2019-2020学年河南省鹤壁市淇滨高级中学高一上学期期中数学试题（解析版） 15页

‎2019-2020学年河南省鹤壁市淇滨高级中学高一上学期期中数学试题 一、单选题 ‎1．已知集合，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】本题考查集合间的关系,集合的运算 因为,所以则.故选C ‎2．函数y＝2＋logax(a＞0，且a≠1)，不论a取何值必过定点(　　)‎ A．(1，0) B．(3，0)‎ C．(1，2) D．(2，3)‎ ‎【答案】C ‎【解析】根据且)过定点，即可得结果．‎ ‎【详解】‎ 因为且)过定点，‎ 所以且)过定点，故选.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查对数函数的几何性质，属于简单题. 函数图象过定点问题主要有两种类型：（1）指数型，主要借助过定点解答；(2)对数型：主要借助过定点解答.‎ ‎3．某同学用二分法求方程在x∈（1，2）内近似解的过程中，设 ‎，且计算f（1）<0，f（2）>0，f（1.5）>0，则该同学在第二次应计算的函数值为 A．f（0.5） B．f（1.125）‎ C．f（1.25） D．f（1.75）‎ ‎【答案】C ‎【解析】先根据题目已知中的函数值，确定根的分布区间，再结合二分法的原理，可以求出 该同学在第二次应计算的函数值.‎ ‎【详解】‎ ‎∵f（1）<0，f（2）>0，f（1.5）>0，∴在区间（1，1.5）内函数f（x）＝3x+3x–8存在一个零点，该同学在第二次应计算的函数值1.25，故选C．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了二分法的步骤，零点存在定理，考查了数学运算能力.‎ ‎4．若xlog34=1，则4x+4–x=‎ A．1 B．2 C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】条件可化为x=log43，运用对数恒等式，即可。‎ ‎【详解】‎ ‎∵xlog34=1，∴x=log43，∴4x=3，∴4x+4–x=3+．故选D．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查对数性质的简单应用，属于基础题目。‎ ‎5．已知幂函数y＝xn，y＝xm，y＝xp的图象如图，则(　　)‎ A．m＞n＞p B．m＞p＞n C．n＞p＞m D．p＞n＞m ‎【答案】C ‎【解析】直接根据不同幂函数图象的特点判断即可.‎ ‎【详解】‎ 根据幂函数的性质可得，幂函数的图象在上，指数大的函数，其图象在上面，结合所给函数图像可得,故选C.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查幂函数图象的特征，属于中档题.判断幂函数图象与指数之间的大小关系最主要的依据就是幂函数的图象在上“指大图高”.‎ ‎6．已知函数的图像是连续不断的，有如下，的对应值表：‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎15‎ ‎10‎ ‎-7‎ ‎6‎ ‎-4‎ ‎-5‎ 则函数在区间上的零点至少有（）‎ A．2 B．3个 C．4个 D．5个 ‎【答案】B ‎【解析】根据表格中各点对应的函数值的正负，以及连续函数的零点存在定理，得到答案.‎ ‎【详解】‎ 由题表可知.‎ 又的图像为连续不断的曲线，‎ 所以在区间，，上各至少有一个零点.‎ 因此上至少有3个零点，‎ 故选项.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查连续函数的零点存在定理，属于简单题.‎ ‎7．若定义运算a⊙b＝，则函数f(x)＝x⊙(2－x)的值域为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】本题的实质是实数，哪个数小就取那个数，只需比较与的大小即可，就可研究出函数的值域．‎ ‎【详解】‎ 解：在上单调递增，在上单调递减，‎ ‎，故选：B。‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了分段函数的值域问题，“分段函数”是指自变量在不同的取值范围内，其对应法则也不同的函数，它是一个函数，其定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集，解决分段函数的基本策略是：分段解决．‎ ‎8．已知，，，则的大小关系是( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】利用指数与对数的单调性与中间量0，1可求得三个数大小。‎ ‎【详解】‎ 由题意可得，所以，选B.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查的是比较指数式及对数式值的大小，构造合适函数，利用指数函数与对数函数的性质及单调性，结合中间量是常用方法。‎ ‎9．给定函数：①；②；③；④，其中在区间上单调递减的函数序号是（ ）‎ A．①② B．②③ C．③④ D．①④‎ ‎【答案】B ‎【解析】①，为幂函数，且的指数，在上为增函数；②，，为对数型函数，且底数，在上为减函数；③，在上为减函数，④为指数型函数，底数在上为增函数，可得解.