nb 满足 21,1 41  bb ，且 }{ nn ba  为等比数列. （1）求数列 }{ na 和 }{ nb 的通项公式； （2）求数列 }{ nb 的前 n 项和 nS . 18. （本小题满分 12 分） 在 ABC 中 ， 内 角 CBA ,, 所 对 的 边 分 别 为 cba ,, ， BcAbBaB cos3)coscos(sin  . （1）求 B ； （2）若 32b ， ABC 的面积为 32 ，求 ABC 的周长. 19. （本小题满分 12 分） 已知如图正四面体 SABC 的侧面积为 348 ，O 为底面正三角形 ABC 的中心. （1）求证： BCSA  ； （2）求点O 到侧面 SABC 的距离. 20.（本小题满分 12 分） 某蛋糕店每天制作生日蛋糕若干个，每个生日蛋糕成本为 50 元，每个蛋糕的售价为 100 元，如果当天卖不完，剩余的蛋糕作垃圾处理.现搜集并整理了 100 天生日蛋糕的日需求量 （单位：个），得到如图所示的柱状图.100 天记录的各需求量的频率作为每天各需求量发生 的概率. （1）若该蛋糕店某一天制作生日蛋糕 17 个，设当天的需求量为 )( Nnn  ，则当天的利润 y （单位：元）是多少？ （2）若蛋糕店一天制作 17 个生日蛋糕. ①求当天的利润 y （单位：元）关于当天需求量 n 的函数解析式； ②求当天的利润不低于 600 圆的概率. （3）若蛋糕店计划一天制作 16 个或 17 个生日蛋糕，请你以蛋糕店一天利润的平均值作为 决策依据，应该制作 16 个还是 17 个生日蛋糕？ 21.（本小题满分 12 分） 设函数 0,ln)1(2 1)( 2  axaxaxxf . （1）求函数 )(xf 的单调区间； （2）讨论函数 )(xf 的零点个数. 请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22. （本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系 xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的 极坐标方程为 04sin4cos22   ，直线l 的方程为 01  yx . （1）写出曲线C 的参数方程； （2）在曲线C 上求一点 P ，使点 P 到直线l 的距离最大，并求出此最大值. 23. （本小题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲 已知函数 |2||1|)( mxxxf  ， Rm . （1）当 4m 时，解不等式 0)( xf ； （2）当 ),1( x 时， 0)( xf 恒成立，求 m 的取值范围. 汕头市2016~2017学年度普通高中毕业班教学质量监测 文科数学答案 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分． 题 号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答 案 A D C D A B B C A C B D 二、填空题：每小题5分，满分20分． 13． 1 3  ； 14． 9 ； 15． 5 5 ； 16． 3 2 2 ． 三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 17.解：（1）设 na 的公差为 d ， nn ba  的公比为 q ， 214 14   aad ， 1 ( 1)na a n d    ， 32)2()1(1  nn . 211  ba ， 1644  ba ， 8 11 4414    ba baq 2q ， nn nn ba 222 1   ， 3222  nab n n n n . （2） 1 2 3n nS b b b b     )322()32()12()12( 321  nn )32311()2222( 321  nn  2 )321( 21 )21(2 nnn   1 22 2 2n n n    18.解：（1）根据正弦定理得： BCABBAB cossin3)cossincos(sinsin  BCBAB cossin3)sin(sin  BCCB cossin3sinsin  ),0( C ， 0sin  C BB cos3sin  即 3tan B ),0( B 3 B （2） 324 3sin2 1  acBacS ABC 8ac 根据余弦定理得： Baccab cos2222  812 22  ca ，即 2022  ca 62)( 222  cacacaca ABC 的周长为： 326  . 19.解：（1）证明：取 BC 的中点 D ,连结 AD ， SD ABC 是等边三角形 D 是 BC 的中点 BCAD  SBC 是等边三角形 D 是 BC 的中点 BCSD  DSDAD  , SDAD, 平面 SAD BC 平面 SAD SA 平面 SAD BCSA  （2）解法一：由（1）可知 BC 平面 SAD BC 平面 SBC ， 平面 SAD 平面 SBC 平面 SAD 平面 SBC SD 过点 O 作 SDOE  ，则 OE 平面 SBC  OE 就是点O 到侧面 SBC 的距离. 由 题 意 可 知 点 O 在 AD 上 ， 设 正 四 面 体 SABC 的 棱 长 为 a ， 20 4 360sin2 1 aSCSBS SBC   正四面体 SABC 的侧面积为 348 3484 333 2   aS SBC ， 8a 在等边三角形 ABC 中， D 是 BC 的中点 aCACAD 2 3sin  同理可得 aSD 2 3 O 为底面正三角形 ABC 的中心 aADAO 3 3 3 2  ， aADOD 6 3 3 1  在 SAORt 中， aAOSASO 3 622  由 OESDSOOD  2 1 2 1 得： OEaaa  2 3 2 1 3 6 6 3 2 1 9 68 9 6  aOE ，即点O 到侧面 SBC 的距离为 9 68 . 