数学理卷·2018届河南省信阳市商城高级中学高二下学期期中考试（解析版） 11页

‎ 2016—2017学年度下期高中二年级期中检测 数学试题（理科）‎ 一、选择题.（本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）‎ ‎1. 数列1,3,6,10，x,21，…中的x等于 A. 17 B. 16 C. 15 D. 14‎ ‎【答案】C ‎【解析】由数列的前四项,可得 ，则猜想：，解得；故选C.‎ ‎2. 关于复数的四个命题：‎ ‎：复数对应的点在第二象限， ：，‎ ‎：的共轭复数为， ：z的虚部为．‎ 其中的真命题个数为 A. 4 B. 3 C. 2 D. 1‎ ‎【答案】C ‎【解析】因为，所以复数对应的点在第三象限，，的共轭复数为，的虚部为，即正确；故选C.‎ ‎3. 函数的导函数是 A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】由题意，得；故选C.‎ ‎4. 若，则 A. B. -6 C. D. -12‎ ‎【答案】D ‎【解析】试题分析：，故选D.‎ 考点：导数的定义 ‎5. 已知曲线在处的切线的斜率为，则实数的值为 A. B. - C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】由题意，得，，解得；故选D.‎ ‎6. 已知上的可导函数的图象如图所示，则的解集为 A. ‎ B. ‎ C. ‎ D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】由函数的图象可得当或时，，当时，，易知当或时，，当时，，则当或或时，；故选B.‎ ‎7. 某单位安排甲、乙、丙三人在某月1日至12日值班，每人4天．甲说：我在1日和3日都有值班; 乙说：我在8日和9日都有值班； 丙说：我们三人各自值班的日期之和相等．据此可判断丙必定值班的日期是 A. 2日和5日 B. 5日和6 C. 6日和11日 D. 2日和11日 ‎【答案】C ‎【解析】试题分析：这12天的日期之和，，甲、乙、丙的各自的日期之和是，对于甲，剩余2天日期之和22，因此这两天是10日和12日，故甲在1日，3日，10日，12日；对于乙，剩余2天日期之和是9，可能是2日，7日，可能是4日，5日，因此丙必定值班的日期是6日和11日，故答案为C.‎ 考点：等差数列的前项和.‎ ‎8. 若由曲线y＝x2＋k2与直线y＝2kx及y轴所围成的平面图形的面积S＝9，则k＝‎ A. 3 B. －3或3 C. 3 D. －3‎ ‎【答案】B ‎ ‎ ‎ ‎ 图1 图2‎ 点睛：本题考查利用定积分求曲边三角形的面积，易错点在于忽视的符号，导致漏解.‎ ‎9. 如图所示，面积为S的平面凸四边形的第条边的边长记为，此四边形内任一点到第条边的距离记为，若，则．类比以上性质，体积为V的三棱锥的第个面的面积记为，此三棱锥内任一点到第个面的距离记为，若，则 A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】，‎ 所以，选B.‎ ‎10. 若点在函数的图像上，点在函数的图像上，则的最小值为 A. B. 8 C. D. 2‎ ‎【答案】B ‎【解析】平移直线，当平移后的直线与函数的图象相切时，切点到直线的距离为的最小值，因为，令，解得，则的最小值为；故选B.‎ 点睛：本题的难点有两个：一是要正确理解的几何意义，即点和点的距离的平方，二是搞清和点的距离何时取得最小值.‎ ‎11. 下列命题中 ‎ ①若，则函数在取得极值；‎ ‎ ②直线与函数的图象不相切；‎ ‎ ③若（为复数集），且，则的最小值是3；‎ ‎ ④定积分.