辽宁省沈阳市沈河区第二中学2020届高三上学期10月月考数学（理）试题 21页

沈阳二中2019—2020学年度上学期10月阶段测试 高三（20届）理科数学试题 说明：测试时间：120分钟 总分：150分 第Ⅰ卷（60分）‎ 一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）‎ ‎1.已知集合， ，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求出集合， ，然后根据交集的定义求出 ‎【详解】， ‎ 故选 ‎【点睛】本题主要考查了集合的交集运算，属于基础题 ‎2.复数z满足，则复数的虚部是（ ）‎ A. 1 B. －1 C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由已知条件计算出复数的表达式，得到虚部 ‎【详解】由题意可得 ‎ 则 ‎ 则复数的虚部是 故选C ‎【点睛】本题考查了复数的概念及复数的四则运算，按照除法法则求出复数的表达式即可得到结果，较为简单 ‎3.已知，关于的下列结论中错误的是（ ）‎ A. 的一个周期为 B. 在单调递减 C. 的一个零点为 D. 的图象关于直线对称 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据余弦型函数的图像与性质，分别对四个选项进行判断，得到答案.‎ ‎【详解】函数 其最小正周期为，所以也是其一个周期，故项正确；‎ 当时，即，单调递减，可得在上单调递减，在上单调递增，故项错误；‎ ‎，代入得，故项正确；‎ 把代入，得，所以是一条对称轴，故项正确.‎ ‎【点睛】本题考查余弦型函数的图像与性质，属于简单题.‎ ‎4.下列说法错误的是（ ）‎ A. 对于命题,则 B. “”是“”的充分不必要条件 C. 若命题为假命题，则都是假命题 D. 命题“若，则”的逆否命题为：“若，则”‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析：对于A,全称命题“非”是存在性命题，且否定结论，即A正确；‎ 对于B，时，成立，但反之，时，，所以B正确；‎ 对于C,，命题为假命题，说明至少有一为假命题，所以C错；‎ 对于D，逆否命题否定原命题条件和结论并互换，D正确，故选C．‎ 考点：1、逆否命题；2、充分条件与必要条件；3、复合命题．‎ ‎【名师点晴】本题主要考查的是逆否命题、充分条件与必要条件和复合命题的真假性，属于容易题．解题时一定要注意时，是的充分条件，是的必要条件，否则很容易出现错误．充分、必要条件的判断即判断命题的真假，在解题中可以根据原命题与其逆否命题进行等价转化．‎ ‎5.函数（，且）的图象恒过定点，且点在角的终边上，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 令对数的真数等于1，求得x、y的值，可得定点A的坐标，再利用任意角的三角函数的定义求得，再利用同角三角函数的基本关系、二倍角的正弦公式，求得的值．‎ ‎【详解】对于函数且，令，求得，，‎ 可得函数的图象恒过点，且点A在角的终边上，‎ ‎，则，‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】本题主要考查对数函数的图象经过定点问题，任意角的三角函数的定义，同角三角函数的基本关系、二倍角的正弦公式，属于基础题．‎ ‎6.已知向量，满足，，，则向量，的夹角为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 设向量，的夹角为，因为，，，，所以 ① ②，由①②可得，，故选D.‎ ‎7.已知在等边三角形中，，，则（ ）‎ A. 4 B. C. 5 D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 由条件知M，N是BC的三等分点，故 ‎ 展开得到，等边三角形中，任意两边夹角为六十度，所有边长为3 ，，， ‎ 代入表达式得到。‎ 故答案为D。‎ ‎8.的值是（　　）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【详解】因为定积分，结合定积分的几何意义可知,原式等于圆心为（1,1），半径为1的四分之一个圆的面积减去得到，即为，选A.