2017-2018学年安徽省亳州市高二上学期期末数学理试题（解析版） 12页

亳州市2017-2018学年度第一学期期末高二质量检测 数学试卷（理）‎ 第Ⅰ卷（共60分）‎ 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1. 椭圆的焦距为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎2. 已知是等差数列的第项，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】由等差数列5,8,11,17，知，首项 公差，所以通项公式为，令，选D.‎ ‎3. 已知向量，且与互相垂直，则实数的值是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】试题分析：由向量，，得，；‎ 由互相垂直，得，解得．‎ 故选D．‎ 考点：空间向量垂直的充要条件．‎ ‎4. 已知实数满足，则的最大值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 由已知不等式组，画出可行域如图所示，阴影部分，其中，令有表示经过原点的直线，由有，当直线的纵截距有最大值时，就有最大值，所以直线经过点B时，纵截距有最大值，的最大值为，选A. ‎ ‎5. 在中，已知，则（ ）‎ A. B. C. 或 D. ‎ ‎【答案】C ‎6. “”是“”的（ ）‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】由有，等价于且 ，所以原不等式的解为或，而的解为或，所以 故是的充分不必要条件，选A.‎ 点睛：本题主要考查分式不等式的解集以及充分必要条件，属于易错题。正确求解分式不等式的解是解题的关键。‎ ‎7. 若坐标原点到抛物线的准线的距离为，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】解析：因，故由题设可得，所以，应选答案D。‎ ‎8. 若，且，则下列不等式成立的是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】对于选项A，取，则不成立；对于选项B，，因为，所以，则，选项B不成立；对于选项C，因为，，由不等式的性质有 ，选项C成立；对于选项D，当时，不等式不成立，所以本题正确选项为C.‎ ‎9. 已知，则直线与平面交点的坐标是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】设直线AB与平面交点为，则，又与共线，所以，则，解得，选D.‎ ‎10. 如图，过抛物线的焦点的直线交抛物线于点，交其准线于点，若点是的中点，且，则线段的长为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 设点A,B在准线上的射影分别为M,N，准线与轴交于点H，则，由已知F是AC的中点，,，设，则，即，解得，所以，选B.‎ 点睛：办呢体主要考查抛物线的定义及其应用，抛物线的几何性质，过抛物线的焦点弦问题，平面几何知识，转化化归的思想方法，属于中档题。‎ ‎11. 设，则的最小值是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】因为，，，故可设 则: ,再根据三角函数最值的求法可直接得到的最小值是-3.所以C选项是正确的.‎ ‎12. 已知数列满足递推关系，（其中为正常数，）且.若等式成立，则正整数的所有可能取值之和为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】由已知有是公差为的等差数列， 是公比为的等比数列，所以 ，解得（舍去），所以，故数列中的项分别为，若满足，当或时，等式成立，当的值越大，的值就越大，此时与不可能相等，故正整数的所有可能取值之和为4，选B.‎ 点睛：本题主要考查等差等比数列的定义，考查运算求解能力，属于中档题。‎ 第Ⅱ卷（共90分）‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13. 命题“”的否定为__________．‎ ‎【答案】，‎ ‎【解析】特称命题“ ”的否定是全称命题“”。‎ ‎14. 在平行六面体中，为与的交点.若，则向量可以用表示__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 在平行四边形中，与交于M点，，所以。‎ ‎15. 若等比数列的前项和恒成立，则该数列的公比的取值范围是_．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由已知有首项，当公比时显然符合题意，当时，，由有，所以恒成立，当时，则 恒成立，为奇数时显然成立，当为偶数时，则；当时，，所以，符合；当时，，所以，所以，符合。综合以上讨论有或。‎ ‎16. 已知双曲线的右焦点为，若直线上存在点，使得，其中为坐标原点，则双曲线的离心率的最小值为__________．‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】设直线与轴交于H点，设，则，而，所以，化简得，解得，则双曲线的离心率的最小值为2.‎ 点睛：本题主要考查双曲线的方程和性质，两角差的正切公式，离心率的求法，基本不等式的应用，考查运算能力，属于中档题。‎ 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） ‎ ‎17. 已知，求：‎ ‎（1）；‎ ‎（2）与所成角的余弦值.‎ ‎【答案】(1) c＝(3，－2,2);(2).