专题43 排列与组合-2018年高考数学（理）热点题型和提分秘籍 13页

专题43 排列与组合 ‎2018年高考数学（理）热点题型和提分秘籍 ‎【高频考点解读】‎ ‎1．理解排列、组合的概念 ‎2．理解排列数公式、组合数公式 ‎3．能利用公式解决一些简单的实际问题 ‎【热点题型】‎ 热点题型一 排列问题 例1、有5个同学排队照相，求：‎ ‎(1)甲、乙两个同学必须相邻的排法有多少种？‎ ‎(2)甲、乙、丙3个同学互不相邻的排法有多少种？‎ ‎(3)乙不能站在甲前面，丙不能站在乙前面的排法有多少种？‎ ‎(4)甲不站在中间位置，乙不站在两端两个位置的排法有多少种？‎ 解析：(1)这是典型的相邻问题，采用捆绑法。先排甲、乙，有A种方法，再与其他3名同学排列，共有A·A＝48(种)不同排法。‎ ‎(2)这是不相邻问题，采用插空法，先排其余的2名同学，有A种排法，出现3个空，将甲、乙、丙插空，所以共有A·A＝12(种)排法。‎ ‎(3)这是顺序一定问题，由于乙不能站在甲前面，丙不能站在乙前面，故3人只能按甲、乙、丙这一种顺序排列。‎ ‎ (4)方法一：(直接法)若甲排在了两端的两个位置之一，甲有A种，乙有A种，其余3人有A种，所以共有A·A·A种；若甲排在了第2和第4两个位置中的一个，有A种，这时乙有A种，其余3人有A种，所以一共有A·A·A种，因此符合要求的一共有A·A·A＋A·A·A＝60(种)排法。‎ 方法二：(间接法)5个人全排列有A种，其中甲站在中间时有A种，乙站在两端时有2A种，且甲站中间同时乙在两端时有2A种，‎ 所以一共有A－A－2A＋2A＝60(种)排法。‎ ‎【提分秘籍】‎ 求解排列应用题的主要方法 直接法 把符合条件的排列数直接列式计算 优先法 优先安排特殊元素或特殊位置 捆绑法 把相邻元素看作一个整体与其他元素一起排列，同时注意捆绑元素的内部排列 插空法 对不相邻问题，先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素排列的空档中 先整体 后局部 ‎“小集团”排列问题中先整体后局部 定序问题 除法处理 对于定序问题，可先不考虑顺序限制，排列后，再除以定序元素的全排列 间接法 正难则反，等价转化的方法 ‎【举一反三】 ‎ ‎8名游泳运动员参加男子100米的决赛，已知游泳池有从内到外编号依次为1,2,3,4,5,6,7,8的8条泳道，若指定的3名运动员所在的泳道编号必须是3个连续数字(如：5,6,7)，则参加游泳的这8名运动员被安排泳道的方式共有(　　)‎ A．360种 B．4 320种 C．720种 D．2 160种 热点题型二 组合问题 ‎ 例2、从7名男生5名女生中选取5人当班干部，分别求符合下列条件的选法总数有多少种。‎ ‎(1)A，B必须当选；‎ ‎(2)A，B必不当选；‎ ‎(3)A，B不全当选；‎ ‎(4)至少有2名女生当选。‎ 解析：(1)由于A，B必须当选，那么从剩下的10人中选取3人即可，∴有C＝120(种)。‎ ‎(2)从除去A，B两人后的10人中选5人即可。‎ ‎∴有C＝252(种)。‎ ‎(3)全部选法有C种，A，B全当选有C种，‎ 故A，B不全当选有C－C＝672(种)。‎ ‎(4)注意到“至少有2名女生”的反面是只有一名女生或没有女生，故可用间接法进行，‎ ‎∴有C－C·C－C＝596(种)选法。‎ ‎【提分秘籍】 ‎ 两类组合问题的解决方法 ‎(1)“至少”“最多”的问题：解这类题必须十分重视“至少”与“最多”这两个关键词的含义，谨防重复与漏解。用直接法或间接法都可以求解。通常用直接法分类复杂时，考虑逆向思维，用间接法处理。‎ ‎(2)“含”与“不含”的问题：“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取。‎ ‎【举一反三】 从某学习小组的5名男生和4名女生中任意选取3名学生进行视力检测，其中至少要选到男生与女生各一名，则不同的选取种数有(　　)‎ A．35 B．70 C．80 D．140‎ 解析：分3步来计算：①从9人中，任取3人进行视力检测，分析可得，这是组合问题，共C＝84种情况；②选出的3人都为男生时，有C＝10种情况，选出的3人都为女生时，有C＝4种情况；③根据排除法，可得符合题意的选法共84－10－4＝70种。