- 1.97 MB
- 2021-06-30 发布
- 1、本文档由用户上传,淘文库整理发布,可阅读全部内容。
- 2、本文档内容版权归属内容提供方,所产生的收益全部归内容提供方所有。如果您对本文有版权争议,请立即联系网站客服。
- 3、本文档由用户上传,本站不保证质量和数量令人满意,可能有诸多瑕疵,付费之前,请仔细阅读内容确认后进行付费下载。
- 网站客服QQ:403074932
浦东新区2020届高三一模数学试卷
一.填空题(本大题共12题,1-6每题4分,7-12每题5分,共54分)
1.若集合,集合,则________
【答案】
【解析】
【分析】
直接利用交集的概念运算即可.
详解】解:由已知,
故答案为:
【点睛】本题考查交集的运算,是基础题.
2.________
【答案】
【解析】
【分析】
将原式变形为,进而直接求极限即可.
【详解】解:,
故答案为:
【点睛】本题考查极限的求法,是基础题.
3.已知复数满足(为虚数单位),则 .
【答案】.
【解析】
试题分析:因为,所以,也可利用复数模的性质求解:
考点:复数的模
4.若关于、的方程组为,则该方程组的增广矩阵为________
【答案】
【解析】
【分析】
直接根据增广矩阵的定义写出这个方程组的增广矩阵.
【详解】解:由题意可得方程组增广矩阵为,
故答案为:.
【点睛】本题考查增广矩阵的定义,是基础题.
5.设是等差数列,且,,则________
【答案】
【解析】
【分析】
利用等差数列的通项公式列方程求出公差,进而可求出.
【详解】解:设等差数列的公差为,则
,又,
,
,
故答案为:.
【点睛】本题考查等差数列基本量及通项公式的求解,考查计算能力,是基础题.
6.在的二项展开式中,常数项的值为__________
【答案】15
【解析】
【分析】
写出二项展开式通项,通过得到,从而求得常数项.
【详解】二项展开式通项为:
当时,
常数项为:
本题正确结果:
【点睛】本题考查二项式定理的应用,属于基础题.
7.已知圆柱的底面半径为1,母线长为2,则其侧面积为______________.
【答案】
【解析】
【分析】
根据圆柱的侧面积公式,即可求得该圆柱的侧面积,得到答案.
【详解】由题意,圆柱底面半径为1,母线长为2,
根据圆柱的侧面积公式,可得其侧面积为.
【点睛】本题主要考查了圆柱的侧面积公式的应用,其中解答中熟记圆柱的侧面积公式,准确计算是解答的关键,着重考查了运算与求解能力,属于基础题.
8.已知集合,任取,则幂函数为偶函数的概率为________(结果用数值表示)
【答案】
【解析】
【分析】
首先找到使幂函数为偶函数的所有,然后利用概率公式求解即可.
【详解】解:要幂函数为偶函数,则,
故使幂函数为偶函数的概率为,
故答案为:
【点睛】本题考查幂函数的性质及简单的古典概型,是基础题.
9.在△中,边、、满足,,则边的最小值为________
【答案】
【解析】
【分析】
利用和余弦定理得出,利用条件求出的最大值,代入,即可得边的最小值.
【详解】解:由已知
,
,
,
故答案为:
【点睛】本题考查余弦定理以及基本不等式的应用,是基础题.
10.若函数存在零点,则实数的取值范围是________
【答案】
【解析】
【分析】
将函数存在零点转化为图像有交点,作出图像,观察图像得出实数的取值范围.
【详解】解:设,
则函数存在零点等价于图像有交点,
如图:
函数的图像恒过点,当其和函数的图像相切时,
,
所以的图像有交点时,
故答案为:
【点睛】本题考查函数零点问题的研究,关键是将零点问题转化为函数图像的交点问题,考核作图能力和数形结合的思想,是中档题.
11.已知数列,,,若对于任意的,,不等式恒成立,则实数的取值范围为________
【答案】
【解析】
【分析】
由题意可得,运用累加法和裂项相消求和可得,再由不等式恒成立问题可得恒成立,转化为最值问题可得实数的取值范围.
【详解】解:由题意数列中,,
即
则有
则有
又对于任意的,,不等式恒成立,
即对于任意的恒成立,
,恒成立,
∴,
故答案为:
【点睛】本题考查了数列递推公式,涉及数列的求和,注意运用裂项相消求和和不等式恒成立问题的解法,关键是将变形为.