解法二： 连结 SO ，则 ABCSO 平面 由题意可知点 O 在 AD 上， 设正四面体 SABC 的棱长为 a ， 20 4 360sin2 1 aSCSBS SBC   正四面体 SABC 的侧面积为 348 3484 333 2   aS SBC ， 8a 在等边三角形 ABC 中， D 是 BC 的中点 342 3sin  aCACAD O 为底面正三角形 ABC 的中心 aADAO 3 3 3 2  ， 3 34 6 3 3 1  aADOD 在 SAORt 中， 3 68 3 622  aAOSASO 3 316 3 3482 1||||2 1  ODBCS OBC 9 2128 3 68 3 316 3 1||3 1   SOSV OBCOBCS 3163483 1 SBCS 设点 O 到侧面 SBC 的距离为 h ， 由 SBCOOBCS VV   得， hS SBC  3 1 9 128 9 68 316 3 2128 3 128  SBCSh ，即点O 到侧面 SBC 的距离为 9 68 . 20.解：（1）当 17n  时， 17 (100 50) 850Y     ， 当 16n  时， 100 17 50 100 850Y n n     ， （2）①由（1）得当天的利润Y 关于当天需求量 n 的函数解析式为： 100 850( 16)( )850( 17) n nY n Nn     ②设“当天利润不低于 600 ”为事件 A ，由①知，“当天利润不低于 600 ”等价于 “需求量不低于15个” 12 22( ) 1 100 25P A    所以当天的利润不低于 600 元的概率为： 22 25 （3）若一天制作16 个蛋糕，则平均利润为： 1 1 (600 12 700 18 800 70) 758100x        ； 若一天制作17 个蛋糕，则平均利润为： 2 1 (550 12 650 18 750 18 850 52) 760100x          ； 1 2x x 蛋糕店一天应该制作17 个生日蛋糕. 21.解：（1）函数 ( )f x 的定义域为 (0, ) ( ) ( 1) af x x a x      2 ( 1)x a x a x    ( )( 1) ( 0)x a x xx    当 0 1a  时，令 ( ) 0f x  得 1a x  ；令 ( ) 0f x  得 0 x a  或 1x  ， 所以函数 ( )f x 的单调增区间为 (0, )a 和 (1, ) ，单调减区间为 ,1)a( ； 当 1a  时， 2( 1)( ) 0xf x x    恒成立，所以函数 ( )f x 的单调增区间为 (0, ) ，无减区 间； 当 1a  时，令 ( ) 0f x  得1 x a  ；令 ( ) 0f x  得 0 1x  或 x a ， 所以函数 ( )f x 的单调增区间为 (0,1) 和 ( , )a  ，单调减区间为 1, )a( . （2）由（1）可知，当 0 1a  时， 函数 ( )f x 的单调增区间为 (0, )a 和 (1, ) ，单调减区间为 ,1)a( ， 所以 21( ) ( ) + ln 02f x f a a a a a    极大值 ， 1( ) (1) 02f x f a    极小值 ， 注意到 (2 2) ln(2 2) 0f a a a    ， 所以函数 ( )f x 有唯一零点，当 1a  时，函数 ( )f x 在 (0, ) 上单调递增， 又注意到 3(1) 02f    ， (4) ln 4 0f   所以函数 ( )f x 有唯一零点； 当 1a  时，函数 ( )f x 的单调递增是 (0,1) 和 ( , )a  上，单调递减是 1, )a( 上， 所以 1( ) (1) 02f x f a    极大值 ， 21( ) ( ) + ln 02f x f a a a a a    极小值 ， 注意到 (2 2) ln(2 2) 0f a a a    ， 所以函数 ( )f x 有唯一零点， 综上，函数 ( )f x 有唯一零点. 22.解:（1）由 2 2 cos 4 sin +4=0      及 2 2cos , sin ,x y x y        得： 2 2 2 4 +4=0x y x y   ，即 2 2( 1) ( 2) =1x y   ， 所以曲线 C 的参数方程为： 1 cos ( )2 sin x y        为参数 ； （2）设点 (1 cos ,2 sin )( )P R     ，则点 P 到直线l 的距离为： |1 cos (2 sin ) 1| 2 d      | 2sin( ) 2|4 2     |2)4sin(|   所以当 sin( ) 14     时，点 21max d ， 此时 24 2 k      ，即 3 24 k   ， k z 所以 3 21 cos 1 cos( 2 ) 14 2k       ， 3 22 sin 2 sin( 2 ) 24 2k       所以点 P 坐标为 2 2(1 ,2 )2 2   ，点 P 到直线l 的距离最大值为 21 . 法 2：圆心 C(2，1)到直线l 的距离为 2d 故圆上的点 P 到直线 l 的最大距离 21max d 设过 C(2，1)与直线l 垂直的直线为 0l ，则 0l 的方程为 )1(2  xy ，即 3 xy 代入 2 2( 1) ( 2) =1x y   得 1)1()1( 22  xx 解得 12 2 x 由图可得取最大值点 P 的横坐标为 12 2 x 故点 P 的纵坐标为 22 2  所以点 P 坐标为 2 2(1 ,2 )2 2   ，点 P 到直线l 的距离最大值为 21 . 当 2x  时，3 0x  ，即 3x  ，解得： 3x  ， 所以不等式 ( ) 0f x  的解集为 5| 33x x x     或 ； （2）因为 (1, )x  ，所以不等式 ( ) 0f x  恒成立， 等价为 1 | 2 | 0x x m    恒成立，即 1 | 2 |x x m   ， 解得： 2 1x m x   或 1 2x x m   即 1 3 mx  或 1x m   恒成立， 因为 (1, )x  ，所以 1 1m   ，即 2m   ， 故 m 的取值范围为：[ 2, )  ．