数学卷·2018届福建省龙岩市连城一中高二上学期期中数学理试卷（解析版） 19页

‎2016-2017学年福建省龙岩市连城一中高二（上）期中数学试卷 ‎　‎ 一、选择题（每题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的）‎ ‎1．已知数列1，，，，…，，…，则3是它的（　　）‎ A．第22项 B．第23项 C．第24项 D．第28项 ‎2．下列命题正确的是（　　）‎ A．若a＞b，则 B．若a•c2＞b•c2，则a＞b C．若a＞b，则a•c2＞b•c2 D．若a＞b＞0，c＞d，则a•c＞b•d ‎3．在△ABC中，b=35，c=20，C=30°，则此三角形解的情况是（　　）‎ A．两解 B．一解 C．一解或两解 D．无解 ‎4．F1（﹣4，0）、F2（4，0）为两个定点，P为动点，若|PF1|+|PF2|=8，则动点P的轨迹为（　　）‎ A．椭圆 B．直线 C．射线 D．线段 ‎5．过点（3，﹣2）且与椭圆3x2+8y2=24有相同焦点的椭圆方程为（　　）‎ A． +=1 B． +=1‎ C． +=1 D． +=1‎ ‎6．下列有关命题的说法错误的是（　　）‎ A．命题“同位角相等，两直线平行”的逆否命题为：“两直线不平行，同位角不相等”‎ B．“若实数x，y满足x2+y2=0，则x，y全为0”的否命题为真命题 C．若p∧q为假命题，则p、q均为假命题 D．对于命题p：∃x0∈R，，则¬p：∀x∈R，x2+2x+2＞0‎ ‎7．若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎8．已知{an}为等差数列，a1+a3+a5=105，a2+a4+a6=99，以Sn表示{an}的前n项和，则使得Sn达到最大值的n是（　　）‎ A．21 B．20 C．19 D．18‎ ‎9．已知实数a＞0，b＞0，是4a与2b的等比中项，则的最小值是（　　）‎ A． B． C．8 D．4‎ ‎10．曲线x2+y2=1与直线x+y﹣1=0交于P，Q两点，M为PQ中点，则kOM=（　　）‎ A．﹣ B．﹣ C． D．‎ ‎11．已知F1，F2是椭圆C：（a＞b＞0）的两个焦点，P为椭圆C上一点，且∠F1PF2=，若△PF1F2的面积为，则b=（　　）‎ A．9 B．3 C．4 D．8‎ ‎12．已知O为坐标原点，F是椭圆C： +=1（a＞0）的左焦点，A，B分别为C的左右顶点．P为C上一点，且PF⊥x轴，过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E．若直线BM经过OE的中点，则a=（　　）‎ A．3 B．2 C．2 D．4‎ ‎　‎ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分．）‎ ‎13．设变量x，y满足约束条件，则z=x﹣2y的最小值为　　．‎ ‎14．若关于x的不等式x2﹣ax﹣a≤﹣3的解集不是空集，则实数a的取值范围是　　．‎ ‎15．一船以每小时12海里的速度向东航行，在A处看到一个灯塔B在北偏东60°，行驶4小时后，到达C处，看到这个灯塔B在北偏东15°，这时船与灯塔相距为　　海里．‎ ‎16．直线x﹣2y+3=0与椭圆 相交于A，B两点，且P（﹣1，1）恰好为AB中点，则椭圆的离心率为　　．‎ ‎　‎ 三、解答题（本部分共计6小题，满分70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，请在指定区域内作答，否则该题计为零分．）‎ ‎17．设△ABC的内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，已知a=1，b=2，cosC=．‎ ‎（1）求△ABC的周长；‎ ‎（2）求cosA的值．‎ ‎18．命题p：“方程x2+kx+=0没有实数根”（k∈R）；命题q：y=log2（kx2+kx+1）定义域为R，若命题p∨q为真命题，p∧q为假命题，求实数k的取值范围．