‎ 答案：B 热点题型三 排列与组合的综合问题 例3．已知10件不同产品中有4件是次品，现对它们进行一一测试，直至找出所有4件次品为止。‎ ‎(1)若恰在第5次测试，才测试到第一件次品，第十次才找到最后一件次品，则这样的不同测试方法数是多少？‎ ‎(2)若恰在第5次测试后，就找出了所有4件次品，则这样的不同测试方法数是多少？‎ 解析：(1)先排前4次测试，只能取正品，有A种不同测试方法，再从4件次品中选2件排在第5和第10的位置上测试，有C·A＝A种测法，再排余下4件的测试位置，有A种测法。所以共有不同排法A·CA·A＝103 680(种)。‎ ‎(2)第5次测试恰为最后一件次品，另3件在前4次中出现，从而前4次有一件正品出现。所以共有不同测试方法A·(C·C)A＝576(种)。‎ ‎【提分秘籍】‎ 解答排列与组合的综合问题应注意“先选后排”，注意“选”和“不选”应优先考虑。‎ ‎【举一反三】 ‎ 某班班会准备从甲、乙等7名学生中选派4名学生发言，要求甲、乙两人至少有一人参加。当甲乙同时参加时，他们两人的发言不能相邻。那么不同的发言顺序的种数为(　　)‎ A．360 B．520 C．600 D．720‎ 热点题型四 　分组分配问题 ‎ 例4、按下列要求分配6本不同的书，各有多少种不同的分配方式？‎ ‎(1)分成三份，1份1本，1份2本，1份3本；‎ ‎(2)甲、乙、丙三人中，一人得1本，一人得2本，一人得3本；‎ ‎(3)平均分成三份，每份2本；‎ ‎(4)平均分配给甲、乙、丙三人，每人2本；‎ ‎(5)分成三份，1份4本，另外两份每份1本；‎ ‎(6)甲、乙、丙三人中，一人得4本，另外两人每人得1本；‎ ‎(7)甲得1本，乙得1本，丙得4本。‎ 解析：(1)无序不均匀分组问题。先选1本有C种选法；再从余下的5本中选2本有C种选法；最后余下3本全选有C种方法，故共有CCC＝60(种)。‎ ‎(2)有序不均匀分组问题。由于甲、乙、丙是不同的三人，在第(1)题基础上，还应考虑再分配，共有CCCA＝360(种)。‎ ‎(3)无序均匀分组问题。先分三步，则应是CCC种方法，但是这里出现了重复。不妨记6本书为A、B、C、D、E、F，若第一步取了AB，第二步取了CD，第三步取了EF，记该种分法为(AB，CD，EF)，则CCC种分法中还有(AB，EF，CD)、(CD，AB，EF)、(CD，EF，AB)、(EF，CD，AB)、(EF，AB，CD)，共A种情况，而这A种情况仅是AB、CD、EF的顺序不同，因此只能作为一种分法。故分配方式有＝15(种)。‎ ‎(4)有序均匀分组问题。在第(3)题基础上再分配给3个人，共有分配方式·A＝CCC＝90(种)。‎ ‎(5)无序部分均匀分组问题，共有＝15(种)。‎ ‎(6)有序部分均匀分组问题。在第(5)题基础上再分配给3个人，共有分配方式·A＝90(种)。‎ ‎(7)直接分配问题。甲选1本有C种方法，乙从余下5本中选1本有C种方法，余下4本留给丙有C种方法，共有CCC＝30(种)。‎ ‎【提分秘籍】‎ 分组分配问题的解题方法 ‎(1)相同元素的“分配”问题，常用的方法是采用“挡板法”。‎ ‎(2)不同元素的“分配”问题，利用分步计数原理，分两步完成，第一步是分组，第二步是发放。‎ ‎(3)限制条件的分配问题采用分类法分解。‎ ‎【举一反三】 ‎ 有10个相同的小球，分给甲、乙、丙三个人，每人至少一个小球，有________种不同的分 法。‎ ‎【高考风向标】‎ ‎ ‎ ‎1.【2017课标II，理6】安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有（ ）‎ A．12种 B．18种 C．24种 D．36种 ‎【答案】D ‎【解析】由题意可得，一人完成两项工作，其余两人每人完成一项工作，据此可得，只要把工作分成三份：有种方法，然后进行全排列即可，由乘法原理，不同的安排方式共有种方法。 故选D。‎ ‎2.【2017天津，理14】用数字1，2，3，4，5，6，7，8，9组成没有重复数字，且至多有一个数字是偶数的四位数，这样的四位数一共有___________个.（用数字作答）‎ ‎【答案】 1080‎ ‎【解析】 ‎ ‎1.