12.如果方程组有实数解,则正整数的最小值是___
【答案】
【解析】
【分析】
当时,用方程(2)减去方程(1)的45倍,然后利用三角函数的有界性,发现矛盾,故从开始分析,当,我们可以取使,得出方程组的实数解,进而可得正整数的最小值.
【详解】如果,对于方程组
用方程(2)减去方程(1)的45倍,得
(3)
(3)式的左端的绝对值不大于,
因此(3)式不可能成立,故原方程组当时无解;
∴从开始分析,
当,我们可以取使
则
时,
故答案为:90.
【点睛】本题考查三角函数有界性的应用,关键时要发现时,原方程组无解,考查了学生计算能力和分析能力,本题难度较大.
二.选择题(本大题共4题,每题5分,共20分)
13.若命题甲:,命题乙:,则命题甲是命题乙的( )
A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件
C. 充要条件 D. 非充分也非必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】
分别分析甲能否推出乙,乙能否推出甲,即可得命题甲与命题乙的关系.
【详解】解:当,即时,,故命题甲可推出命题乙;
当,可得或,故命题乙不可以推出命题甲,
故命题甲是命题乙的充分非必要条件,
故选:A.
【点睛】本题考查充分性和必要性的判断,是基础题.
14.已知函数为函数的反函数,且函数的图像经过点,则函数的图像一定经过点( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
先求出函数的图像必经过点,然后即可求出函数的图像一定经过点.
【详解】解:函数的图像经过点,则函数的图像经过点,
则函数的图像一定经过点,
故选:B.
【点睛】本题主要考查互为反函数的两个函数图像之间的关系,属于基础题
15.以抛物线的焦点为右焦点,且长轴为4的椭圆的标准方程为( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
求出抛物线的焦点即为椭圆的焦点,即可得椭圆中的关系,再根据长轴长可得椭圆,进而可求出,即可得椭圆的标准方程.
【详解】解:有已知抛物线的焦点为,设椭圆方程为,
则,又由已知,
所以,
故椭圆方程为,
故选:C.
【点睛】本题考查椭圆标准方程的求解,是基础题.
16.动点在圆上绕坐标原点作逆时针匀速圆周运动,旋转一周
时间恰好是12秒,已知时间时,点的坐标是,则动点的纵坐标关于(单位:秒)的函数在下列哪个区间上单调递增( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
先根据题意:已知时间时,点的坐标是,得,再依据每12秒运动一周得出点每秒旋转的角度,从而秒旋转,利用三角函数的定义即可得出关于的函数解析式,进而可得出函数的单调增区间.
【详解】解:根据题意,
得,点每秒旋转,
所以秒旋转,,
则.
令,
解得:,
经检验:当时,,故D符合,
故选:D.
【点睛】本小题主要考查在几何问题中建立三角函数模型、三角函数的应用等基础知识,考查运算求解能力,属于基础题.
三.解答题(本大题共5题,共14+14+14+16+18=76分)
17.如图,四棱锥的底面是正方形,平面,,点是线段上任意一点.
(1)求证:;
(2)试确定点的位置,使与平面所成角的大小为30°.
【答案】(1)证明见解析(2)当时,与平面所成角的大小为
【解析】
【分析】
(1)连结,通过证明平面,即可得.另外可以利用空间向量证明线线垂直;
(2)由⊥平面可得与平面所成角为,,在中可求出值,即可得到点的位置.另外还可以用空间向量法求线面角.
【详解】(1)证明:连结,因为四边形为正方形,
所以,,
又因为⊥平面,平面,
所以.由平面.
又因为平面,所以.
(2)解法一:设,因为⊥平面,
所以与平面所成角为
在中,由.
所以,当时,与平面所成角的大小为.
解法2:(1)以为坐标原点,建立空间直角坐标系.
,,,.
设,则
则,
因为,
所以;
(2)取平面的一个法向量为
因为,可知直线的一个方向向量为.
设与平面所成角为,由题意知.与所成的角为,
则,
因为,所以,,
解得,.
当时,与平面所成角的大小为.
【点睛】本题考查线线垂直的证明以及线面角的求解,考查计算能力和空间想象能力,是基础题.
18.已知函数.
(1)求函数的最小正周期及单调递增区间;
(2)在△中,,若函数的图像经过点,求△的面积.