‎ ‎19．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a2与a10的等差中项是﹣2，且a1a6=14 ‎ ‎（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）设f（n）=（n∈N*），求f（n）最小值及相应的n的值．‎ ‎20．已知A（2，0），M是椭圆C： +y2=1（其中a＞1）的右焦点，P是椭圆C上的动点．‎ ‎（Ⅰ）若M与A重合，求椭圆C的离心率；‎ ‎（Ⅱ）若a=3，求|PA|的最大值与最小值．‎ ‎21．已知Sn是数列{an}的前n项和，满足，正项等比数列{bn}的前n项和为Tn，且满足b3=8，T2=6．‎ ‎（Ⅰ）求数列{an}和{bn}的通项公式； ‎ ‎（Ⅱ）记，求数列{cn}的前n项和Gn．‎ ‎22．已知椭圆C： =1（a＞b＞0）的离心率为，椭圆C的长轴长为4．‎ ‎（1）求椭圆C的方程；‎ ‎（2）已知直线l：y=kx﹣‎ 与椭圆C交于A，B两点，是否存在实数k使得以线段AB为直径的圆恰好经过坐标原点O？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．‎ ‎　‎ ‎2016-2017学年福建省龙岩市连城一中高二（上）期中数学试卷 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题（每题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的）‎ ‎1．已知数列1，，，，…，，…，则3是它的（　　）‎ A．第22项 B．第23项 C．第24项 D．第28项 ‎【考点】数列的概念及简单表示法．‎ ‎【分析】先化简3=，进而利用通项即可求出答案．‎ ‎【解答】解：∵3=，令45=2n﹣1，解得n=23．∴3是此数列的第23项．‎ 故选B．‎ ‎　‎ ‎2．下列命题正确的是（　　）‎ A．若a＞b，则 B．若a•c2＞b•c2，则a＞b C．若a＞b，则a•c2＞b•c2 D．若a＞b＞0，c＞d，则a•c＞b•d ‎【考点】不等关系与不等式．‎ ‎【分析】对于B：可由不等式的基本性质得出；对于A、C、D举出反例即可．‎ ‎【解答】解：A．取a＞0＞b，则不成立，不正确；‎ B．∵a•c2＞b•c2，∴a＞b，正确；‎ C．若c=0时，虽然a＞b，但是a•c2=b•c2=0，故C不正确；‎ D．若5＞2＞0，﹣1＞﹣2，但是5×（﹣1）＜2×（﹣2），故D不一定成立．‎ 故选B．‎ ‎　‎ ‎3．在△ABC中，b=35，c=20，C=30°，则此三角形解的情况是（　　）‎ A．两解 B．一解 C．一解或两解 D．无解 ‎【考点】正弦定理．‎ ‎【分析】由题意求出a边上的高h，画出图象后，结合条件判断出此三角形解的情况．‎ ‎【解答】解：由题意知，b=35，c=20，C=30°，‎ 则a边上的高h=bsinC==，‎ 如右图所示：‎ 因＜c=20＜b，‎ 所以此三角形有两解，‎ 故选A．‎ ‎　‎ ‎4．F1（﹣4，0）、F2（4，0）为两个定点，P为动点，若|PF1|+|PF2|=8，则动点P的轨迹为（　　）‎ A．椭圆 B．直线 C．射线 D．线段 ‎【考点】轨迹方程．‎ ‎【分析】利用：|PF1|+|PF2|=|F1F2|，即可得出动点P的轨迹．‎ ‎【解答】解：F1，F2为平面上两个不同定点，|F1F2|=8，‎ 动点P满足：|PF1|+|PF2|=8，‎ 则动点P的轨迹是以F1，F2为端点的线段．‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎5．过点（3，﹣2）且与椭圆3x2+8y2=24有相同焦点的椭圆方程为（　　）‎ A． +=1 B． +=1‎ C． +=1 D． +=1‎ ‎【考点】椭圆的简单性质．