数学理卷·2018届湖南省宁乡一中等五市十校教研教改共同体高三12月联考（2017 10页

湖南省五市十校教研教改共同体2018届高三12月联考 数学（理）试题 第Ⅰ卷（共60分）‎ 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.已知集合，，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎2.已知是虚数单位，复数满足，则的虚部是（ ）‎ A．1 B． C． D．‎ ‎3.已知实数满足，则下列关系式恒成立的是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎4.世界数学名题“问题”：任取一个自然数，如果它是偶数，我们就把它除以2，如果它是奇数，我们就把它乘3再加上1.在这样一个变换下，我们就得到了一个新的自然数.如果反复使用这个变换，我们就会得到一串自然数，猜想就是：反复进行上述运算后，最后结果为1.现根据此问题设计一个程序框图如图所示.执行该程序框图，输入的，则输出（ ）‎ A．3 B．5 C．6 D．7‎ ‎5.已知是等比数列的前项和，成等差数列，若，则为（ ）‎ A．3 B．6 C. 8 D．9‎ ‎6.若实数满足不等式组，若目标函数的最大值为1，则实数的值是（ ）‎ A． B．1 C. D．3‎ ‎7.图一是美丽的“勾股树”，它是一个直角三角形分别以它的每一边向外作正方形而得到.图二是第1代“勾股树”，重复图二的作法，得到图三为第2代“勾股树”，以此类推，已知最大的正方形面积为1，则第代“勾股树”所有正方形的面积的和为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎8.设双曲线的右焦点为，点在双曲线上，是坐标原点，若四边行为平行四边形，且四边形的面积为，则双曲线的离心率为（ ）‎ A． B．2 C. D．‎ ‎9.将余弦函数的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的倍（横坐标不变），再将所得到的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象.若关于的方程在内有两个不同的解，则实数的取值范围为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎10. 已知某几何体的三视图如图所示，正视图是斜边长为2的等腰直角三角形，侧视图是直角边长为1的等腰直角三角形，则该几何体的外接球的表面积为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎11. 定义在实数集上的函数，满足，当时，，则函数的零点个数为（ ）‎ A．31 B．32 C. 63 D．64‎ ‎12. 在中，，，点是所在平面内一点，则当取得最小值时，（ ）‎ A． B． C. D．24‎ 第Ⅱ卷（共90分）‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13. 的展开式中的系数为 ．‎ ‎14．已知是两条不同的直线，是两个不同的平面.‎ ‎①若，则；‎ ‎②如果，则；‎ ‎③若，且，则；‎ ‎④若不平行，则与不可能垂直于同一平面.‎ 其中为真命题的是 ．‎ ‎15．过抛物线的焦点的直线与抛物线交于两点（其中点在第一象限），若，则直线的斜率为 ．‎ ‎16．设数列的前项积是，且，.若，则数列的前项和为 ．‎ 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） ‎ ‎17. 已知向量，且函数.‎ ‎（1）若，求的值；‎ ‎（2）在中，且，求面积的最大值.‎ ‎18.如图，四边形与均为菱形，，且.‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）求直线与平面所成角的正弦值.‎ ‎19. “一带一路”近年来成为了百姓耳熟能详的热门词汇，对于旅游业来说，“一带一路”战略的提出，让“丝路之旅”超越了旅游产品、旅游线路的简单范畴，赋予了旅游促进跨区域融合的新理念. 而其带来的设施互通、经济合作、人员往来、文化交融更是将为相关区域旅游发展带来巨大的发展机遇.为此，旅游企业们积极拓展相关线路；各地旅游主管部门也在大力打造丝路特色旅游品牌和服务.