‎ ‎9.已知函数是定义在上的图象不间断的函数，其导函数的图象如图所示，则的极值点的个数为（ ）‎ A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据导函数的图像，得到导函数零点且其附近导函数值正负号发生变化的点的个数，从而判断出的极值点的个数.‎ ‎【详解】由函数的导函数的图像 可得导函数零点且其附近导函数值正负号发生变化的点的个数有个，‎ 所以的极值点的个数为，‎ 故选项.‎ ‎【点睛】本题考查由导函数的图像判断原函数极值点的个数，属于简单题.‎ ‎10.已知定义在上的函数满足：‎ ‎①；‎ ‎②；‎ ‎③当时，‎ 则函数在区间上的零点个数为（ ）‎ A. 5 B. 6 C. 7 D. 8‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由①可得的图象关于点对称，由②可得的图象关于直线对称，先作出在的图象，再由对称性，作出在的图象，同时作出在的图象，通过图象观察即可得到零点个数．‎ ‎【详解】解：由①‎ 可得的图象关于点对称，‎ 由②‎ 可得的图象关于直线对称 作出在的图象，如图所示，‎ 由得到的对称性，作出在的图象，如图所示，‎ 作出函数在的图象，如图所示，‎ 由图象观察可得它们共有个交点， 即有函数在区间上的零点个数为．‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】本题考查函数的零点的个数判断，主要考查图象法的运用，同时考查函数的对称性，属于中档题．‎ ‎11.已知函数的图象与的图象关于直线对称，则的图象的一个对称中心可以为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先对进行整理，得到的解析式，然后由图像与图像关于直线对称，得到，从而确定解析式，再表示出的对称中心，得到答案.‎ ‎【详解】函数 因为图像与图像关于直线对称，‎ 所以 所以的对称中心横坐标满足：，即 所以当时，对称中心坐标为，‎ 故选项.‎ ‎【点睛】本题考查利用三角函数公式进行化简，两个函数关于轴对称，余弦型函数的图像与性质，属于中档题.‎ ‎12.设函数是函数的导函数，为自然对数的底数，若函数满足，且，则不等式的解集为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由得到，再由得到解析式，设，通过求导得到，得到单调递减，将所求不等式中，从而转化为形式，利用单调性求出的范围，再得到的范围，得到答案.‎ ‎【详解】因为，‎ 所以，‎ 所以可得，即 因为，所以，‎ 所以，‎ 所以，‎ 令，则，‎ 所以在定义域内单调递减，‎ 所求不等式中 所以 即，‎ 又因，所以 所以 而在定义域内单调递减，‎ 所以，‎ 即，得，‎ 故选项.‎ ‎【点睛】本题考查通过导数研究函数的单调性，利用单调性解不等式，积分求函数解析式，属于难题.‎ 第Ⅱ卷（90分）‎ 本卷包括必考题和选考题两部分，第13题~第21题为必考题，每个试题考生都必须做答.第22题~第23题为选考题，考生根据要求做答.‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.‎ ‎13.与垂直的单位向量是______.‎ ‎【答案】或 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设单位向量，则根据单位向量与垂直，得到的关系，解出，得到答案,‎ 详解】设单位向量，则，‎ 因为单位向量与垂直，‎ 得到 联立解得或，‎ 所以答案为或.‎ ‎【点睛】本题考查单位向量的性质，向量垂直的坐标表示，属于简单题.‎ ‎14.__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎，应填答案。‎ 点睛：解答本题关键是借助题设中角度的特征，先将切化弦，再运用三角变换公式及二倍角的正弦余弦公式进行运算，进而达到化简的目的。‎ ‎15.已知，，则在方向上正射影的数量为______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据公式得到在方向上正射影的数量为，根据条件得到和的值，从而得到结果 ‎【详解】因为，，‎ 所以 所以在方向上正射影的数量为 故答案为 ‎【点睛】本题考查求向量的射影长度，属于简单题.