‎ ‎【分析】将椭圆3x2+8y2=24转化成标准方程：，则c==，设所求椭圆：，（a＞），将点（3，﹣2）代入椭圆方程：整理得：a4﹣18a2+45=0，即可求得a2=15，即可求得椭圆的标准方程．‎ ‎【解答】解：由椭圆3x2+8y2=24转化成标准方程：，‎ 则焦点在x轴上，c==，‎ 则焦点坐标为：（﹣，0）（，0），‎ 则设所求椭圆为：，（a＞），‎ 将点（3，﹣2）代入椭圆方程：整理得：a4﹣18a2+45=0，‎ 解得：a2=15，a2=3（舍去），‎ ‎∴椭圆的标准方程为：，‎ 故选C．‎ ‎　‎ ‎6．下列有关命题的说法错误的是（　　）‎ A．命题“同位角相等，两直线平行”的逆否命题为：“两直线不平行，同位角不相等”‎ B．“若实数x，y满足x2+y2=0，则x，y全为0”的否命题为真命题 C．若p∧q为假命题，则p、q均为假命题 D．对于命题p：∃x0∈R，，则¬p：∀x∈R，x2+2x+2＞0‎ ‎【考点】命题的真假判断与应用．‎ ‎【分析】A，原命题的逆否命题命题是交换条件和结论，并同时否定，所以“同位角相等，两直线平行”的逆否命题为：“两直线不平行，同位角不相等“；‎ B，若实数x，y满足x2+y2=0，则x，y全为0”的否命题为“若实数x，y满足x2+y2≠0，则x，y不全为0“，是真命题；‎ C，若p∧q为假命题，则p，q至少一个为假命题；‎ D，特称命题的否定要换量词，再否定结论；对于命题p：∃x0∈R，，则¬p：∀x∈R，x2+2x+2＞0．‎ ‎【解答】对于A，原命题的逆否命题命题是交换条件和结论，并同时否定，所以“同位角相等，两直线平行”的逆否命题为：“两直线不平行，同位角不相等“，故A正确；‎ 对于B，若实数x，y满足x2+y2=0，则x，y全为0”的否命题为“若实数x，y满足x2+y2≠0，则x，y不全为0“，是真命题，故B正确；‎ C，若p∧q为假命题，则p，q至少一个为假命题，故C错；‎ D，特称命题的否定要换量词，再否定结论；对于命题p：∃x0∈R，，则¬p：∀x∈R，x2+2x+2＞0，故D正确；‎ ‎ 故答案为C．‎ ‎　‎ ‎7．若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】椭圆的应用；数列的应用．‎ ‎【分析】先设长轴为2a，短轴为2b，焦距为2c，由题意可知：a+c=2b，由此可以导出该椭圆的离心率．‎ ‎【解答】解：设长轴为2a，短轴为2b，焦距为2c，‎ 则2a+2c=2×2b，‎ 即a+c=2b⇒（a+c）2=4b2=4（a2﹣c2），所以3a2﹣5c2=2ac，同除a2，‎ 整理得5e2+2e﹣3=0，∴或e=﹣1（舍去），‎ 故选B．‎ ‎　‎ ‎8．已知{an}为等差数列，a1+a3+a5=105，a2+a4+a6=99，以Sn表示{an}的前n项和，则使得Sn达到最大值的n是（　　）‎ A．21 B．20 C．19 D．18‎ ‎【考点】等差数列的前n项和．‎ ‎【分析】写出前n项和的函数解析式，再求此式的最值是最直观的思路，但注意n取正整数这一条件．‎ ‎【解答】解：设{an}的公差为d，由题意得 a1+a3+a5=a1+a1+2d+a1+4d=105，即a1+2d=35，①‎ a2+a4+a6=a1+d+a1+3d+a1+5d=99，即a1+3d=33，②‎ 由①②联立得a1=39，d=﹣2，‎ ‎∴Sn=39n+×（﹣2）=﹣n2+40n=﹣（n﹣20）2+400，‎ 故当n=20时，Sn达到最大值400．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎9．已知实数a＞0，b＞0，是4a与2b的等比中项，则的最小值是（　　）‎ A． B． C．8 D．4‎ ‎【考点】基本不等式．‎ ‎【分析】利用等比中项的性质可得2a+b=1．再利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出．‎ ‎【解答】解：∵实数a＞0，b＞0，是4a与2b的等比中项，∴2=4a•2b，∴2a+b=1．‎ 则=（2a+b）=4++≥4+2=8，当且仅当b=2a=时取等号．