2021届浙江新高考数学一轮复习教师用书：第四章　2 第2讲　同角三角函数的基本关系与诱导公式 13页

第 2 讲　同角三角函数的基本关系与诱导公式 1．同角三角函数的基本关系 (1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1． (2)商数关系：tan α＝sin α cos α． [基本关系式变形] sin2α＝1－cos2α，cos2α＝1－sin2α，sin α＝tan αcos α， cos α＝sin α tan α，(sin α±cos α)2＝1±2 sin αcos α. 2．六组诱导公式 组数 一 二 三 四 五 六 角 α＋2kπ (k∈Z) π＋α －α π－α π 2 －α π 2 ＋α 正弦 sin α －sin__α －sin α sin α cos__α cos α 余弦 cos α －cos α cos__α －cos α sin α －sin__α 正切 tan α tan α －tan α －tan__α 口诀 函数名不变 符号看象限 函数名改变 符号看象限 简记口诀：把角统一表示为 kπ 2 ±α(k∈Z)的形式，奇变偶不变，符号看象限． [疑误辨析] 判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)对任意的角 α，β，都有 sin2α＋cos2β＝1.(　　) (2)若 α∈R，则 tan α＝ sin α cos α恒成立．(　　) (3)sin(π＋α)＝－sin α成立的条件是 α 为锐角．(　　) (4)若 cos(nπ－θ)＝ 1 3(n∈Z)，则 cos θ＝ 1 3.(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)× [教材衍化] 1．(必修 4P19 例 6 改编)若 sin α＝ 5 5 ， π 2 <α<π，则 tan α＝________． 解析：因为 π 2 <α<π，所以 cos α＝－ 1－sin2α＝－ 2 5 5 ， 所以 tan α＝ sin α cos α＝－ 1 2. 答案：－ 1 2 2．(必修 4P22B 组 T3 改编)已知 tan α＝2，则 sin α＋cos α sin α－cos α 的值为________． 解析：原式＝ tan α＋1 tan α－1＝ 2＋1 2－1＝3. 答案：3 3 ． ( 必 修 4P28 练 习 T7 改 编 ) 化 简 cos(α－π 2 ) sin(5 2π＋α) · sin(α － π )·cos(2 π － α) 的 结 果 为 ________． 解析：原式＝ sin α cos α·(－sin α)·cos α＝－sin2α. 答案：－sin2α [易错纠偏] (1)不会运用消元的思想； (2)π±α的形式没有把 k 按奇数和偶数进行分类讨论导致出错． 1．已知 tan x＝2，则 1＋sin2x 的值为________． 解析：1＋sin2x＝cos2x＋2sin2x ＝ cos2x＋2sin2x sin2x＋cos2x ＝ 1＋2tan2x 1＋tan2x ＝ 9 5. 答案： 9 5 2 ． 已 知 A ＝ sin（kπ＋α） sin α ＋ cos（kπ＋α） cos α (k∈Z) ， 则 A 的 值 构 成 的 集 合 是 ________． 解析：k＝2n(n∈Z)时， A＝ sin（2nπ＋α） sin α ＋ cos（2nπ＋α） cos α ＝ sin α sin α＋ cos α cos α＝2. 当 k＝2n＋1(n∈Z)时， A＝ sin（π＋α） sin α ＋ cos（π＋α） cos α ＝ －sin α sin α ＋ －cos α cos α ＝－1＋(－1)＝－2. 答案：{2，－2} 　　　　　　同角三角函数的基本关系式(高频考点) 同角三角函数的基本关系式的应用很广泛，也比较灵活．高考中常以选择题、填空题的 形式出现．主要命题角度有： (1)知弦求弦； (2)知弦求切； (3)知切求弦． 角度一　知弦求弦 (2020·丽水模拟)已知 sin θ＋cos θ＝ 4 3，θ∈(0， π 4 )，则 sin θ－cos θ的值为 (　　) A. 2 3 　　　B. 1 3　　　C．－ 2 3 　　　D．－ 1 3 【解析】　(sin θ＋cos θ)2＝ 16 9 ，所以 1＋2sin θcos θ＝ 16 9 ，所以 2sin θcos θ＝ 7 9，由(sin θ－cos θ)2＝1－2sin θcos θ＝1－ 7 9＝ 2 9，可得 sin θ－cos θ＝± 2 3 .又因为 θ∈(0， π 4 )，sin θ0. 又(cos α－sin α)2＝1－2sin αcos α＝1－2× 1 8＝ 3 4， 所以 cos α－sin α＝ 3 2 . 3．sin 4 3π·cos 5 6π·tan (－4 3π)的值是________． 解析：原式＝sin(π＋π 3 )·cos(π－π 6 )·tan(－π－π 3 ) ＝(－sin π 3 )·(－cos π 6 )·(－tan π 3 ) ＝(－ 3 2 )×(－ 3 2 )×(－ 3)＝－ 3 3 4 . 答案：－ 3 3 4 4．若 sin α＝2sin β，tan α＝3tan β，则 cos α＝________． 解析：因为 sin α＝2sin β，① tan α＝3tan β， tan2α＝9tan2β.② 由①2÷②得：9cos2α＝4cos2β.③ 由①2＋③得 sin2α＋9cos2α＝4. 又 sin2α＋cos2α＝1， 所以 cos2α＝ 3 8， 所以 cos α＝± 6 4 . 答案：± 6 4 5．已知 f(x)＝ cos2（nπ＋x）·sin2（nπ－x） cos2[（2n＋1）π－x] (n∈Z)． (1)化简 f(x)的表达式； (2)求 f(π 12 )＋f ( 5 12π )的值． 解：(1)当 n 为偶数，即 n＝2k(k∈Z)时， f(x)＝ cos2（2kπ＋x）·sin2（2kπ－x） cos2[（2 × 2k＋1）π－x] ＝ cos2x·sin2（－x） cos2（π－x） ＝ cos2x·（－sin x）2 （－cos x）2 ＝sin2x(n＝2k，k∈Z)； 当 n 为奇数，即 n＝2k＋1(k∈Z)时， f(x)＝ cos2[（2k＋1）π＋x]·sin2[（2k＋1）π－x] cos2{[2 × （2k＋1）＋1]π－x} ＝ cos2[2kπ＋（π＋x）]·sin2[2kπ＋（π－x）] cos2[2 × （2k＋1）π＋（π－x）] ＝ cos2（π＋x）·sin2（π－x） cos2（π－x） ＝ （－cos x）2sin2x （－cos x）2 ＝sin2x(n＝2k＋1，k∈Z)． 综上得 f(x)＝sin2x. (2)由(1)得 f(π 12 )＋f( 5 12π )＝sin2 π 12＋sin2 5π 12 ＝sin2 π 12＋sin2(π 2 －π 12) ＝sin2 π 12＋cos2 π 12＝1.