‎ ‎【详解】‎ ‎①，为幂函数，且的指数，在上为增函数，故①不可选；‎ ‎②，，为对数型函数，且底数，在上为减函数，故②可选；‎ ‎③，在上为减函数，在上为增函数，故③可选；‎ ‎④为指数型函数，底数在上为增函数，故④不可选；‎ 综上所述，可选的序号为②③，‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查基本初等函数的单调性，熟悉基本初等函数的解析式、图像和性质是解决此类问题的关键，属于基础题.‎ ‎10．函数的递增区间是（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】先求定义域，再根据复合函数单调性求增区间 ‎【详解】‎ 或，‎ 因为为单调递增函数，所以的递增区间是，选D.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查对数型复合函数单调区间，考查基本分析求解能力，属基础题。‎ ‎11．已知函数，且，则实数的取值范围为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】由题意得函数为偶函数，且在上单调递减，在上单调递增．‎ ‎∵，‎ ‎∴，‎ 即或，‎ 解得或．‎ ‎∴实数的取值范围为．选D．‎ ‎12．已知满足对任意，都有成立，那么a的取值范围是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】判断函数的单调性．利用分段函数解析式，结合单调性列出不等式组求解即可．‎ ‎【详解】‎ 解：满足对任意，都有成立，‎ 所以分段函数是减函数，‎ 所以：，解得．‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查分段函数的单调性的应用，函数的单调性的定义的理解，考查转化思想以及计算能力．‎ 二、填空题 ‎13．已知函数，则______.‎ ‎【答案】-4‎ ‎【解析】先求，再求.‎ ‎【详解】‎ 因为函数，‎ 则 ‎.故答案为-4.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了分段函数求值，属于简单题型.‎ ‎14．已知函数的定义域为______．‎ ‎【答案】 .‎ ‎【解析】根据函数的解析式有意义，得到不等式组，即可求解，得到答案.‎ ‎【详解】‎ 由题意，要使得函数有意义，则满足，‎ 解得，故函数定义域为.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了函数的定义域的求解，其中解答中熟记函数的定义域的定义，根据函数解析式有意义，得出不等式组是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.‎ ‎15．若，则__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】先由求出，再根据换底公式，即可求出结果.‎ ‎【详解】‎ 因为，所以，，因此，，‎ 所以.‎ 故答案为 ‎【点睛】‎ 本题主要考查对数运算，熟记对数运算法则，换底公式等即可，属于常考题型.‎ ‎16．已知函数若且 互不相等，则的取值范围是____．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】不妨设，作出函数图像，可得出，要求的取值范围，即求的取值范围，根据函数的图像可得的取值范围，从而得出结果。‎ ‎【详解】‎ 解：作出函数的图像，‎ 当时，函数，函数的对称轴为，‎ 当时，由，计算出，‎ 若互不相等，不妨设.‎ 因为，‎ 所以由图象可以知道，，，，‎ 且即.‎ 所以，‎ 因为，‎ 所以，‎ 即，‎ 所以的取值范围是．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了函数图像的运用、分段函数的概念等知识，解决问题的关键是能准确作出函数的图像，本题还考查了数形结合的思想。‎ 三、解答题 ‎17．已知集合,集合,求,‎ ‎【答案】；‎ ‎【解析】根据函数性质求得集合,根据指数函数的性质，求得集合，再根据集合的运算，即可求解．‎ ‎【详解】‎ 由题意，集合为函数的定义域,即,‎ 集合为函数,的值域,即 则.，所以．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了集合的运算，其中解答中根据指数函数与对数函数的性质，正确求解集合，再根据集合的运算求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．‎ ‎18．已知函数f(x)＝2x－.‎ ‎(1)判断函数的奇偶性，并证明；‎ ‎(2)用单调性的定义证明函数f(x)＝2x－在(0，＋∞)上单调递增．‎ ‎【答案】(1)函数f(x)＝2x－是奇函数．‎ 证明如下：易知f(x)的定义域为{x|x≠0}，关于原点对称．‎ 因为f(－x)＝2(－x)－＝－2x＋＝－＝－f(x)，所以f(x)是奇函数．‎ ‎(2)证明：任取x1，x2∈(0，＋∞)，且x10，x1x2>0，‎ 所以f(x2)－f(x1)>0，即f(x2)>f(x1)，‎ 所以f(x)＝2x－在(0，＋∞)上单调递增．