江西省南昌市八一中学2020届高三数学（文）第三次模拟试题（Word版附答案） 12页

2020届南昌市八一中学高三文科数学第三次模拟考试卷 一、选择题：本大题共 12小题，每小题 5分，共 60分。 在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的。 1．已知集合 }13|{},1|{ 2  xxBxxA ，则 ( ) A． }0|{ xx B． }10|{  xx C． }01|{  xx D． }1|{ xx 2．若复数 z与其共轭复数 z满足 izz 312  ，则 || z ( ) A． 2 B． 3 C．2 D． 5 3. 已知 0.3x  ， log 3y  ， cos3z  ，则( ) A. z y x  B. y z x  C. z x y  D. x z y  4．“纹样”是中国艺术宝库的瑰宝，“火纹”是常见的一种传统纹样，为了测算某火纹纹样（如 图阴影部分所示）的面积，作一个边长为 3 的正方形将其包含在内，并向该正方形内随机投 掷 2000个点，已知恰有 800个点落在阴影部分，据此可估计阴影部分的面积是 ( ) A． 16 5 B． 18 5 C．10 D． 32 5 5．若 ,x y满足约束条件 0 4 x y x y      ，且 2z x y  ，则（ ） A. z的最大值为 6 B. z的最大值为 8 C. z的最小值为 6 D. z的最小值为 8 6.函数 sin 4( ) ln xf x x = 的部分图像大致为( ) 7．已知 nm, 是两条不重合的直线，  , 是两个不重合的平面，则下列命题中，错误的是( ) A．若  mnm , ，则 //n B．若  nmnm ,//,// ，则 //n C．若   nmnm ,, ，则   D．若  //,//m ，则 //m 或 m 8．设 nS 为等比数列 na 的前 n项和，且关于 x的方程 2 1 3 2 0a x a x a   有两个相等的实根， 则 9 3 S S （ ） A. 27 B. 21 C. 14 D. 5 9．若函数    sinf x A x   (其中 0A  ， π 2   )图象的一个对称中心为 π ,0 3       ，其相邻一 条对称轴方程为 7π 12 x  ，该对称轴处所对应的函数值为 1 ，为了得到   cos2g x x 的图象， 则只要将  f x 的图象（ ） A．向右平移 π 6 个单位长度 B．向左平移 π 12 个单位长度 C．向左平移 π 6 个单位长度 D．向右平移 π 12 个单位长度 10．设 nS 是 na 的前 n项和， 1 2a  ，且 1 1 1 3n n na S S   ，则 1 2 22 1 1 1 S S S      ( ) A． -66 B． 77 C． 88 D． 99 11. 已知双曲线 2 2 2 2 1( 0)x y a b a b     的左、右焦点分别为 1F 、 2F ，过点 1F 作圆 2 2 2x y a  的切线交双曲线右支于点M ，若 2tan 21  MFF ，又 e为双曲线的离心率，则 2e 的值 为( ) A． 2 25  B． 2 35  C． 2 55  D． 2 65  12．已知函数 2( 1) 1, 2 ( ) 1 ( 2) 2 2 x x f x f x x         ， ，若函数 ( ) ( )F x f x mx  有 4个零点，则实数 m 的取值范围为( ) A． 5 1( 6, ) 2 6  B． 1 1( , ) 20 6 C． 1( ,3 2 2) 20  D． 5( 6,3 2 2) 2   二、填空题：本题共 4小题，每小题 5分，共 20分。 13. 曲线 xxxy ln22  在点 )1,1(  处的切线的斜率为 14. 若向量 ),12( kkm  与向量 )1,4(n 共线，则 nm  的值是 15．已知点 )2,0(M ，过抛物线 xy 42  的焦点 F 的直线 AB 交抛物线于 A， B两点，若 0 FMAM ，则点B的横坐标为 16. 已知正四棱柱 1 1 1 1ABCD ABC D 的每个顶点都在球O的球面上，若球O的表面积为 12 ，则该四棱柱的侧面积的最大值为________ 三．解答题：本大题共 6小题，共 70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17.