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  • 2021-06-30 发布

上海市浦东新区2020届高三上学期期末考试数学试题

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浦东新区2020届高三一模数学试卷 一.填空题(本大题共12题,1-6每题4分,7-12每题5分,共54分)‎ ‎1.若集合,集合,则________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 直接利用交集的概念运算即可.‎ 详解】解:由已知,‎ 故答案为:‎ ‎【点睛】本题考查交集的运算,是基础题.‎ ‎2.________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将原式变形为,进而直接求极限即可.‎ ‎【详解】解:,‎ 故答案为:‎ ‎【点睛】本题考查极限的求法,是基础题.‎ ‎3.已知复数满足(为虚数单位),则 .‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】‎ 试题分析:因为,所以,也可利用复数模的性质求解:‎ 考点:复数的模 ‎4.若关于、的方程组为,则该方程组的增广矩阵为________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 直接根据增广矩阵的定义写出这个方程组的增广矩阵.‎ ‎【详解】解:由题意可得方程组增广矩阵为,‎ ‎ 故答案为:.‎ ‎【点睛】本题考查增广矩阵的定义,是基础题.‎ ‎5.设是等差数列,且,,则________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用等差数列的通项公式列方程求出公差,进而可求出.‎ ‎【详解】解:设等差数列的公差为,则 ‎,又,‎ ‎,‎ ‎,‎ 故答案为:.‎ ‎【点睛】本题考查等差数列基本量及通项公式的求解,考查计算能力,是基础题.‎ ‎6.在的二项展开式中,常数项的值为__________‎ ‎【答案】15‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 写出二项展开式通项,通过得到,从而求得常数项.‎ ‎【详解】二项展开式通项为:‎ 当时,‎ 常数项为:‎ 本题正确结果:‎ ‎【点睛】本题考查二项式定理的应用,属于基础题.‎ ‎7.已知圆柱的底面半径为1,母线长为2,则其侧面积为______________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据圆柱的侧面积公式,即可求得该圆柱的侧面积,得到答案.‎ ‎【详解】由题意,圆柱底面半径为1,母线长为2,‎ 根据圆柱的侧面积公式,可得其侧面积为.‎ ‎【点睛】本题主要考查了圆柱的侧面积公式的应用,其中解答中熟记圆柱的侧面积公式,准确计算是解答的关键,着重考查了运算与求解能力,属于基础题.‎ ‎8.已知集合,任取,则幂函数为偶函数的概率为________(结果用数值表示)‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先找到使幂函数为偶函数的所有,然后利用概率公式求解即可.‎ ‎【详解】解:要幂函数为偶函数,则,‎ 故使幂函数为偶函数的概率为,‎ 故答案为:‎ ‎【点睛】本题考查幂函数的性质及简单的古典概型,是基础题.‎ ‎9.在△中,边、、满足,,则边的最小值为________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用和余弦定理得出,利用条件求出的最大值,代入,即可得边的最小值.‎ ‎【详解】解:由已知 ‎,‎ ‎,‎ ‎,‎ 故答案为:‎ ‎【点睛】本题考查余弦定理以及基本不等式的应用,是基础题.‎ ‎10.若函数存在零点,则实数的取值范围是________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将函数存在零点转化为图像有交点,作出图像,观察图像得出实数的取值范围.‎ ‎【详解】解:设,‎ 则函数存在零点等价于图像有交点,‎ 如图:‎ ‎ ‎ 函数的图像恒过点,当其和函数的图像相切时,‎ ‎,‎ 所以的图像有交点时,‎ 故答案为:‎ ‎【点睛】本题考查函数零点问题的研究,关键是将零点问题转化为函数图像的交点问题,考核作图能力和数形结合的思想,是中档题.‎ ‎11.已知数列,,,若对于任意的,,不等式恒成立,则实数的取值范围为________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意可得,运用累加法和裂项相消求和可得,再由不等式恒成立问题可得恒成立,转化为最值问题可得实数的取值范围.