2018届二轮复习（文）平面向量题专项练课件（全国通用） 18页

1.4 　平面向量题专项练 - 2 - 1 . 平面向量的两个定理及一个结论 (1) 向量共线定理 : 向量 a ( a ≠ 0 ) 与 b 共线当且仅当存在唯一一个实数 λ , 使 b = λ a . (2) 平面向量基本定理 : 如果 e 1 , e 2 是同一平面内的两个不共线向量 , 那么对这一平面内的任一向量 a , 有且只有一对实数 λ 1 , λ 2 , 使 a = λ 1 e 1 + λ 2 e 2 , 其中 e 1 , e 2 是一组基底 . (3) 三点共线的充要条件 : A , B , C 三点共线 ⇔ 存在实数 λ , 使 - 3 - 2 . 平面向量的数量积 (1) 若 a , b 为非零向量 , 夹角为 θ , 则 a · b =| a || b | cos θ . (2) 设 a = ( x 1 , y 1 ), b = ( x 2 , y 2 ), 则 a · b =x 1 x 2 +y 1 y 2 . 3 . 两个非零向量平行、垂直的充要条件 若 a = ( x 1 , y 1 ), b = ( x 2 , y 2 ), 则 (1) a ∥ b ⇔ a = λ b ( b ≠ 0 ) ⇔ x 1 y 2 -x 2 y 1 = 0 . (2) a ⊥ b ⇔ a · b = 0 ⇔ x 1 x 2 +y 1 y 2 = 0 . 4 . 利用数量积求长度 - 4 - 5 . 利用数量积求夹角 若非零向量 a = ( x 1 , y 1 ), b = ( x 2 , y 2 ), θ 为 a 与 b 的夹角 , 则 cos 当 a · b > 0( 或 a · b < 0) 时 , 则 a 与 b 的夹角为锐角 ( 或钝角 ), 或 a 与 b 方向相同 ( 或方向相反 ) . 要注意夹角 θ = 0( 或 θ = π ) 的情况 . - 5 - 一、选择题 二、填空题 1 . (2017 全国 Ⅱ , 文 4) 设非零向量 a , b 满足 | a + b |=| a - b | , 则 ( A ) A . a ⊥ b B .| a |=| b | C . a ∥ b D .| a |>| b | 2 . 向量 a = (1, - 1), b = ( - 1,2), 则 (2 a + b )· a = ( C ) A .- 1 B . 0 C . 1 D . 2 解析 : 由 | a + b |=| a - b | , 平方得 a 2 + 2 a · b + b 2 = a 2 - 2 a · b + b 2 , 即 a · b = 0 . 又 a , b 为非零向量 , 故 a ⊥ b , 故选 A . 解析 : ∵ 2 a + b = (1,0), 又 a = (1, - 1), ∴ (2 a + b ) · a = 1 + 0 = 1 . - 6 - 一、选择题 二、填空题 ( D ) A . 点 D 不在直线 BC 上 B . 点 D 在 BC 的延长线上 C . 点 D 在线段 BC 上 D . 点 D 在 CB 的延长线上 ∴ D' 和 D 重合 , ∴ 点 D 在 CB 的延长线上 . 故选 D . - 7 - 一、选择题 二、填空题 ∴ 3( λ + 4) + 3(2 λ + 5) = 0, 解得 λ =- 3 . - 8 - 一、选择题 二、填空题 解析 : 因为 D , E , F 分别是 BC , CA , AB 的中点 , - 9 - 一、选择题 二、填空题 6 . (2017 河北邯郸二模 , 文 4) 已知向量 a = ( m ,2), b = (2, - 1), 且 a ⊥ b , 则 解析 : ∵ a = ( m ,2), b = (2, - 1), 且 a ⊥ b , ∴ a · b = 2 m- 2 = 0, ∴ m= 1, ∴ a = (1,2),2 a - b = (0,5), | 2 a - b |= 5 . 又 a + b = (3,1), a · ( a + b ) = 1 × 3 + 2 × 1 = 5, - 10 - 一、选择题 二、填空题 7 . ( 2017 河北衡水金卷一 , 文 7) 如图 , 在 △ ABC 中 , 点 D 满足 - 11 - 一、选择题 二、填空题 8 . (2017 河北邯郸一模 , 文 3) 已知向量 a , b 满足 | a |= 2, | b |= 3,( a - b )· a = 1, 则 a 与 b 的夹角为 ( C ) 解析 : 向量 a , b 满足 | a |= 2, | b |= 3, 且 ( a - b ) · a = 1, ∴ a 2 - b · a = 1, ∴ 2 2 - 3 × 2 × cos < b , a >= 1, - 12 - 一、选择题 二、填空题 9 . 若非零向量 a , b 满足 | a |= | b | , 且 ( a-b ) ⊥ (3 a+ 2 b ), 则 a 与 b 的夹角为 ( D ) 解析 : 设 a 与 b 的夹角为 α , 由题意可知 ( a-b ) · (3 a+ 2 b ) = 3 a 2 -a · b- 2 b 2 = 0 , - 13 - 一、选择题 二、填空题 10 . (2017 湖北武汉二月调考 , 文 4) 非零向量 a , b 满足 a ⊥ (2 a + b ), 且 a - 14 - 一、选择题 二、填空题 11 . 已知 a , b 是单位向量 , 且 a · b =- , 若平面向量 p 满足 p · a=p · b = , 则 | p |= ( B ) 解析 : 设 a 与 b 的夹角为 α , ∵ p · a=p · b , ∴ p · ( a-b ) = 0 . ∴ p ⊥ ( a - b ) . 可知向量 p 与向量 a , b 的夹角相等 , - 15 - 一、选择题 二、填空题 12 . (2017 辽宁沈阳一模 , 文 6) 在 △ ABC 中 , O 为其内部一点 , 且 满足 A . 3 ∶ 4 B . 3 ∶ 2 C . 1 ∶ 1 D . 1 ∶ 3 - 16 - 一、选择题 二、填空题 13 . 已知向量 a = ( m ,4), b = (3, - 2), 且 a ∥ b , 则 m= - 6 　 .  14 . (2017 全国 Ⅰ , 文 13) 已知向量 a = ( - 1,2), b = ( m ,1), 若向量 a + b 与 a 垂直 , 则 m= 7 　 .  解析 : 因为 a ∥ b , 所以 - 2 m- 4 × 3 = 0, 解得 m=- 6 . 解析 : 因为 a = ( - 1,2), b = ( m ,1), 所以 a + b = ( m- 1,3) . 因为 a + b 与 a 垂直 , 所以 ( a + b ) · a = 0, 即 - ( m- 1) + 2 × 3 = 0, 解得 m= 7 . - 17 - 一、选择题 二、填空题 由余弦定理可得 BC 2 =AB 2 +AC 2 - 2 AB·AC· cos A= 9 + 16 - 12 = 13 , - 18 - 一、选择题 二、填空题 16 . (2017 北京丰台一模 , 文 12) 如图 , 在直角梯形 ABCD 中 , AD ∥ BC , ∠ ADC= 90°, AD= 2, BC=CD= 1, P 是 AB 的中点 , 则 解析 : ( 法一 ) 在直角梯形 ABCD 中 , AD ∥ BC , ∠ ADC= 90°, AD= 2, BC=CD= 1, 可得 △ BCD 为等腰直角三角形 , ( 法二 ) 以 D 为坐标原点 , 分别以 DA , DC 为 x , y 轴建立坐标系 ( 图略 ), 则 A (0,2), B (1,1),