某市旅游局为了解游客的情况，以便制定相应的策略. 在某月中随机抽取甲、乙两个景点10天的游客数，统计得到茎叶图如下：‎ ‎（1）若将图中景点甲中的数据作为该景点较长一段时期内的样本数据，以每天游客人数频率作为概率.今从这段时期内任取4天，记其中游客数超过130人的天数为，求概率 ；‎ ‎（2）现从上图20天的数据中任取2天的数据（甲、乙两景点中各取1天），记其中游客数不低于125且不高于135人的天数为，求的分布列和数学期望.‎ ‎20.已知椭圆的一个焦点与上、下顶点构成直角三角形，以椭圆的长轴长为直径的圆与直线相切.‎ ‎（1）求椭圆的标准方程；‎ ‎（2）设过椭圆右焦点且不平行于轴的动直线与椭圆相交于两点，探究在轴上是否存在定点，使得为定值？若存在，试求出定值和点的坐标；若不存在，请说明理由.‎ ‎21. 已知函数.‎ ‎（1）当时，求函数的图象在处的切线方程；‎ ‎（2）若函数在定义域上为单调增函数.‎ ‎①求最大整数值； ‎ ‎②证明：.‎ 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.‎ ‎22.选修4-4:坐标系与参数方程 在平面直角坐标系中，直线经过点，倾斜角为.在以原点为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线的方程为.‎ ‎（1）写出直线的参数方程和曲线的直角坐标方程；‎ ‎（2）设直线与曲线相交于两点，求的值.‎ ‎23.选修4-5:不等式选讲 ‎ 已知函数.‎ ‎（1）求不等式的解集；‎ ‎（2）证明：对于任意的，都有成立.‎ 试卷答案 一、选择题 ‎1-5: AADCB 6-10: BDCAB 11、12：BD 二、填空题 ‎13. 4 14. ②④ 15. 16.‎ 三、解答题 ‎17. （1）由题意知，，‎ ‎∴，∴.‎ ‎（2）由题意知，，‎ ‎∴，又，∴.‎ 在中，.‎ ‎∴，当且仅当时“”成立，‎ 故的面积的最大值为. ‎ ‎18. （1）设与相交于点，连接，‎ ‎∵四边形为菱形，∴，且为中点，‎ ‎∵，∴,‎ 又，∴平面.‎ ‎（2）连接，∵四边形为菱形，且，∴为等边三角形，‎ ‎∵为中点，∴，又，∴平面.‎ ‎∵两两垂直，∴建立空间直角坐标系，如图所示，‎ 设，∵四边形为菱形，，∴. ‎ ‎∵为等边三角形，∴.‎ ‎∴，‎ ‎∴.‎ 设平面的法向量为，则，‎ 取，得. ‎ 设直线与平面所成角为，‎ 则.‎ ‎19. （1）由题意知，景点甲的每一天的游客数超过130人的概率为.‎ 任取4天，即是进行了4次独立重复试验，其中有次发生， ‎ 则随机变量服从二项分布，‎ ‎∴‎ ‎.‎ ‎（2）从图中看出，景点甲的数据中符合条件的只有1天，景点乙的数据中符合条件的有4天，所以在景点甲中被选出的概率为，在景点乙中被选出的概率为.‎ 由题意知的所有可能的取值为0、1、2，‎ 则；；‎ ‎.‎ ‎∴的分布列为 ‎∴.‎ ‎20. （1）由题意知，，解得，‎ 则椭圆的方程为.‎ ‎（2）当直线的斜率存在时，设直线,‎ 联立，得，‎ ‎∴.‎ 假设轴上存在定点，使得为定值，‎ ‎∴‎ ‎.‎ 要使为定值，则的值与无关，∴，‎ 解得，此时为定值，定点为.‎ 当直线的斜率不存在时，也满足条件.‎ ‎21. （1）当时，，∴，‎ 又，∴，‎ 则所求切线方程为，即.‎ ‎（2）由题意知，/(x) =，一ln(x + a)•‎ 若函数在定义域上为单调增函数，则/恒成立.‎ ‎①先证明.设，则，‎ 则函数在上单调递减，在上单调递增，‎ ‎∴，即.‎ 同理可证，∴,∴.‎ 当时，恒成立.‎ 当时，，即不恒成立. ‎ 综上所述，的最大整数值为2. ‎ ‎②由①知，，令，‎ ‎∴，∴.‎ 由此可知，当时，.当时，，‎ 当时，，，当时，.‎ 累加得.‎ 又，‎ ‎∴.‎ ‎22.（1）直线的参数方程为 (为参数）.‎ ‎∵，∴，∴，即，‎ 故曲线的直角坐标方程为.‎ ‎（2）将的参数方程代入曲线的直角坐标方程，得，‎ 显然, ∴, ∴，‎ ‎，‎ ‎∴.‎ ‎23.（1）∵，∴.‎ 当时，不等式可化为，解得，∴；‎ 当,不等式可化为，解得， 无解；‎ 当时，不等式可化为，解得，∴.‎ 综上所述，或.‎ ‎（2）∵，‎ 要证成立，只需证，‎ 即证，即证,即证.‎ 由（1）知，或，∵，∴，‎ ‎∴成立.‎ 综上所述，对于任意的都有成立.‎