‎ ‎16.已知为锐角三角形，满足，外接圆的圆心为，半径为1，则的取值范围是______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用正弦定理，将转化为边，得到，将所求的转化成，结合，全部转化为的函数，再求出的范围，从而得到答案.‎ ‎【详解】根据正弦定理，‎ 将转化为 即，又因为锐角，所以.‎ 所以 因为是锐角三角形，‎ 所以，所以，得，‎ 所以 故的取值范围是.‎ ‎【点睛】本题考查向量的线性运算、数量积，正、余弦定理解三角形，余弦型函数的图像与性质，属于难题.‎ 三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎17.已知函数在上的最大值为，当把的图象上的所有点向右平移个单位后，得到图象对应函数的图象关于直线对称.‎ ‎（1）求函数的解析式；‎ ‎（2）在中，三个内角的对边分别为，已知在轴右侧的第一个零点为，若，求的面积的最大值.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）由题意可得，解出，利用平移变换可得，利用正弦函数的对称性，可得，得出的值，即可解得函数的解析式；（2）由题意得可得，解得的值，由余弦定理可得，利用三角形的面积公式即可求解.‎ 试题解析：（1）由题意知，函数在区间上单调递增，所以，‎ ‎，得.‎ 经验证当时满足题意，故求得，所以,‎ 故，又，所以.‎ 故.‎ ‎（2）根据题意，，又 得：,,‎ 的最大值为.‎ 考点：正弦型函数的图象与性质.‎ ‎18.某观测站在城A南偏西20°方向的C处,由城A出发的一条公路,走向是南偏东40°,在C处测得公路距C 31千米的B处有一人正沿公路向城A走去,走了20千米后到达D处,此时CD间的距离为21千米,问这人还要走多少千米可到达城A?‎ ‎【答案】见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意设，，则可以求出，，，，在中，由正弦定理求得即可得到答案 ‎【详解】设∠ACD=α，∠CDB=β.在△CBD中．由余弦定理得 cosβ＝‎ ‎∴sinβ＝.‎ 而sinα＝sin(β－60°)‎ ‎＝sinβcos60°－sin60°cosβ ‎＝·＋·＝.‎ 在△ACD中，＝，‎ ‎∴AD＝＝15(千米)．‎ 所以这人再走15千米才可到城A.‎ ‎【点睛】本题是解斜三角形的应用问题，关键是设角以及如何把题设条件转化为三角形中的已知元素，然后解三角形求结果，注意利用正弦定理和余弦定理合理的得到边角的关系式。‎ ‎19.将4本不同的书随机放入如图所示的编号为1，2，3，4的四个抽屉中.‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎（Ⅰ）求4本书恰好放在四个不同抽屉中的概率；‎ ‎（Ⅱ）随机变量表示放在2号抽屉中书的本数，求的分布列和数学期望.‎ ‎【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）分布列见解析，数学期望为1‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）先得到全部的情况，再得到符合要求的4本书恰好放在四个不同抽屉的情况，根据古典概率公式，得到答案；（Ⅱ）每本书放在2号抽屉中，符合二项分布的概率形式，得到可能出现的情况，根据公式得到每种情况的概率，列出分布列，再由公式得到数学期望.‎ ‎【详解】解：（Ⅰ）将4本不同的书放入编号为1，2，3，4的四个抽屉中，共有种不同的放法.‎ 记“4本书恰好放在四个不同抽屉中”事件，事件共包含个基本事件，‎ 所以，‎ 所以4本书恰好放在四个不同抽屉中的概率为.‎ ‎（Ⅱ）记“每本书放在2号抽屉中”为事件，‎ 则，，根据题意，‎ 所以，，‎ 所以的分布列为 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ 所以的数学期望为.‎ ‎【点睛】本题考查古典概型的计算，二项分布概率公式和分布列及数学期望，属于中档题.‎ ‎20.已知函数．‎ ‎（1）求的单调区间；‎ ‎（2）当时，恒成立，求的取值范围．