‎ ‎【详解】解:由题意数列中,,‎ 即 则有 则有 又对于任意的,,不等式恒成立,‎ 即对于任意的恒成立,‎ ‎,恒成立,‎ ‎∴,‎ 故答案为:‎ ‎【点睛】本题考查了数列递推公式,涉及数列的求和,注意运用裂项相消求和和不等式恒成立问题的解法,关键是将变形为.‎ ‎12.如果方程组有实数解,则正整数的最小值是___‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 当时,用方程(2)减去方程(1)的45倍,然后利用三角函数的有界性,发现矛盾,故从开始分析,当,我们可以取使,得出方程组的实数解,进而可得正整数的最小值.‎ ‎【详解】如果,对于方程组 用方程(2)减去方程(1)的45倍,得 ‎ (3)‎ ‎(3)式的左端的绝对值不大于,‎ 因此(3)式不可能成立,故原方程组当时无解;‎ ‎∴从开始分析,‎ 当,我们可以取使 则 时,‎ 故答案为:90.‎ ‎【点睛】本题考查三角函数有界性的应用,关键时要发现时,原方程组无解,考查了学生计算能力和分析能力,本题难度较大.‎ 二.选择题(本大题共4题,每题5分,共20分)‎ ‎13.若命题甲:,命题乙:,则命题甲是命题乙的( )‎ A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 非充分也非必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分别分析甲能否推出乙,乙能否推出甲,即可得命题甲与命题乙的关系.‎ ‎【详解】解:当,即时,,故命题甲可推出命题乙;‎ 当,可得或,故命题乙不可以推出命题甲,‎ 故命题甲是命题乙的充分非必要条件,‎ 故选:A.‎ ‎【点睛】本题考查充分性和必要性的判断,是基础题.‎ ‎14.已知函数为函数的反函数,且函数的图像经过点,则函数的图像一定经过点( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求出函数的图像必经过点,然后即可求出函数的图像一定经过点.‎ ‎【详解】解:函数的图像经过点,则函数的图像经过点,‎ 则函数的图像一定经过点,‎ 故选:B.‎ ‎【点睛】本题主要考查互为反函数的两个函数图像之间的关系,属于基础题 ‎15.以抛物线的焦点为右焦点,且长轴为4的椭圆的标准方程为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出抛物线的焦点即为椭圆的焦点,即可得椭圆中的关系,再根据长轴长可得椭圆,进而可求出,即可得椭圆的标准方程.‎ ‎【详解】解:有已知抛物线的焦点为,设椭圆方程为,‎ 则,又由已知,‎ 所以,‎ 故椭圆方程为,‎ 故选:C.‎ ‎【点睛】本题考查椭圆标准方程的求解,是基础题.‎ ‎16.动点在圆上绕坐标原点作逆时针匀速圆周运动,旋转一周 时间恰好是12秒,已知时间时,点的坐标是,则动点的纵坐标关于(单位:秒)的函数在下列哪个区间上单调递增( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先根据题意:已知时间时,点的坐标是,得,再依据每12秒运动一周得出点每秒旋转的角度,从而秒旋转,利用三角函数的定义即可得出关于的函数解析式,进而可得出函数的单调增区间.‎ ‎【详解】解:根据题意,‎ 得,点每秒旋转, 所以秒旋转,, 则.‎ 令,‎ 解得:,‎ 经检验:当时,,故D符合, 故选:D.‎ ‎【点睛】本小题主要考查在几何问题中建立三角函数模型、三角函数的应用等基础知识,考查运算求解能力,属于基础题.‎ 三.解答题(本大题共5题,共14+14+14+16+18=76分)‎ ‎17.如图,四棱锥的底面是正方形,平面,,点是线段上任意一点.‎ ‎(1)求证:;‎ ‎(2)试确定点的位置,使与平面所成角的大小为30°.‎ ‎【答案】(1)证明见解析(2)当时,与平面所成角的大小为 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)连结,通过证明平面,即可得.另外可以利用空间向量证明线线垂直;‎ ‎(2)由⊥平面可得与平面所成角为,,在中可求出值,即可得到点的位置.另外还可以用空间向量法求线面角.‎ ‎【详解】(1)证明:连结,因为四边形为正方形,‎ ‎ ‎ 所以,,‎ 又因为⊥平面,平面,‎ 所以.由平面.‎ 又因为平面,所以.‎ ‎(2)解法一:设,因为⊥平面,‎ 所以与平面所成角为 在中,由.‎ 所以,当时,与平面所成角的大小为.‎ 解法2:(1)以为坐标原点,建立空间直角坐标系.‎ ‎,,,.‎ 设,则 则,‎ 因为,‎ 所以;‎ ‎(2)取平面的一个法向量为 因为,可知直线的一个方向向量为.‎ 设与平面所成角为,由题意知.与所成的角为,‎ 则,‎ 因为,所以,,‎ 解得,.‎ 当时,与平面所成角的大小为.