【2016高考新课标2理数】如图，小明从街道的E处出发，先到F处与小红会合，再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为（ ）‎ ‎（A）24 （B）18 （C）12 （D）9‎ ‎【答案】B ‎【解析】由题意，小明从街道的E处出发到F处最短路径的条数为6，再从F处到G处最短路径的条数为3，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为，故选B.‎ ‎2.【2016年高考四川理数】用数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为 ‎（A）24 　（B）48 　（C）60 　（D）72‎ ‎【答案】D ‎【解析】由题意，要组成没有重复数字的五位奇数，则个位数应该为1或3或5，其他位置共有种排法，所以奇数的个数为，故选D.‎ ‎1.【2015高考广东，理4】袋中共有15个除了颜色外完全相同的球，其中有10个白球，5个红球。从袋中任取2个球，所取的2个球中恰有1个白球，1个红球的概率为（ ）‎ ‎ A．1 B. C. D. ‎ ‎【答案】B．‎ ‎【解析】从袋中任取个球共有种，其中恰好个白球个红球共有种，所以从袋中任取的个球恰好个白球个红球的概率为，故选B．‎ ‎2.【2015高考新课标1，理10】的展开式中，的系数为( )‎ ‎（A）10 （B）20 （C）30 （D）60‎ ‎【答案】C ‎【解析】在的5个因式中，2个取因式中剩余的3个因式中1个取，其余因式取y,故的系数为=30，故选 C.‎ ‎3.【2015高考四川，理6】用数字0， 1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中比 ‎40000大的偶数共有（ ）‎ ‎（A）144个 （B）120个 （C）96个 （D）72个 ‎【答案】B ‎【解析】据题意，万位上只能排4、5.若万位上排4，则有个；若万位上排5，则有个.所以共有个.选B.‎ ‎4、【2015高考广东，理12】某高三毕业班有人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写了 条毕业留言．（用数字作答）‎ ‎【答案】．‎ ‎【解析】某高三毕业班有40人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写了=40×39=1560条．‎ ‎5.【2015高考上海，理8】在报名的名男教师和名女教师中，选取人参加义务献血，要求男、女教师都有，则不同的选取方式的种数为 （结果用数值表示）．‎ ‎【答案】120‎ ‎【解析】由题意得，去掉选5名女教师情况即可：‎ ‎1．（2014·北京卷）把5件不同产品摆成一排．若产品A与产品B相邻，且产品A与产品C不相邻，则不同的摆法有________种．‎ ‎【答案】36　‎ ‎【解析】AAA＝6×2×3＝36.‎ ‎2．（2014·广东卷）设集合A＝{(x1，x2，x3，x4，x5)|xi∈{－1，0，1}，i＝1，2，3，4，5}，那么集合A中满足条件“1≤|x1|＋|x2|＋|x3|＋|x4|＋|x5|≤‎3”‎的元素个数为(　　)‎ A．60 B．‎90 C．120 D．130‎ ‎【答案】D　‎ ‎【解析】本题考查排列组合等知识，考查的是用排列组合思想去解决问题，主要根据范围利用分类讨论思想求解．由“1≤|x1|＋|x2|＋|x3|＋|x4|＋|x5|≤‎3”‎考虑x1，x2，x3，x4，x5的可能取值，设集合M＝{0}，N＝{－1，1}．‎ 当x1，x2，x3，x4，x5中有2个取值为0时，另外3个从N中取，共有C×23种方法；当x1，x2，x3，x4，x5中有3个取值为0时，另外2个从N中取，共有C×22种方法；‎ 当x1，x2，x3，x4，x5中有4个取值为0时，另外1个从N中取，共有C×2种方法．‎ 故总共有C×23＋C×22＋C×2＝130种方法，‎ 即满足题意的元素个数为130.‎ ‎3．（ 2014·广东卷）从0，1，2，3，4，5，6，7，8，9中任取七个不同的数，则这七个数的中位数是6的概率为________．‎ ‎【答案】　‎ ‎4．