新疆喀什巴楚县第一中学2019-2020学年高二下学期期中考试数学（理）（A卷）试题 10页

巴楚县第一中学 ‎2019~2020学年第二学期高二数学（理）期中测试卷（A）‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题的4个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.复数的虚部为（ ）‎ A. -1 B. ‎1 ‎C. -2 D. 2‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由复数虚部的定义可得其虚部.‎ ‎【详解】复数，‎ 的虚部为，故选C.‎ ‎【点睛】本题主要考查复数虚部的定义，属于简单题.‎ ‎2.若f(x)＝sinα－cos x，则f′(x)等于（ ）‎ A. cosα＋sin x B. sinα＋cos x C. sinx D. cos x ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 直接利用导数的公式运算即可.‎ ‎【详解】由初等函数的导数公式可得.‎ 故选：C ‎【点睛】本题考查导数的运算法则以及基本初等函数的导数公式，考查学生的基本计算能力，是一道容易题.‎ ‎3.数列2,5,11,20，x，47...中的x等于（ ）‎ A. 28 B. ‎32 ‎C. 33 D. 27‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 通过观察，得出该数列从第二项起，后一项与前一项的差分别是3的倍数，由此可求得的值.‎ ‎【详解】因为数列的前几项为，‎ 其中，‎ 可得，解得，故选B.‎ ‎【点睛】本题主要考查了数列的概念及其应用，其中解答中根据题意发现数列中数字的排布规律是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.‎ ‎4.i是虚数单位，则复数在复平面内所对应的点在（ ）‎ A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎，再利用复数的几何意义即可得到答案.‎ ‎【详解】因为，所以复数在复平面内所对应的点为，在第二象限.‎ 故选：B ‎【点睛】本题主要考查复数的几何意义，涉及到虚数的性质，是一道容易题.‎ ‎5.在应用数学归纳法证明凸n边形的对角线为n(n－3)条时，第一步验证n等于(　　)‎ A. 1‎ B. 2‎ C. 3‎ D. 0‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 因为多边形的边数最少是，即三角形，在应用数学归纳法证明凸n边形的对角线为条时，第一步验证等于，故选C.‎ ‎【思路点睛】本题主要考查数学归纳法的基本原理，属于简单题. 用数学归纳法证明结论成立时，需要验证 时成立，然后假设假设时命题成立，证明时命题也成立即可，对于第一步，要确定，其实就是确定是结论成立的最小的.‎ ‎6.设复数z满足z＋3i＝3－i，则z的模＝（ ）‎ A 4 B. ‎3 ‎C. 5 D. 2‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由已知，，再利用复数模的计算公式计算即可.‎ 详解】由已知，，则.‎ 故选：C ‎【点睛】本题主要考查复数模计算，涉及到复数的加法，是一道容易题.‎ ‎7.4名男生和4名女生站成一排，若要求男女相间，则不同的排法数有（ ）‎ A. 2880 B. ‎1152 ‎C. 48 D. 144‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先将男生、女生分别全排列，再分析男女相间的情况种数，由乘法原理即可得到答案.‎ ‎【详解】将4名男生全排列有种不同排法，将4名女生全排列有种不同排法，要求男女相间，‎ 有2种方式，即男女男女男女男女，或女男女男女男女男，有乘法原理，可得不同的排法数 有种.‎ 故选：B ‎【点睛】本题考查不相邻元素的排列问题，考查学生的逻辑推理能力，是一道容易题.‎ ‎8.若,,则复数的模是 （ ）‎ A. 2 B. ‎3 ‎C. 4 D. 5‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 试题分析：根据题意可知，所以有，故所给的复数的模该为5，故选D.‎ 考点：复数相等，复数的模.‎ ‎9.在利用反证法证明命题“是无理数”时,假设正确的是（ ）‎ A. 假设是有理数 B. 假设是有理数 C. 假设或是有理数 D. 假设是有理数 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 反证法，也即是要先假设原命题的否定，然后证明这个否定是错误的，由此证得原命题成立.‎ ‎【详解】反证法，也即是要先假设原命题的否定，故“是无理数”的否定是“是有理数”.故选D.‎ ‎【点睛】本小题考查利用反证法证明题目的第一步，也就是假设原命题的否定成立.属于基础题.‎ ‎10.曲线在点处的切线方程是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用导数求出曲线在切点处的切线的斜率，然后利用点斜式可得出所求切线的方程．‎ ‎【详解】，，，‎ 因此，曲线在点处的切线方程为，即，故选B.‎ ‎【点睛】本题考查导数的几何意义，考查利用导数求函数在其上一点的切线方程，熟悉利用导数求切线方程的基本步骤是解题的关键，属于基础题．‎ ‎11.复数的实部与虚部之和为（ ）‎ A. B. C. 1 D. 2‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用复数的除法运算将复数化为标准型，再利用复数的概念即可得到答案.‎ ‎【详解】，所以实部与虚部之和为.