正确的有 A. ①④ B. ③④ C. ②④ D. ②③④‎ ‎【答案】D ‎【解析】试题分析：①若，且在的左右附近导数的符号改变，则函数在取得极值，故不正确；②若直线与函数的图象相切，则，即 ‎，显然不存在，故②正确；③的几何意义是以为圆心，半径为的圆，的几何意义是圆上一点到点的距离，连接并延长，显然最小值为，故③正确；④令，则，点的轨迹表示半圆，定积分表示以原点为圆心，为半径的圆面积的，故定积分，故④正确.故选：D.‎ 考点：命题的真假的判定与应用.‎ ‎【方法点睛】本题以命题的真假为载体考查函数的极值概念，导数的应用于求切线方程，以及复数的几何意义，定积分的几何意义及求法，是一道中档题.①函数在某点处取得极值一定要考虑左右两侧导数值符号相反；②求出导数，由切线的斜率等于，根据三角函数的值域加以判断即可；③表示圆，的几何意义两点的距离，通过其意义可得解；④令的轨迹表示半圆，则该积分表示该圆面积的.‎ ‎12. 设函数是定义在上的可导函数，其导函数为，且有，则不等式的解集 A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】令，则在定义域上恒成立，则在定义域上单调递增，将化为，则，解得，即不等式的解集为；故选C.‎ 点睛：本题的技巧在于利用和合理构造函数，利用导函数的符号和函数的单调性进行求解.‎ 二.填空题(每小题5分共20分)‎ ‎13. 已知为实数，复数为纯虚数，则________‎ ‎【答案】1‎ ‎【解析】试题分析：由题意，解得 考点：纯虚数的概念 ‎14. 若曲线与曲线在交点处有公切线， 则 ___________‎ ‎【答案】1‎ ‎【解析】， ，因为曲线与曲线与曲线在交点处有公切线，且，即，故答案为.‎ ‎15. 关于x的方程x3－3x2－a＝0有三个不同的实数解，则实数a的取值范围是________．‎ ‎【答案】(-4,0)‎ ‎【解析】试题分析：令，则。令得或。令得。所以在和上单调递增，在上单调递减。所以时函数取得极大值为，时函数取得极小值为。由数形结合分析可得有三个不同的根时且，解得。‎ 考点：1用导数求极值；2数形结合。‎ ‎16. 记，当时，观察下列等式：‎ ‎ ，‎ ‎ ‎ ‎ ，可以推测A-B等于__________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】试题分析：由规律得： ，所以，。‎ 考点：归纳推理 点评：做归纳推理的题目，关键是寻找给出事实中的规律。本题的规律是式子右边第一个系数依次是，且每个式子右边的系数之和为1.‎ 三．解答题 ‎17. 设复数z＝－3cosθ＋2isinθ.‎ ‎ (1)当θ＝时，求|z|的值；‎ ‎ (2)若复数z所对应的点在直线x＋3y＝0上，求的值．‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】解：(1)∵θ＝，‎ ‎∴z＝－3cos＋2isin＝－i，‎ ‎∴|z|＝＝.‎ ‎(2)由条件得，－3cosθ＋6sinθ＝0，‎ ‎∵cosθ≠0，∴tanθ＝，‎ 原式＝＝＝‎ ‎18. (1) 已知函数求 ‎ (2)求曲线与轴以及直线所围图形的面积.‎ ‎【答案】（1）1（2）3‎ ‎【解析】试题分析：（1）利用导数的除法法则求导函数，再求相应导数值；（2）作出草图，利用定积分的几何意义进行求解.‎ 试题解析：(1)∵，则 ‎ (2)由题可知，画出所围图形如图，‎ ‎19. 设函数为奇函数，其图象在点处的切线与直线垂直，导函数 的最小值为．‎ ‎ （1）求的值；‎ ‎ （2）求函数的单调递增区间，并求函数在上的最大值和最小值．‎ ‎【答案】（1）（2）最大值是，最小值是 ‎【解析】试题分析：（1）先根据奇函数求出c的值，再根据导函数的最小值求出b的值，最后依据在x=1处的导数等于切线的斜率求出c的值即可；（2）先求导数，在函数的定义域内解不等式>0和<0，求得区间即为单调区间，根据极值与最值的求解方法，将f（x）的各极值与其端点的函数值比较，其中最大的一个就是最大值，最小的一个就是最小值．