（2014·辽宁卷）6把椅子摆成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为(　　)‎ A．144 B．‎120 C．72 D．24‎ ‎【答案】D　‎ ‎【解析】这是一个元素不相邻问题，采用插空法，AC＝24.‎ ‎5．（2014·全国卷）有6名男医生、5名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组，则不同的选法共有(　　)‎ A．60种 B．70种 ‎ C．75种 D．150种 ‎【答案】C　‎ ‎【解析】由题意，从6名男医生中选2名，5名女医生中选1名组成一个医疗小组，不同的选法共有CC＝75(种)．‎ ‎6．（2014·四川卷）六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有 (　　)‎ A．192种 B．216种 C．240种 D．288种 ‎【答案】B　【解析】当甲在最左端时，有A＝120(种)排法；当甲不在最左端时，乙必须在最左端，且甲也不在最右端，有AAA＝4×24＝96(种)排法，共计120＋96＝216(种)排法．故选B.‎ ‎7．(2014·重庆卷)某次联欢会要安排3个歌舞类节目、2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是(　　)‎ A．72 B．‎120 C．144 D．168‎ ‎【答案】B　‎ ‎【解析】分两步进行：(1)先将3个歌舞进行全排，其排法有A种；(2)将小品与相声插入将歌舞分开，若两歌舞之间只有一个其他节目，其插法有‎2A种．若两歌舞之间有两个其他节目时插法有CAA种．所以由计数原理可得节目的排法共有A(‎2A＋CAA)＝120(种)．‎ ‎【高考冲刺】‎ ‎1．6把椅子摆成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为(　　)‎ A．144 B．120‎ C．72 D．24‎ 解析：3人中每两人之间恰有一个空座位，有A×2＝12种坐法，3人中某两人之间有两个空座位，有A×A＝12种坐法，所以共有12＋12＝24种坐法。‎ 答案：D ‎2．六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有(　　)‎ A．192种 B．216种 C．240种 D．288种 解析：当最左端排甲时，不同的排法共有A种；当最左端排乙时，甲只能排在中间四个位置之一，则不同的排法共有CA种。故不同的排法共有A＋CA＝9×24＝216种。‎ 答案：B ‎3．某次联欢会要安排3个歌舞类节目、2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是(　　)‎ A．72 B．120‎ C．144 D．168‎ 解析：依题意，先仅考虑3个歌舞类节目互不相邻的排法种数为AA＝144，其中3个歌舞类节目互不相邻但2个小品类节目相邻的排法种数为AAA＝24，因此满足题意的排法种数为144－24＝120，选B。‎ 答案：B ‎4．从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对，其中所成的角为60°的共有(　　)‎ A．24对 B．30对 C．48对 D．60对 解析：方法一　直接法：如图，在上底面中选B1D1，四个侧面中的面对角线都与它成60°，共8对，同样A1C1对应的也有8对，下底面也有16对，这共有32对；左右侧面与前后侧面中共有16对。所以全部共有48对。‎ 方法二　间接法：正方体的12条面对角线中，任意两条垂直，平行或成角为60°，所以成角为60°的共有C－12－6＝48。‎ 答案：C ‎5．有6名男医生、5名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组，则不同的选法共有(　　)‎ A．60种 B．70种 C．75种 D．150种 解析：从6名男医生中选出2名有C种选法，从5名女医生中选出1名有C种选法，故共有C·C＝×5＝75种选法，选C。‎ 答案：C ‎6．来自中国、英国、瑞典的乒乓球裁判员各两名，执行世锦赛的一号、二号和三号场地的乒乓球裁判工作，每个场地有两名来自不同国家的裁判，则不同的安排方案共有(　　)‎ A．