（本小题 12分） 在锐角△ABC中， 2 3a  , (2 )cos cosb c A a C  ， （1）求角 A; （2）求△ABC的周长 l的范围． 18．（本小题 12分） 某中学某社团为研究高三学生课下钻研数学时间与数学考试中的解答题得分的关系，随 机调查了某中学高三某班6名学生每周课下钻研数学时间 x（单位：小时）与高三下学 期期中考试数学解答题得分 y，数据如下表： x 2 4 6 8 10 12 y 30 38 44 48 50 54 （1） 根据上述数据，求出数学考试中的解答题得分 y与该学生课下钻研数学时间 x的线 性回归方程，并预测某学生每周课下钻研数学时间为 7小时其数学考试中的解答题 得分； （2） 从这6人中任选 2人，求这 2人中至少有1人课下钻研数学时间不低于8小时的概 率. 参考公式： ˆˆ ˆy bx a  ，其中      1 1 2 22 1 1 ˆ n n i i i i i i n n i i i i x x y y x y nx y b x x x nx                ， ˆâ y bx  参考数据： 6 1 2008i i i x y   ， 6 2 1 364i i x   ， 44y  19．（本小题 12分） 如图，三棱锥P ABC 中，底面 ABC 是边长为 2 的正三角形， 2PA  ， PA  底面 ABC，点 ,E F分别为 AC，PC的中点． （1） 求证：平面 BEF 平面 PAC； （2） 在线段 PB上是否存在点G，使得三棱锥 B AEG 体积 为 3 6 ？若存在，确定点G的位置； 若不存在，请说明理由． 20．（本小题 12分） P A G F B E C 已知 ( ) sin ( )xf x e x ax a   R . （1）当 2a   时，求证： ( )f x 在 ( 0)， 上单调递减； （2）若对任意 0x  ， ( ) 1f x  恒成立，求实数 a的取值范围． 21.（本小题 12分） 如图，定义：以椭圆中心为圆心，长轴为直径的圆叫做椭圆的“辅助圆”。过椭圆第四象限 内一点M 作 x轴的垂线交其“辅助圆”于点 N ，当点N 在点M 的下方时，称点N 为点M 的 “下辅助点”。已知椭圆   2 2 2 2: 1 0x yE a b a b     上的点 ) 2 2,1(  的下辅助点为  1,1 ． （1）求椭圆 E的方程； （2）若 OMN 的面积等于 8 632  ，求下辅助点 N 的坐标； （3）已知直线 l： 0x my t   与椭圆 E交于不同的 A，B两点，若椭圆E上存在点P， 满足OP OA OB  uuur uur uuur ，求直线 l与坐标轴围成的三角形面积的最小值． （二）选考题：共 10分.请考生在第 22、23两题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第 一题记分. 22．[选修 4－4：坐标系与参数方程] 在平面直角坐标系 xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线 l 的极坐标方程为 2cos 4 2        ，曲线C的极坐标方程为 0cos6   . （1）写出直线 l和曲线C的直角坐标方程； （2）已知点 (1,0)A ，若直线 l与曲线C交于 ,P Q两点， ,P Q中点为M，求 | || | | | AP AQ AM 的 值． 23．[选修 4-5：不等式选讲] 已知函数 ( ) | 2 |f x x  . （1）求不等式 ( ) ( 2) 4f x f x x    的解集； （2）若 x R，使得 )2()()( afxfaxf  恒成立，求 a的取值范围． 高三文科数学三模测试参考答案 一、选择题 (本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分)． 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 D A A B C C A B B C C D 二、填空题（本大题共 4 小题，每题 5 分，共 20 分） 13. 1 14. 2 17  15. 4 1 16. 12 2 17.