‎ 故选：A ‎【点睛】本题主要考查复数的除法运算，涉及到复数的实部、虚部，考查学生的基本计算能力，是一道容易题.‎ ‎12.函数的单调减区间为 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 对函数求导，让函数的导函数小于零，解不等式，即可得到原函数的单调减区间.‎ ‎【详解】，所以函数的单调减区间为，故本题选D.‎ ‎【点睛】本题考查了利用导数求函数的单调减区间问题，正确求出导函数是解题的关键.‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.‎ ‎13.复数其中i为虚数单位，则z的实部是________________.‎ ‎【答案】5‎ ‎【解析】‎ 试题分析：．故答案应填：5‎ ‎【考点】复数概念 ‎【名师点睛】本题重点考查复数的基本运算和复数的概念，属于基本题.首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如，其次要熟悉复数的相关概念，如复数 的实部为，虚部为，模为，共轭为 ‎14.函数的导数为___________‎ ‎【答案】31‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用导数的运算法则运算即可.‎ ‎【详解】由已知，，所以.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查导数的运算，考查学生的基本计算能力，是一道容易题.‎ ‎15.____________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由排列数公式即可得到答案.‎ ‎【详解】.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查排列数公式，考查学生对排列数公式的记忆，是一道容易题.‎ ‎16.计算定积分的值为_________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 直接利用积分公式计算即可.‎ ‎【详解】.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查定积分的计算，考查学生的基本计算能力，是一道容易题.‎ 三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，注意解题格式.‎ ‎17.化简下列复数 ‎（1）‎ ‎（2）‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）分子分母同乘以分母的共轭复数即可；‎ ‎（2）分子分母同乘以分母的共轭复数即可.‎ ‎【详解】（1）；‎ ‎（2）.‎ ‎【点睛】本题考查复数的除法运算，考查学生的基本计算能力，是一道容易题.‎ ‎18.计算下列导数 ‎（1）‎ ‎（2）‎ ‎（3）‎ ‎（4）‎ ‎【答案】（1）.（2）.（3）.（4）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据，即可求得导数；‎ ‎（2）根据，即可求得导数；‎ ‎（3）根据和，即可求得导数；‎ ‎（4）根据复合函数的导数为：即可求得导数.‎ ‎【详解】（1），‎ 导数：‎ ‎（2），‎ 是个常数 ‎（3），‎ ‎（4）根据复合函数的导数为：‎ ‎.‎ ‎【点睛】本题主要考查了其函数的导数，解题关键是掌握常见的导数公式，考查了分析能力和计算能力，属于基础题.‎ ‎19.证明：‎ ‎【答案】见解析 ‎【解析】‎ 分析】‎ 按照分析法证明即可.‎ ‎【详解】证明：要证，只需证，‎ 即证，即证，即证，‎ 因为显然成立，所以原不等式成立.‎ ‎【点睛】本题考查分析法证明不等式，考查学生的逻辑推理能力，是一道容易题.‎ ‎20.求函数的单调区间和极值．‎ ‎【答案】单调递增区间为和单调递减区间为 极大值为 ‎，极小值为. ‎ ‎【解析】‎ 试题分析：对函数求导，令导数为零，求出值，划分区间，研究导数在个区间内的符号，得出单调区间，并求出极值.‎ 试题解析：‎ ‎ ，令 ， ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎ ‎ ‎0‎ ‎+‎ ‎ ‎ ‎↗‎ 极大值 ‎↘‎ 极小值 ‎↗‎ 则函数的增区间为，，减区间为；‎ 当时，取得极大值，当时，取得极小值.‎ ‎21.实数m取什么值时，复数z＝m＋1＋(m－1)i是：‎ ‎(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数．‎ ‎【答案】(1) m＝1 (2) m≠1 (3) m＝－1‎ ‎【解析】‎ ‎(1)当m－1＝0，即m＝1时，复数z是实数．‎ ‎(2)当m－1≠0，即m≠1时，复数z是虚数．‎ ‎(3)当m＋1＝0，且m－1≠0，即m＝－1时，复数z是纯虚数．‎ ‎22.一个口袋内装有大小相同的7个白球和1个黑球.‎ ‎（1）从口袋内取出3个球，共有多少种取法？‎ ‎（2）从口袋内取出3个球，使其中含有1个黑球，有多少种取法？‎ ‎（3）从口袋内取出3个球，使其中不含黑球，有多少种取法？‎ ‎【答案】（1）56；（2）21；（3）35‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）没有任何要求，直接从8个球中取3个即可；‎ ‎（2）从口袋内取出3个球，使其中含有1个黑球，则只需从7个白球中取2个即可；‎ ‎（3）从口袋内取出3个球，使其中不含黑球，则只需从7个白球中取3个 ‎【详解】（1）从口袋内取出3个球，共有种.‎ ‎（2）从口袋内取出3个球，使其中含有1个黑球，则需从7个白球中取2个，‎ 所以共有种.‎ ‎（3）从口袋内取出3个球，使其中不含黑球，也就是要从7个白球中取出3个球，‎ 所以共有种.‎ ‎【点睛】本题考查组合及组合数的应用，考查学生的基本计算能力，是一道容易题.‎