【数学】2019届一轮复习人教A版几何证明选讲作业 11页

几何证明选讲 母题原题1】【 [选修4—1：几何证明选讲](本小题满分10分)‎ 如图，圆O的半径为2，AB为圆O的直径，P为AB延长线上一点，过P作圆O的切线，切点为C．若，求BC的长．‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎【母题原题2】如图，AB为半圆O的直径,直线PC切半圆O于点C，AP⊥PC，P为垂足.‎ ‎ ‎ 求证：（1）‎ ‎（2）.‎ ‎【答案】见解析 ‎ ‎ ‎【考点】圆性质，相似三角形 ‎【母题原题3】如图，在ABC中，∠ABC=90°，BD⊥AC，D为垂足，E是BC的中点.‎ 求证：∠EDC=∠ABD.‎ ‎ ‎ ‎【答案】详见解析 ‎【解析】‎ 试题分析：先由直角三角形斜边上中线性质， 再由，与互余，与互余，得，从而得证. ‎ 试题解析： ‎ 证明：在和中，‎ 因为为公共角，‎ 所以∽，于是.‎ 在中，因为是的中点，‎ 所以，从而.‎ 所以.‎ ‎【考点】相似三角形 ‎【名师点睛】1.相似三角形的证明方法：(1)找两对内角对应相等； (2)若只有一个角对应相等，再判定这个角的两邻边是否对应成比例；(3)若无角对应相等，就要证明三边对应成比例．‎ ‎2．利用相似三角形的性质进行对应边的比、对应角的度数的相关运算时，要善于联想变换比例式，通过添加辅助线构造相似三角形，同时注意面积法的应用．‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎【方法总结】‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎1．如图，过点的圆与切于点，且与分别交于点.已知为的平分.‎ 求证: ‎ ‎ ‎ ‎【答案】证明见解析 ‎ ‎ 点睛：主要考查的是相似三角形判定及有关性质的应用，切线的性质，比较简单.‎ ‎2．在△ABC中，已知AC＝AB，CM是∠ACB的平分线，△AMC的外接圆交BC边于点N，求证：BN=2AM．‎ ‎ ‎ ‎【答案】见解析 ‎【解析】分析：因为CM是∠ACB的平分线，由内角平分线定理，可得＝ ，再由圆的切割线定理，可得BM•BA=BN•BC，整理，即可得证. ‎ 证明： 如图，在△ABC中，因为CM是∠ACM的平分线，‎ ‎ 所以＝ ．‎ ‎ 又AC＝AB，所以＝ ① ‎ 因为BA与BC是圆O过同一点B的弦，‎ 所以，BM·BA＝BN·BC，即＝ ② ‎ 由①、②可知＝ ，‎ 所以 BN=2AM．‎ 点睛：本题考查内角平分线定理和圆的切割线定理及运用，考查推理能力，属于中档题．‎ ‎3．在中， 为边上一点，的外接圆交边于点，‎ 求证：是的平分线．‎ ‎ ‎ ‎【答案】证明见解析.‎ ‎ ‎ 点睛：本题主要考查几何证明选讲等基础知识，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力及分析推理能力.‎ ‎4．如图， 是圆的直径，弦， 的延长线相交于点， 垂直的延长线于点.‎ 求证： .‎ ‎ ‎ ‎【答案】见解析.‎ ‎ ‎ ‎5．如图，A，B，C是⊙O上的3个不同的点，半径OA交弦BC于点D．求证： ．‎ ‎ ‎ ‎【答案】证明见解析 ‎【解析】试题分析：延长交⊙O于点E，则，根据，即可得证.‎ 试题解析：证明：延长交⊙O于点E，则．‎ ‎∵， ‎ ‎∴．‎ ‎∴．‎ ‎6．如图,在Rt中,,且,是的中点,以为直径作一圆；连接并延长至,使,连接．‎ ‎ ‎ ‎（1）求证：直线是圆的切线；‎ ‎（2）若圆与线段相交于不同于的点，求线段的长．‎ ‎【答案】(1)证明见解析；(2).‎ ‎ ‎ ‎7．如图,AD,BC,CD是以AB为直径的圆的切线,切点分别为A,B,P,AC和BD交于Q点.‎ ‎ ‎ 求证：.‎ ‎【答案】见解析.‎ ‎ ‎ ‎8．如图， 为的边上的一点， 经过点，交于另一点， 经过点，交于另一点， 与交于点.‎ 求证： .‎ ‎ ‎ ‎【答案】证明见解析.‎ ‎【解析】试题分析：‎ ‎ ‎ ‎9．如图，已知的半径为，的半径为，两圆外切于点.点为上一点，与切于点.若，求的长.‎ ‎ ‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】试题分析：‎ 作辅助线，即延长交与点，连结，，，则过点．则得，然后证得，根据相似三角形的性质可得，从而可求得.‎ 试题解析：‎ 延长交与点，连结，，，则过点．‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎10．在中，N是边AC上一点，且，AB与的外接圆相切，求 的值．‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】试题分析：记外接圆为，利用圆的切割线定理和相似三角形进行求解.‎ 试题解析：记外接圆为，、分别是圆的切线和割线，所以，‎ 又，所以与相似，所以，所以 ‎ ‎，.‎ ‎ ‎ ‎ ‎