‎ 试题解析：（1）由题意可得，，由题意可得得；‎ ‎（2）即，令得或，‎ 所以的单调增区间为和；‎ 当时，在上单调递减，在的单调递增，且，‎ 因此的最小值为，最大值为．‎ 考点：利用导数研究函数的性质 ‎20. 是否存在常数，使等式对于一切都成立？若不存在，说明理由；若存在，请用数学归纳法证明？‎ ‎【答案】见解析 ‎【解析】试题分析：先从特殊情形，等式必须成立，求出值，然后用数学归纳法加以证明，在这里必须指出的是：若题目没有讲要用数学归纳法证明，我们也应从数学归纳法考虑，因为等式的左边我们无法通过数列求和的知识解决，其次本题是与自然数有关的命题证明，我们应优先考虑数学归纳法，证明时必须严格遵循数学归纳法的证题步骤，做到规范化.‎ 试题解析：若存在常数使等式成立，则将代入上式，有得，即有对于一切成立. 5分 数学归纳法证明如下：‎ 证明如下：（1）当时，左边=，右边=，所以等式成立，‎ ‎（2）假设（且）时等式成立，即，‎ 当时，‎ ‎ ‎ 也就是说，当时，等式成立，‎ 综上所述，可知等式对任何都成立. 12分 考点：数学归纳法.‎ ‎21. 已知函数 。‎ ‎ 如果，函数在区间上存在极值，求实数a的取值范围；‎ ‎ 当时，不等式恒成立，求实数k的取值范围。‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】试题分析：（1）求导，利用导函数的符号确定函数的单调性，进而确定函数的极值；（2）分离参数，将不等式恒成立问题转化为求函数的最值问题，再利用导数求其最值.‎ 试题解析：（1）因为，，则， ‎ 当时，；当时，.‎ 所以在（0，1）上单调递增；在上单调递减，‎ 所以函数在处取得极大值. ‎ 因为函数在区间（其中）上存在极值，‎ 所以 解得.‎ ‎（2）不等式即为 记 所以 ‎ 令，则， ， ‎ ‎ 在上单调递增， ，‎ 从而,故在上也单调递增，所以，‎ 所以 .‎ 点睛：利用导数研究不等式恒成立问题，往往是先合理构造函数（作差、作商、转化等），将不等式恒成立问题等价转化为求函数的最值问题，再利用导数求函数的最值，如本题中先将等价转化为，再构造函数.‎ ‎22. 已知函数．‎ ‎ （1）当时，求在最小值；‎ ‎ （2）若存在单调递减区间，求的取值范围；‎ ‎（3）求证：‎ ‎【答案】（1）（2）（3）见解析 ‎【解析】试题分析：（1）可先求f′（x），从而判断f（x）在x∈1，+∞）上的单调性，利用其单调性求f（x）在x∈1，+∞）最小值；‎ ‎（2）求h′（x），可得，若f（x）存在单调递减区间，需h′（x）＜0有正数解．从而转化为：有x＞0的解．通过对a分a=0，a＜0与当a＞0三种情况讨论解得a的取值范围；‎ ‎（3）可用数学归纳法予以证明．当n=1时，ln（n+1）=ln2，3ln2=ln8＞1⇒，即时命题成立；设当n=k时，命题成立，即成立，再去证明n=k+1时，成立即可（需用好归纳假设）．‎ 试题解析：（1），定义域为．‎ 在上是增函数．‎ ‎．‎ ‎（2）因为 因为若存在单调递减区间，所以有正数解．‎ 即有的解 当时，明显成立 ．‎ ‎②当时，开口向下的抛物线，总有的解；‎ ‎③当时，开口向上的抛物线，‎ 即方程有正根．‎ 因为，‎ 所以方程有两正根．‎ 当时，；‎ ‎，解得．‎ 综合①②③知：．‎ 或：‎ 有的解 即有的解，‎ 即有的解，‎ 的最大值，‎ ‎（3）（法一）根据（Ⅰ）的结论，当时，，即．‎ 令，则有，．‎ ‎，‎ ‎．‎ ‎(法二)当时，．‎ ‎，，即时命题成立．‎ 设当时，命题成立，即．‎ 时， ．‎ 根据（Ⅰ）的结论，当时，，即．‎ 令，则有，‎ 则有，即时命题也成立．‎ 因此，由数学归纳法可知不等式成立．‎ 考点：1．利用导数求闭区间上函数的最值；2．利用导数研究函数的单调性；3．数学归纳法．‎