‎ ‎【解析】（1）由定义判断与的关系，即可判断函数奇偶性；‎ ‎（2）由定义证明单调性，假设定义域内的两自变量的值，作差求的符号，进而判断单调性.‎ ‎【详解】‎ ‎(1)函数f(x)＝2x－是奇函数．‎ 证明如下：易知f(x)的定义域为{x|x≠0}，关于原点对称．‎ 因为f(－x)＝2(－x)－＝－2x＋＝－＝－f(x)，所以f(x)是奇函数．‎ ‎(2)证明：任取x1，x2∈(0，＋∞)，且x10，x1x2>0，‎ 所以f(x2)－f(x1)>0，即f(x2)>f(x1)，‎ 所以f(x)＝2x－在(0，＋∞)上单调递增．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查函数奇偶性的判断与单调性的证明，在解答题中证明函数的奇偶性，只能利用奇偶性的定义，在解答题中证明函数的单调性也要用定义证明，在选择题填空题中可由函数图像进行简单的判断.‎ ‎19．已知f(x)是定义在R上的偶函数，且当x≥0时，f(x)＝loga(x＋1)(a＞0，且a≠1)．‎ ‎(1)求函数f(x)的解析式；‎ ‎(2)若－1＜f(1)＜1，求实数a的取值范围．‎ ‎【答案】(1) f(x)＝ (2)∪(2，＋∞)．‎ ‎【解析】（1）利用代入法求出函数在x＜0时的解析式，即得函数f(x)的解析式；（2）对a分类讨论，解不等式－1＜loga2＜1得解.‎ ‎【详解】‎ ‎(1)当x＜0时，－x＞0，‎ 由题意知f(－x)＝loga(－x＋1)，‎ 又f(x)是定义在R上的偶函数，∴f(－x)＝f(x)．‎ ‎∴当x＜0时，f(x)＝loga(－x＋1)，‎ ‎∴函数f(x)的解析式为f(x)＝‎ ‎(2)∵－1＜f(1)＜1，∴－1＜loga2＜1，‎ ‎∴loga＜loga2＜logaa.‎ ‎①当a＞1时，原不等式等价于解得a＞2；‎ ‎②当0＜a＜1时，原不等式等价于 解得0＜a＜.‎ 综上，实数a的取值范围为∪(2，＋∞)．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查奇偶函数在对称区间的解析式的求法，考查对数不等式的解法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.‎ ‎20．已知函数 ‎ ‎（1）当时，求的最值；‎ ‎（2）求实数的取值范围，使在区间上是单调函数；‎ ‎（3）当时，求的单调区间．‎ ‎【答案】（1）最大值为43，最小值为；（2）或 ；（3）增区间是，递减区间是 ‎【解析】（1）将代入，利用二次函数的单调性可求出最值；（2）求出的对称轴，要使在区间上是单调函数，只需或，求解即可；（3）将代入，得到的表达式，画出图象，可求得 的单调区间．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）当时，，是开口向上，对称轴为的二次函数，则在上单调递减，在上单调递增，故，.‎ ‎（2）是开口向上，对称轴为的二次函数，要使在区间上是单调函数，只需或，解得或.‎ ‎（3）当时，，其图象如下图所示，从图中可知在上的增区间是，递减区间是.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查二次函数在闭区间上的最值、二次函数的单调性，考查了含绝对值函数的单调性，属于中档题.‎ ‎21．已知的定义域为,且满足,对任意,x2,都有,当时,．‎ 求；              ‎ 证明在上是增函数；‎ 解不等式．‎ ‎【答案】0；证明见解析；  .‎ ‎【解析】由已知中,令,可得的值；‎ 由,可得,结合时,及增函数的定义可证得结论；‎ 令,可得,,,可得,结合的定义域为,,及中函数的单调性,可将不等式转化为一个关于 的不等式.本题考查的知识点是抽象函数及其应用．‎ ‎【详解】‎ 对任意, ,都有,‎ 令,‎ ‎,‎ 则 设,且,‎ 对任意,,都有,‎ 则 ‎,‎ ‎,又当时,,,‎ 在上是增函数 令,则,‎ 令,,则,‎ 结合的定义域为,恒成立，‎ ‎  .‎ 不等式的解集为 ‎【点睛】‎ 本题考查的是抽象函数及其应用,函数的单调性证明,以及赋值法的应用,属于中档题,在解答的过程当中充分体现了函数单调性的定义、作差法以及赋值法等知识值得同学们体会和反思．‎ ‎22．设函数，.‎ ‎（1）求函数的解析式；‎ ‎（2）设，在上的最小值为，求.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】（1）由，代入得，求得，即可得到函数的解析式；‎ ‎（2）由，得，令，得到函数，利用二次函数的性质，即可求解.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由函数，且，‎ 可得，整理得，解得或（舍去），‎ 所以函数的解析式为.‎ ‎（2）由，‎ 可得，‎ 令，‎ 可得函数为增函数，∵，∴，‎ 令.‎ 若，当时，，∴，∴ ‎ 若，当时，，解得，舍去.‎ 综上可知.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了指数函数图象与性质，以及二次函数的图象与性质的综合应用，其中解答中熟记指数的运算性质，以及合理换元法和二次函数的图象与性质求解是解答的关键，着重考查了换元思想，以及推理与运算能力，属于中档试题.‎