‎ 其最小值是8．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎10．曲线x2+y2=1与直线x+y﹣1=0交于P，Q两点，M为PQ中点，则kOM=（　　）‎ A．﹣ B．﹣ C． D．‎ ‎【考点】椭圆的简单性质．‎ ‎【分析】联立直线方程和椭圆方程，化为关于x的一元二次方程，利用根与系数的关系得到M的坐标，代入斜率公式得答案．‎ ‎【解答】解：联立，得，‎ 设P（x1，y1），Q（x2，y2），‎ 则=，，‎ ‎∴M坐标为（，2﹣），‎ 则kOM=．‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎11．已知F1，F2是椭圆C：（a＞b＞0）的两个焦点，P为椭圆C上一点，且∠F1PF2=，若△PF1F2的面积为，则b=（　　）‎ A．9 B．3 C．4 D．8‎ ‎【考点】椭圆的简单性质．‎ ‎【分析】设|PF1|=m，|PF2|=n，利用定义可得m+n=2a，利用余弦定理可得：（2c）2=m2+n2﹣2mn=（m+n）2﹣mn，化简可得：4b2=mn．又mnsin=9，代入解出即可得出．‎ ‎【解答】解：设|PF1|=m，|PF2|=n，则m+n=2a，‎ ‎（2c）2=m2+n2﹣2mn=（m+n）2﹣mn，‎ ‎∴4b2=mn．‎ 又mnsin=9，∴=9，解得b=3．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎12．已知O为坐标原点，F是椭圆C： +=1（a＞0）的左焦点，A，B分别为C的左右顶点．P为C上一点，且PF⊥x轴，过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E．若直线BM经过OE的中点，则a=（　　）‎ A．3 B．2 C．2 D．4‎ ‎【考点】椭圆的简单性质．‎ ‎【分析】由已知条件得到A，B的坐标，再结合平行线的性质，求出a=3c，得到b2=8c2，求出c2，即可得到a的值．‎ ‎【解答】解：A（﹣a，0），B（a，0），结合平行线的性质：由MF∥OE，得且，‎ ‎∴，即，则a=3c，则b2=16=8c2，‎ ‎∴c2=2，a2=18，即a=．‎ 故选：A．‎ ‎　‎ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分．）‎ ‎13．设变量x，y满足约束条件，则z=x﹣2y的最小值为　﹣3　．‎ ‎【考点】简单线性规划．‎ ‎【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，进行求最值即可．‎ ‎【解答】解：由z=x﹣2y得y=，‎ 平移直线y=，‎ 由图象可知当直线y=，过点A时，直线y=的截距最大，此时z最小，‎ 由得，即A（1，2），‎ 代入目标函数z=x﹣2y，‎ 得z=1﹣4=﹣3．‎ ‎∴目标函数z=x﹣2y的最小值是﹣3．‎ 故答案为：﹣3‎ ‎　‎ ‎14．若关于x的不等式x2﹣ax﹣a≤﹣3的解集不是空集，则实数a的取值范围是　{a|a≤﹣6，或a≥2}　．‎ ‎【考点】二次函数的性质．‎ ‎【分析】不等式x2﹣ax﹣a≤﹣3的解集不是空集，即b2﹣4ac≥0即可，从而求出a的取值范围．‎ ‎【解答】解：∵不等式x2﹣ax﹣a≤﹣3，‎ ‎∴x2﹣ax﹣a+3≤0；‎ ‎∴a2﹣4（﹣a+3）≥0，‎ 即a2+4a﹣12≥0；‎ 解得a≤﹣6，或a≥2，‎ 此时原不等式的解集不是空集，‎ ‎∴a的取值范围是{a|a≤﹣6，或a≥2}；‎ 故答案为：{a|a≤﹣6，或a≥2}．‎ ‎　‎ ‎15．一船以每小时12海里的速度向东航行，在A处看到一个灯塔B在北偏东60°，行驶4小时后，到达C处，看到这个灯塔B在北偏东15°，这时船与灯塔相距为　24　海里．‎ ‎【考点】解三角形的实际应用．