【答案】(1)周期,单调递增区间(2)
【解析】
【分析】
(1)将函数整理为,进而可求出周期,令,求出的范围,即可得函数的单调递增区间;
(2)由函数的图像经过点可求出,再根据,可求出,利用面积公式即可求出△的面积
【详解】解:(1)由已知
令,
得
所以函数的单调递增区间为;
(2)由已知,
又,
【点睛】
本题考查三角函数关系式的恒等变换,正弦型函数的最小正周期和单调区间的确定,利用角的范围确定角的大小,三角形面积公式的应用,是基础题.
19.某贫困村共有农户100户,均从事水果种植,平均每户年收入为1.8万元,在当地政府大力扶持和引导下,村委会决定2020年初抽出户(,)从事水果销售工作,经测算,剩下从事水果种植的农户平均每户年收入比上一年提高了,而从事水果销售的农户平均每户年收入为万元.
(1)为了使从事水果种植的农户三年后平均每户年收入不低于2.4万元,那么2020年初至少应抽出多少农户从事水果销售工作?
(2)若一年后,该村平均每户的年收入为(万元),问的最大值是否可以达到2.1万元?
【答案】(1)至少抽出户贫困农户从事水果销售工作(2)可以达到万元,详见解析
【解析】
【分析】
(1)首先得出种植户的平均收入,得不等式,解不等式即可得出答案;
(2)得出该村平均每户的年收入为,利用二次函数的性质求出最大值.
【详解】(1)经过三年,种植户的平均收入为
因而由题意,得
由,即至少抽出户贫困农户从事水果销售工作.
(2)
对称轴,
因而当时,可以达到万元.
【点睛】本题考查函数的应用问题,重点在于读懂题意,属于中档题.
20.已知曲线,过点作直线和曲线交于、两点.
(1)求曲线的焦点到它的渐近线之间的距离;
(2)若,点在第一象限,轴,垂足为,连结,求直线倾斜角的取值范围;
(3)过点作另一条直线,和曲线交于、两点,问是否存在实数,使得和同时成立?如果存在,求出满足条件实数的取值集合,如果不存在,请说明理由.
【答案】(1)(2)(3)存在,实数的取值集合为
【解析】
【分析】
(1)求出曲线的焦点和渐近线方程,利用点到直线的距离公式求求解即可;
(2)设,,表示出直线的斜率,根据的范围,求出其范围,进而得到倾斜角的取值范围;
(3)直接求出当直线,直线和当直线,直线时,的值,当时,与双曲线联立可得,利用弦长公式求出和,利用列方程求出的值,验证判别式成立即可得出结果.
【详解】(1)曲线的焦点为,渐近线方程,
由对称性,不妨计算到直线的距离,.
(2)设,,从而
又因为点在第一象限,所以,
从而,
所以直线倾斜角的取值范围是;
(3)当直线,直线
,
当直线,直线时,
不妨设,与双曲线联立可得,
由弦长公式,
将替换成,可得
由,可得,
解得,此时成立.
因此满足条件的集合为
【点睛】本题考查双曲线的性质以及直线和双曲线的位置关系,考查计算能力,注意不要遗漏直线斜率不存在的情况,可单独说明即可,本题是中档题.
21.定义(,)为有限实数列的波动强度.
(1)求数列1,4,2,3的波动强度;
(2)若数列,,,满足,判断是否正确,如果正确请证明,如果错误请举出反例;
(3)设数列,,,是数列,,,,的一个排列,求
的最大值,并说明理由.
【答案】(1)(2)是正确的,详见解析(3)当为偶数时,,;当为奇数时,,
【解析】
【分析】
(1)根据波动强度的定义直接计算;
(2)作差,利用或判断正负即可;
(3)设,,是单调递增数列,可整理,其中,,并且.经过上述调整后的数列,系数不可能为0,分的奇偶性讨论,确定各自含有的的个数,进而求出的最大值.
【详解】解:(1)
(2)是正确的
证明:
或,
且
所以,即
并且当时,可以取等号,当时,可以取等号,
所以等号可以取到;
(3)设,,是单调递增数列.
分是奇、偶数情况讨论
,其中,,并且.经过上述调整后的数列,系数不可能为0.
当为偶数时,系数中有个和个,个和个.
当为奇数时,有两种情况:系数中有个和个,个;
或系数中有个和个,个.
[1]是偶数,,
[2]是奇数,,
因为,,可知
综上,当为偶数时,,;
当为奇数时,,
【点睛】本题考查新定义计算,考查理解题意的能力和计算能力,是一道难度很大的题目.