‎ ‎【点睛】本题考查线线垂直的证明以及线面角的求解,考查计算能力和空间想象能力,是基础题.‎ ‎18.已知函数.‎ ‎(1)求函数的最小正周期及单调递增区间;‎ ‎(2)在△中,,若函数的图像经过点,求△的面积.‎ ‎【答案】(1)周期,单调递增区间(2)‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)将函数整理为,进而可求出周期,令,求出的范围,即可得函数的单调递增区间;‎ ‎(2)由函数的图像经过点可求出,再根据,可求出,利用面积公式即可求出△的面积 ‎【详解】解:(1)由已知 令,‎ 得 所以函数的单调递增区间为;‎ ‎(2)由已知,‎ 又,‎ ‎【点睛】‎ 本题考查三角函数关系式的恒等变换,正弦型函数的最小正周期和单调区间的确定,利用角的范围确定角的大小,三角形面积公式的应用,是基础题.‎ ‎19.某贫困村共有农户100户,均从事水果种植,平均每户年收入为1.8万元,在当地政府大力扶持和引导下,村委会决定2020年初抽出户(,)从事水果销售工作,经测算,剩下从事水果种植的农户平均每户年收入比上一年提高了,而从事水果销售的农户平均每户年收入为万元.‎ ‎(1)为了使从事水果种植的农户三年后平均每户年收入不低于2.4万元,那么2020年初至少应抽出多少农户从事水果销售工作?‎ ‎(2)若一年后,该村平均每户的年收入为(万元),问的最大值是否可以达到2.1万元?‎ ‎【答案】(1)至少抽出户贫困农户从事水果销售工作(2)可以达到万元,详见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)首先得出种植户的平均收入,得不等式,解不等式即可得出答案;‎ ‎(2)得出该村平均每户的年收入为,利用二次函数的性质求出最大值.‎ ‎【详解】(1)经过三年,种植户的平均收入为 因而由题意,得 由,即至少抽出户贫困农户从事水果销售工作.‎ ‎(2)‎ 对称轴,‎ 因而当时,可以达到万元.‎ ‎【点睛】本题考查函数的应用问题,重点在于读懂题意,属于中档题.‎ ‎20.已知曲线,过点作直线和曲线交于、两点.‎ ‎(1)求曲线的焦点到它的渐近线之间的距离;‎ ‎(2)若,点在第一象限,轴,垂足为,连结,求直线倾斜角的取值范围;‎ ‎(3)过点作另一条直线,和曲线交于、两点,问是否存在实数,使得和同时成立?如果存在,求出满足条件实数的取值集合,如果不存在,请说明理由.‎ ‎【答案】(1)(2)(3)存在,实数的取值集合为 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)求出曲线的焦点和渐近线方程,利用点到直线的距离公式求求解即可;‎ ‎(2)设,,表示出直线的斜率,根据的范围,求出其范围,进而得到倾斜角的取值范围;‎ ‎(3)直接求出当直线,直线和当直线,直线时,的值,当时,与双曲线联立可得,利用弦长公式求出和,利用列方程求出的值,验证判别式成立即可得出结果.‎ ‎【详解】(1)曲线的焦点为,渐近线方程,‎ 由对称性,不妨计算到直线的距离,.‎ ‎(2)设,,从而 又因为点在第一象限,所以,‎ 从而,‎ 所以直线倾斜角的取值范围是;‎ ‎(3)当直线,直线 ‎,‎ 当直线,直线时,‎ 不妨设,与双曲线联立可得,‎ 由弦长公式,‎ 将替换成,可得 由,可得,‎ 解得,此时成立.‎ 因此满足条件的集合为 ‎【点睛】本题考查双曲线的性质以及直线和双曲线的位置关系,考查计算能力,注意不要遗漏直线斜率不存在的情况,可单独说明即可,本题是中档题.‎ ‎21.定义(,)为有限实数列的波动强度.‎ ‎(1)求数列1,4,2,3的波动强度;‎ ‎(2)若数列,,,满足,判断是否正确,如果正确请证明,如果错误请举出反例;‎ ‎(3)设数列,,,是数列,,,,的一个排列,求 的最大值,并说明理由.‎ ‎【答案】(1)(2)是正确的,详见解析(3)当为偶数时,,;当为奇数时,,‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)根据波动强度的定义直接计算;‎ ‎(2)作差,利用或判断正负即可;‎ ‎(3)设,,是单调递增数列,可整理,其中,,并且.经过上述调整后的数列,系数不可能为0,分的奇偶性讨论,确定各自含有的的个数,进而求出的最大值.‎ ‎【详解】解:(1)‎ ‎(2)是正确的 证明:‎ 或,‎ 且 所以,即 并且当时,可以取等号,当时,可以取等号,‎ 所以等号可以取到;‎ ‎(3)设,,是单调递增数列.‎ 分是奇、偶数情况讨论 ‎,其中,,并且.经过上述调整后的数列,系数不可能为0.‎ 当为偶数时,系数中有个和个,个和个.‎ 当为奇数时,有两种情况:系数中有个和个,个;‎ 或系数中有个和个,个.‎ ‎[1]是偶数,,‎ ‎[2]是奇数,,‎ 因为,,可知 综上,当为偶数时,,;‎ 当为奇数时,,‎ ‎【点睛】本题考查新定义计算,考查理解题意的能力和计算能力,是一道难度很大的题目.‎ ‎ ‎