解（1）∵cos A(2b-c)＝acos C 2 cos cos cos 2 cos ...........3 1cos ........5 2 b A a C c A b A b A        分 分 0, 2 3 A A         . .........6分 （2） 24, 4sin 4sin 2 3 sin 3ABC a l B B A            .........8分 4 3 sin 2 3 6ABCl B          ........10分 = 3 6 2 ABC A B          锐角 且 ， .........11分 2, 6 2 3,6 3 6 3 3 ABCB l              . .........12分 18.（1） 7x  ………… 1分 16 7  ………… 4分 a y bx $ $ 28      1 1 2 22 1 1 ˆ n n i i i i i i n n i i i i x x y y x y nx y b x x x nx                16ˆ 28 7 y x   …………5分 当 7x  时， ˆ 44y  …………6分 （2）设“这 2人中至少有一个人刻下钻研数学时间不低于 8小时为事件 A” ………7分 所有基本事件如下： （2，4），（2，6），（2，8），（2，10），（2，12），（4，6），（4，8），（4，10）， （4，12）， （6，8），（6，10），（6，12），（8，10），（8，12），（10，12） 共 15个基本事件 …………… 9分 事件 A包含（2，8），（2，10），（2，12），（4，8），（4，10），（4，12），（6，8）， （6，10）（6，12），（8，10），（8，12），（10，12）共 12个基本事件 ………… 11分 所以 12 4( ) 15 5 P A   ………… 12分 19. （1）因为 PA 底面 ABC， BE 底面 ABC所以 PA BE ， ……….2分 又因为 BE AC ，PA AC AI 所以 BE 平面 PAC , …….. 4分 因为 BE 平面 BEF，所以平面 BEF 平面 PAC ………… 5分 （2）过 G作GH AB PA 面 ABC，面 PAB面 ABC 又面 PAB 面 ABC=AB， GH 面 ABC ………… 7分 3 6B AEG G ABEV V   ， 1 3 3 6ABEGH S   且 3 2ABES  ， ………… 9分 1GH  ， ………… 11分 G 为 PB中点 ………… 12分 20.（1）解： '( ) cosxf x e x a   , 对于 2a   ， 当 0x  时， 1,cos 1xe x  ， 所以 '( ) cos 2 0xf x e x    . 所 以 ( )f x 在  , 0 上 单 调 递 减. ………………………4分 （2）解：当 0x  时， ( ) 1 1f x   ，对于 Ra ，命题成立， 当 0x  时，设 ( ) cos  xg x e x a， 则 '( ) sinxg x e x  . 因为 1, sin 1 xe x ， 所以 '( ) sin 1 1=0xg x e x    ， ( )g x 在  0, 上单调递增. 又 (0) 2 g a， 所以 ( ) 2 g x a . 所以 '( )f x 在  0, 上单调递增，且 '( ) 2 f x a . 1 当 2a   时， '( ) 0f x ，所以 ( )f x 在  0, 上单调递增. 因为 (0) 1f  ，所以 ( ) 1f x 恒成立. 2 当 2a   时， '(0) 2 0f a   ，因为 '( )f x 在[0, ) 上单调递增， 又当 ln(2 ) x a 时， '( ) 2 cos 2 cos 0       f x a x a x ， 所以存在 0 (0, )x   ，对于 0(0, )x x ， '( ) 0f x  恒成立. 所以 ( )f x 在  00, x 上单调递减，所以当 0(0, )x x 时， ( ) (0) 1 f x f ，不合题意. 综上，当 2a   时，对于 0x  ， ( ) 1f x  恒成立. ………………………………12分 21．