48种 B．24种 C．36种 D．96种 ‎7．把5件不同产品摆成一排，若产品A与产品B相邻，且产品A与产品C不相邻，则不同的摆法有__________种。‎ 解析：将A、B捆绑在一起，有A种摆法，再将它们与其他3件产品全排列，有A种摆法，共有AA＝48种摆法，而A、B、C 3件在一起，且A、B相邻，A、C相邻有CAB、BAC两种情况，将这3件与剩下2件全排列，有2×A＝12种摆法，故A、B相邻，A、C不相邻的摆法有48－12＝36种。‎ 答案：36‎ ‎8．在8张奖券中有一、二、三等奖各1张，其余5张无奖。将这8张奖券分配给4个人，每人2张，不同的获奖情况有__________种(用数字作答)。‎ 解析：分情况：一种情况将有奖的奖券按2张、1张分给4个人中的2个人，种数为CCA＝36；另一种将3张有奖的奖券分给4个人中的3个人，种数为A＝24，则获奖情况总共有36＋24＝60(种)。‎ 答案：60‎ ‎9．将并排的有不同编号的5个房间安排给5个工作人员临时休息，假定每个人可以选择任一房间，且选择各个房间是等可能的，则恰有2个房间无人选择且这2个房间不相邻的安排方式的种数为__________。‎ 解析：先将5人分成三组(1,1,3或2,2,1两种形式)，再将这三组人安排到3个房间，然后将2个房间插入前面住了人的3个房间形成的空档中即可，故安排方式共有·A·C＝900(种)。‎ 答案：900‎ ‎10．(1)3人坐在有八个座位的一排上，若每人的左右两边都要有空位，则不同坐法的种数有多少种？‎ ‎(2)有5个人并排站成一排，如果甲必须在乙的右边，则不同的排法有多少种？‎ ‎(3)现有10个保送上大学的名额，分配给7所学校，每校至少有一个名额，问：名额分配的方法共有多少种？‎ 解析：(1)由题意知有5个座位都是空的，我们把3个人看成是坐在座位上的人，往5个空座的空当插，由于这5个空座位之间共有4个空，3个人去插，共有A＝24(种)。‎ ‎(2)∵总的排法数为A＝120(种)，‎ ‎∴甲在乙的右边的排法数为A＝60(种)。‎ ‎(3)方法一：每个学校至少一个名额，则分去7个，剩余3个名额分到7所学校的方法种数就是要求的分配方法种数。‎ 分类：若3个名额分到一所学校有7种方法；‎ 若分配到2所学校有C×2＝42(种)；‎ 若分配到3所学校有C＝35(种)。‎ ‎∴共有7＋42＋35＝84(种)方法。‎ 方法二：10个元素之间有9个间隔，要求分成7份，相当于用6块挡板插在9个间隔中，共有C＝84(种)不同方法。‎ 所以名额分配的方法共有84种。‎ ‎11．用数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的数：‎ ‎(1)能组成多少个五位数？‎ ‎(2)能组成多少个正整数？‎ ‎(3)能组成多少个六位奇数？‎ ‎(4)能组成多少个能被25整除的四位数？‎ 解析：(1)因为万位上数字不能是0，所以万位数字的选法有A种，其余四位上的排法有A种，所以共可组成AA＝600(个)五位数。‎ ‎(2)组成的正整数，可以是一位、两位、三位、四位、五位、六位数，相应的排法种数依次为A，AA，AA，AA，AA，AA，‎ 所以可组成A＋AA＋AA＋AA＋AA＋AA＝1 630(个)正整数。‎ ‎(3)首位与个位的位置是特殊位置，0,1,3,5是特殊元素，先选个位数字，有A种不同的选法；再考虑首位，有A种不同的选法，其余四个位置的排法有A种。‎ 所以能组成AAA＝288(个)六位奇数。‎ ‎(4)能被25整除的四位数的特征是最后两位数字是25或50，这两种形式的四位数依次有A·A和A个，‎ 所以，能组成AA＋A＝21(个)能被25整除的四位数。‎ ‎12．已知平面α∥β，在α内有4个点，在β内有6个点。‎ ‎(1)过这10个点中的3点作一平面，最多可做多少个不同平面？‎ ‎(2)以这些点为顶点，最多可作多少个三棱锥？‎ ‎(3)上述三棱锥中最多可以有多少个不同的体积？‎ 解析：(1)所作出的平面有三类：①α内1点，β内2点确定的平面，有C·C个；②α内2点，β内1点确定的平面，有C·C个；③α，β本身。‎ ‎∴所作的平面最多有C·C＋C·C＋2＝98(个)。‎ ‎ ‎ ‎ ‎