‎ ‎【分析】根据题意求出∠B与∠BAC的度数，再由AC的长，利用正弦定理即可求出BC的长 ‎【解答】解：根据题意，可得出∠B=75°﹣30°=45°，‎ 在△ABC中，根据正弦定理得：BC==24海里，‎ 则这时船与灯塔的距离为24海里．‎ 故答案为：24．‎ ‎　‎ ‎16．直线x﹣2y+3=0与椭圆相交于A，B两点，且P（﹣1，1）恰好为AB中点，则椭圆的离心率为　　．‎ ‎【考点】椭圆的简单性质．‎ ‎【分析】联立直线与椭圆的方程得关于x的一元二次方程；设出A、B两点的坐标，由根与系数的关系，可得x1+x2，y1+y2；从而得线段AB的中点坐标，得出a、c的关系，从而求得椭圆的离心率．‎ ‎【解答】解：由，‎ 消去x，得（4b2+a2）x2﹣12b2x+9b2﹣a2b2=0，‎ ‎△=144b4﹣4（a2+4b2）（9b2﹣a2b2）＞0⇒a2+4b2＞9，‎ 设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1+y2=，‎ ‎∵线段AB的中点为（﹣1，1），‎ ‎∴=2，于是得a2=2b2，‎ 又a2=b2+c2，∴a2=2c2，∴e==．‎ 故答案为：．‎ ‎．‎ ‎　‎ 三、解答题（本部分共计6小题，满分70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，请在指定区域内作答，否则该题计为零分．）‎ ‎17．设△ABC的内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，已知a=1，b=2，cosC=．‎ ‎（1）求△ABC的周长；‎ ‎（2）求cosA的值．‎ ‎【考点】余弦定理．‎ ‎【分析】（1）利用余弦定理可得：c，即可得出周长；‎ ‎（2）利用余弦定理即可得出．‎ ‎【解答】解：（1）∵a=1，b=2，cosC=，‎ ‎∴c2=a2+b2﹣2abcosC==4，‎ 解得c=2．‎ ‎∴△ABC的周长=1+2+2=5．‎ ‎（2）cosA===．‎ ‎　‎ ‎18．命题p：“方程x2+kx+=0没有实数根”（k∈R）；命题q：y=log2（kx2+kx+1）定义域为R，若命题p∨q为真命题，p∧q为假命题，求实数k的取值范围．‎ ‎【考点】命题的真假判断与应用．‎ ‎【分析】直接求出p，q两个命题成立时的k的范围，然后利用p∨q为真命题，p∧q为假命题，得到命题p，q一个为真，一个为假．即可求解结果．‎ ‎【解答】（本小题满分12分）‎ 解：p：由（k﹣3）（k+3）＜0得：﹣3＜k＜3…，‎ q：令t=kx2+kx+1，由t＞0对x∈R恒成立．…‎ ‎（1）当k=0时，1＞0，∴k=0符合题意．…‎ ‎（2）当k≠0时，，‎ 由△=k2﹣4×k×1＜0得k（k﹣4）＜0，解得：0＜k＜4…‎ 综上得：q：0≤k＜4．…‎ 因为p∨q为真命题，p∧q为假命题，所以命题p，q一个为真，一个为假．…‎ ‎∴或…‎ ‎∴﹣3＜k＜0或3≤k＜4…‎ 说明：k=0没讨论其它将错就错对的扣 ‎　‎ ‎19．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a2与a10的等差中项是﹣2，且a1a6=14 ‎ ‎（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）设f（n）=（n∈N*），求f（n）最小值及相应的n的值．‎ ‎【考点】数列的求和；数列递推式．‎ ‎【分析】（Ⅰ）根据等差中项的性质、等差数列的通项公式，求出a1、公差d，代入通项公式求出an；‎ ‎（Ⅱ）由等差数列的前n项和公式求出Sn，代入f（n）=（n∈N*），化简后，利用基本不等式求出f（n）最小值及相应的n的值．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）∵a2与a10的等差中项是﹣2，‎ ‎∴a6=（a2+a10）=﹣2，‎ ‎∵a1•a6=14，∴a1=﹣7，‎ ‎∴公差d==1，‎ 则an=﹣7+（n﹣1）=n﹣8．