‎ ‎【答案】（1）函数在上单调递减，在上单调递增；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）先求函数的导数，利用导函数的正负情况，得到原函数的单调区间.（2）构造函数 ，求得导数，对分成三类，结合的单调区间，根据列不等式，解不等式求得的取值范围.‎ ‎【详解】解：（1） ，‎ 令，解得，‎ 当，，则函数在上单调递减；‎ 当，，则函数在上单调递增.‎ ‎（2）令 ，根据题意，‎ 当时，恒成立.‎ ‎ .‎ ‎①当，时，恒成立，‎ 所以在上是增函数，且，所以不符合题意；‎ ‎②当，时，恒成立，‎ 所以在上是增函数，且，所以不符合题意；‎ ‎③当时，因为，所以恒有，故在上是减函数，于是“对任意都成立”的充要条件是，‎ 即，解得，故.‎ 综上，的取值范围是.‎ ‎【点睛】本小题主要考查利用导数求函数的单调区间，考查利用导数求解不等式恒成立问题，考查化归与转化的数学思想方法，考查分类讨论的数学思想方法，属于难题.要利用导数求解不等式恒成立问题，首先构造一个函数，然后利用导数研究这个函数的最值，根据最值的情况列不等式，解不等式求得参数的取值范围.‎ ‎21.设，‎ ‎（Ⅰ）证明；‎ ‎（Ⅱ）若，证明：.‎ ‎【答案】（Ⅰ）证明见解析 （Ⅱ）证明见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）构造函数，求导得到，再设 ‎，求导得到，利用导数求得最小值为，从而判断出，得到单调性，结合，得到时，从而证明不等式成立；（Ⅱ）构造函数，求导得到，再设，求导得到，判断出，单调减，即得到在上单调递减，结合，得到，再结合（Ⅰ）的结论，证明出不等式 ‎【详解】解：（Ⅰ）设，，‎ 则.‎ 令，，‎ 则.‎ 当时，由于，所以，‎ 因此在上单调递增.‎ 于是有，，‎ 从而可知在上单调递增，‎ 又，所以，，‎ 即，.‎ ‎（Ⅱ）设，，‎ 则.‎ 令，，‎ 则，.‎ 所以在上单调递减，‎ 从而，‎ 因此在上单调递减，‎ 于是，即，‎ 即，.‎ 而 所以 由（Ⅰ）的结论，可得 所以可得，‎ 又单调递增，‎ 所以得.‎ ‎【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性、极值、最值，利用函数单调性证明不等式，属于难题.‎ 请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分。做答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应题号下方的方框涂黑。‎ ‎22.在极坐标系中，曲线的极坐标方程为，曲线的极坐标方程为，以极点为坐标原点，极轴为的正半轴建立平面直角坐标系.‎ ‎（1）求和的参数方程；‎ ‎（2）已知射线，将逆时针旋转得到，且与交于两点， 与交于两点，求取得最大值时点的极坐标.‎ ‎【答案】（Ⅰ）为参数）; （Ⅱ）‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（Ⅰ）根据坐标方程之间的转化，分别求出C1和C2的参数方程即可；（Ⅱ）设出P，Q的极坐标，表示出|OP|•|OQ|的表达式，结合三角函数的性质求出P的极坐标即可．‎ 试题解析：（Ⅰ）在直角坐标系中，曲线的直角坐标方程为 所以参数方程为为参数）. ‎ 曲线的直角坐标方程为. ‎ 所以参数方程为为参数） ‎ ‎（Ⅱ）设点极坐标为, 即, ‎ 点极坐标为, 即. ‎ 则 ‎ ‎ 当时 取最大值，此时点的极坐标为.‎ ‎23.设不等式的解集为M，.‎ ‎（1）证明：；‎ ‎（2）比较与的大小，并说明理由.‎ ‎【答案】(1)证明见解析；(2).‎ ‎【解析】‎ 试题分析：‎ ‎(1)首先求得集合M，然后结合绝对值不等式的性质即可证得题中的结论；‎ ‎(2)利用平方做差的方法可证得|1-4ab|＞2|a-b|.‎ 试题解析：‎ ‎（Ⅰ）证明：记f (x) =|x-1|-|x+2|，‎ 则f(x)= ，所以解得-＜x＜，故M=(-,).‎ 所以，||≤|a|+|b|＜×+×=.‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）得0≤a2＜，0≤b2＜.‎ ‎|1-4ab|2-4|a-b|2=(1-8ab+16a2b2)-4(a2-2ab+b2)=4(a2-1)(b2-1)>0.‎ 所以，|1-4ab|＞2|a-b|.‎ ‎ ‎