（1）椭圆 2 2 2 2: 1( 0)x yE a b a b     上的点 ) 2 2,1(  的下辅助点为  1,1 ， 辅助圆的半径为 2)1(1 22 R ，椭圆长半轴为 2 Ra ， 将点 ) 2 2,1(  代入椭圆方程 1 2 2 22  b yx 中，解得 1b  ， 椭圆 E的方程为 1 2 2 2  yx ； ……………4分 （2）设点 ),( 00 yxN )0( 0 y ，则点 ),( 10 yxM )0( 1 y ，将两点坐标分别代入辅助圆方程 和椭圆方程可得， 22 0 2 0  yx ， 1 2 2 1 2 0  y x ，故 2 1 2 0 2yy  ，即 10 2yy  ， 又 8 632)( 2 1 010   yyxS OMN ，则 4 6 10 yx ……………6 分 将 4 6 10 yx 与 1 2 2 1 2 0  y x 联立可解得         2 6 2 2 0 0 y x 或         2 2 2 6 0 0 y x ， 下辅助点 N 的坐标为 ) 2 6, 2 2(  或 ) 2 2, 2 6(  ； ……………7分 （3）由题意可设  1 1,A x y ，  2 2,B x y . 联立 2 2 1 2 x y x my t        整理得  2 2 22 2 2 0m y mty t     ，则  2 28 2 0m t     . 根据韦达定理得 1 2 2 2 1 2 2 2 2 2 2 mty y m ty y m          ， ……………8 分 因为OP OA OB  uuur uur uuur . 所以 1 2 2 2 2P mty y y m      ，  1 2 1 2 1 2 2 42 2P tx x x my t my t m y y t m            因为点 P在椭圆E上，所以     2 2 2 2 22 2 16 4 1 2 2 2 t m t m m     ， 整理得     2 2 22 4 2 1 2 m t m    ，即 2 24 2t m  ……………10 分 在直线 l： 0x my t   中，由于直线 l与坐标轴围成三角形，则 0t  ， 0m  . 令 0x  ，得 ty m   ，令 0y  ，得 x t . 所以三角形面积为 21 1 2 1 2 1 2| | | | 2 2 2 8 | | 8 | | 8 4 t mS t m m m m               当且仅当 2 2m  ， 2 1t  时，取等号，此时 24 0   . 所以直线 l 与坐标轴围成的三角形面积的最小值为 2 4 . ……………12 分 22.解：（1）因为直线 2: cos 4 2 l        ，故 cos sin 1 0      ， 即直线 l的直角坐标方程为 1 0x y   .……………2分 因 为 曲 线 : 6cos 0C    ， 则 曲 线 C 的 直 角 坐 标 方 程 为 2 2 6 0x y x   ， 即 2 2( 3) 9x y   . 4分 （2）设直线 l的参数方程为 21 , 2 2 2 x t y t       （ t为参数）， 将其代入曲线C的直角坐标系方程得 2 2 2 5 0t t   . 设P，Q对应的参数分别为 1t ， 2t ，则 1 2 5t t   ， 1 2 2 2t t  ， ……………6分 所以M对应的参数 1 2 0 2 2 t tt    ，……………8分 故 1 2 0 |t ||t || || | 5 5 2= | | | | 22 AP AQ AM t   ……………10分 23.解：（1）不等式 ( ) ( 2) 4f x f x x    可化为 | 2 | | | 4x x x    ， 当 2x „ 时， 2 2 4x x    ， 2x   ，所以无解；……………1分 当 2 0x  „ 时， 2 4x  ，所以 2 0x  „ ；……………2分 当 0x  时， 2 2 4x x   ， 2x  ，所以0 2x  .……………3分 综上，不等式 ( ) ( 2) 4f x f x x    的解集是 | 2 2x x   .……………5分 （2） ( ) ( )f x a f x  | 2 | | 2 | | |x a x a     … ， 又 x R，使得 ( ) ( ) (2 )f x a f x f a  … 恒成立，则 | | | 2 2 |a a … ，……………8分 2 2(2 2)a a … ，解得 22 3 a „ „ . 所以 a的取值范围为 22, 3      .……………10分