‎ ‎（Ⅱ）∵a1=﹣7，an=n﹣8，‎ ‎∴Sn=n2﹣‎ ‎∴==n+﹣17≥2﹣17=﹣9，‎ 当且仅当n=，即n=4时取等号，‎ 故当n=4时，所求最小值为﹣9．‎ ‎　‎ ‎20．已知A（2，0），M是椭圆C： +y2=1（其中a＞1）的右焦点，P是椭圆C上的动点．‎ ‎（Ⅰ）若M与A重合，求椭圆C的离心率；‎ ‎（Ⅱ）若a=3，求|PA|的最大值与最小值．‎ ‎【考点】椭圆的简单性质．‎ ‎【分析】（Ⅰ）由题意可知：c=2，又b=1，则a2=b2+c2=5，求得a，即可椭圆C的离心率；‎ ‎（Ⅱ）当a=3，求得椭圆方程，丨PA丨2=（x﹣2）2+y2═（x﹣）2+，（﹣3≤x≤3），根据二次函数图象及性质，即可求得|PA|的最大值与最小值．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）由条件可知c=2，又b=1，‎ ‎∴a2=b2+c2=4+1=5，即a=，‎ ‎∴离心率为e===；…‎ ‎（Ⅱ）若a=3，则椭圆方程为，设P（x，y），‎ 则丨PA丨2=（x﹣2）2+y2=（x﹣2）2+1﹣=（x﹣）2+，（﹣3≤x≤3）…‎ 故当x=时，丨PA丨min=；‎ 当x=﹣3时，丨PA丨max=5．…（若未说明x的取值扣1分）‎ ‎　‎ ‎21．已知Sn是数列{an}的前n项和，满足，正项等比数列{bn}的前n项和为Tn，且满足b3=8，T2=6．‎ ‎（Ⅰ）求数列{an}和{bn}的通项公式； ‎ ‎（Ⅱ）记，求数列{cn}的前n项和Gn．‎ ‎【考点】数列的求和．‎ ‎【分析】（1）利用递推关系可得an．利用等比数列的通项公式及其前n项和公式可得bn．‎ ‎（2）利用“错位相减法”与等比数列的前n项和公式即可得出．‎ ‎【解答】解：（1）n=1，a1=S1=2n≥2，an=Sn﹣Sn﹣1=n+1，‎ ‎∴an=n+1．‎ 设等比数列{bn}的公比为q，首项为b1，依题意可知或（舍），‎ ‎∴．‎ ‎（2）则Gn=2×2+3×22+4×23+…+n×2n﹣1+（n+1）×2n，‎ ‎2Gn=2×22+3×23+…+（n﹣1）×2n﹣1+n×2n+（n+1）2n+1，‎ ‎∴﹣Tn=2×2+（22+23+…+2n）﹣（n+1）×2n+1，‎ 即﹣Tn=2×2+﹣（n+1）×2n+1，‎ ‎﹣Tn=2×2+2n+1﹣4﹣（n+1）×2n+1，‎ ‎﹣Tn=2n+1﹣（n+1）×2n+1，‎ ‎﹣Tn=﹣n×2n+1，‎ Tn=n•2n+1，n∈N*．‎ ‎　‎ ‎22．已知椭圆C： =1（a＞b＞0）的离心率为，椭圆C的长轴长为4．‎ ‎（1）求椭圆C的方程；‎ ‎（2）已知直线l：y=kx﹣与椭圆C交于A，B两点，是否存在实数k使得以线段AB为直径的圆恰好经过坐标原点O？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．‎ ‎【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．‎ ‎【分析】（1）设椭圆的焦半距为c，利用离心率为，椭圆C的长轴长为4．列出方程组求解c，推出b，即可得到椭圆的方程．‎ ‎（2）存在实数k使得以线段AB为直径的圆恰好经过坐标原点O．设点A（x1，y1），B（x2，y2），将直线l的方程代入，化简，利用韦达定理，结合向量的数量积为0，转化为：x1x2+y1y2=0．求解即可．‎ ‎【解答】解：（1）设椭圆的焦半距为c，则由题设，得，‎ 解得，所以b2=a2﹣c2=4﹣3=1，‎ 故所求椭圆C的方程为．‎ ‎（2）存在实数k使得以线段AB为直径的圆恰好经过坐标原点O．‎ 理由如下：‎ 设点A（x1，y1），B（x2，y2），‎ 将直线l的方程代入，‎ 并整理，得．（*）‎ 则，．‎ 因为以线段AB为直径的圆恰好经过坐标原点O，‎ 所以，即x1x2+y1y2=0．‎ 又 于是，解得，‎ 经检验知：此时（*）式的△＞0，符合题意．‎ 所以当时，以线段AB为直径的圆恰好经过坐标原点O．‎ ‎　‎ ‎2017年1月15日