‎ ‎【解析】试题分析：（1）利用向量共线、垂直的条件，求出的值，即可求出；（2）分分别求出的坐标，利用公式求出。‎ 试题解析：（1）因为a∥b，所以＝＝，解得x＝2,y＝－4，这时a＝(2,4,1)，b＝(－2,－4,－1)．又因为b⊥c，所以b·c＝0，即－6＋8－z＝0，解得z＝2，于是c＝(3，－2,2)．‎ ‎（2）由（1）得a＋c＝(5,2,3)，b＋c＝(1，－6,1)，设(a＋c)与(b＋c)所成角为θ，因此cosθ＝＝－.‎ ‎18. 在等差数列中，，公差，记数列的前项和为.‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）设数列的前项和为，若成等比数列，求.‎ ‎【答案】(1) ;(2) .‎ ‎【解析】试题分析：‎ ‎(1)由题意可求得数列的首项为1，则数列的前n项和.‎ ‎(2)裂项可得，且，据此可得.‎ 试题解析：‎ ‎（1）∵，∴，∴，∴，‎ ‎∴，.‎ ‎（2）若成等比数列，则，‎ 即，∴,‎ ‎∵，‎ ‎∴.‎ 点睛：使用裂项法求和时，要注意正负项相消时消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点，实质上造成正负相消是此法的根源与目的．‎ ‎19. 已知命题恒成立；命题方程表示双曲线.‎ ‎（1）若命题为真命题，求实数的取值范围；‎ ‎（2）若命题“”为真命题，“”为假命题，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】(2) ;(2) ，或.‎ ‎【解析】试题分析：（1）当命题P为真命题时，转化为求在上的最小值，继而求出m的范围；（2）先求出当命题q为真命题时m的范围，再由已知条件得出p,q一个为真命题，一个为假命题，再分两种情况分别求出m的范围，最后取并集即可求出m的范围。‎ 试题解析：（1），∵，∴，故命题为真命题时，．‎ ‎（2）若命题为真命题，则，所以，‎ 因为命题为真命题，则至少有一个真命题，为假命题，‎ 则至少有一个假命题，所以一个为真命题，一个为假命题.‎ 当命题为真命题，命题为假命题时，，则，或；‎ 当命题为假命题，命题为真命题时，， 舍去．‎ 综上，，或.‎ ‎20. 在中，角对边分别为，且.‎ ‎（1）求角的大小；‎ ‎（2）若的外接圆半径为，试求该三角形面积的最大值.‎ ‎【答案】(1) ;(2) ‎ ‎【解析】试题分析：（1）利用正弦定理，将已知条件中的边化为正弦，求出的值，再根据A的范围，求出角A的大小；（2）由正弦定理有，再用余弦定理和重要不等式求出，再求出三角形ABC 面积的最大值。‎ 试题解析：（1） ,, ‎ 又,.‎ ‎(2)，‎ ‎ 又，‎ ‎，‎ ‎ ，‎ 即 ‎21. 如图所示，正三棱柱的底面边长为是侧棱的中点. ‎ ‎（1）证明：平面平面；‎ ‎（2）若平面与平面所成锐二面角的大小为，求四棱锥的体积.‎ ‎【答案】(1)见解析；（2）.‎ ‎【解析】试题分析：（1）要证平面平面，转证平面，又，即证平面.（2）建立空间坐标系，由平面与平面所成锐角的大小为，得到，进而得到四棱锥的体积.‎ 试题解析：‎ 解：（1）如图①，取的中点，的中点，连接，易知 又，∴四边形为平行四边形，∴.‎ 又三棱柱是正三棱柱，‎ ‎∴为正三角形，∴.‎ 又平面，‎ ‎,而，‎ ‎∴平面.‎ 又，‎ ‎∴平面.‎ 又平面，‎ 所以平面平面 ‎（2）（方法一）建立如图①所示的空间直角坐标系，‎ 设，则，得 ‎.‎ 设为平面的一个法向量.‎ 由得 即.‎ 显然平面的一个法向量为，‎ ‎ 所以，‎ 即.‎ 所以.‎ ‎（方法二）如图②，延长与交于点,连接.‎ ‎∵,为的中点，∴也是的中点, ‎ 又∵是的中点,∴.‎ ‎∵平面,∴平面.‎ ‎∴为平面与平面所成二面角的平面角.‎ 所以,∴. ‎ 点睛：垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型.‎ ‎(1)证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行.(2)证明线面垂直，需转化为证明线线垂直.(3)证明线线垂直，需转化为证明线面垂直.‎ ‎22. 在平面直角坐标系中，的两个顶点的坐标分别为，三个内角满足.‎ ‎（1）若顶点的轨迹为，求曲线的方程；‎ ‎（2）若点为曲线上的一点，过点作曲线的切线交圆于不同的两点（其中在的右侧），求四边形面积的最大值.‎ ‎【答案】（1）B点的轨迹方程为；（2）4.‎ ‎【解析】试题分析：（1）利用正弦定理，将正弦化为边，得出，化简得，利用椭圆的定义得出B点的轨迹和轨迹方程；（2）设直线，联立直线和椭圆方程，由，求得，由韦达定理求出的表达式，设点O到直线MN的距离为d，求得，由直线与圆相交时的弦长公式，求出，求出三角形OMN的面积，再分别求出三角形NAO和三角形MCO 的面积和，利用基本不等式求出四边形ACMN面积的最大值。‎ 试题解析：（1）设△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c， 由正弦定理.∵，∴.‎ ‎∵ ∴ 即.由椭圆定义知，B点轨迹是以C，A为焦点，长半轴长为2，半焦距为，短半轴长为，中心在原点的椭圆（除去左、右顶点）.‎ ‎∴B点的轨迹方程为. ‎ ‎（2）易知直线的斜率存在，设，‎ ‎，‎ ‎，即，‎ 因为,设点到直线的距离为，‎ 则，，‎ ‎，‎ 由，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎. ‎ 而，，易知，，‎ ‎，时取到，.‎ 点睛：本题主要考查了求轨迹和轨迹方程，直线与圆、椭圆的位置关系等，弦长公式，韦达定理，点到直线的距离公式，基本不等式的应用等，属于中档题。‎