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- 2021-06-30 发布
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南康中学2018~2019学年度第一学期高三第四次大考
数 学(文)试 卷
(总分:150分 考试时间:120分钟)
参考公式:柱体体积公式:;锥体体积公式:;球表面积公式:;
球的体积公式:
第Ⅰ卷(共60分)
一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合,,则( )
A. B. C. D.
2.设为第二象限的角,,则( )
A. B. C. D.
3.是两条不同的直线,是两个不重合的平面,则下列命题中正确的是( )
A.若,则 B.若,则
C.若,则 D.若,则
4. 如图1,在平行四边形中,相交于点,为线段的中点,若,则( )
图1
A. B. C. D.
5.已知变量满足约束条件,若的取值集合为M,则( )
A. B. C. D.
6.若数列满足,则数列的前32项和为( )
A.16 B.32 C.64 D.128
7.已知函数,则函数的图象( )
A. 可由函数的图象向右平移个单位得到
B. 可由函数的图象向左平移个单位得到
C. 关于轴对称 D. 关于点对称
8.如图2,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,O是AC的中点,则异面直角AD1和OC1所成角的大小( )
A. B.
图2
C. D.
9.函数在区间[﹣2,2]上的图象大致为( )
A B C D
10.某多面体的三视图,如图3所示,则该几何体的外接球的表面积为( )
A.
B.
C.
D.
11.设满足约束条件若恒成立,则实数的最大值为( )
A. B. C. D.1
12. 已知函数有两个极值点,则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
第Ⅱ卷(共90分)
二、填空题(每题5分,满分20分,将答案填在答题纸上)
13.已知向量,若//,则_______
14.如图4,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M、N分别棱C1D1、C1C的中点,有以下四个结论:
①直线AM与CC1是相交直线;②直线BN与MB1是异面直线;
图4
③直线AM与BN是平行直线;④直线AM与DD1是异面直线。
其中正确的结论为 (写正确的序号)
15.已知函数恒过定点,其中且,均为正数,则的最小值是
16. 为等腰直角三角形,,,是内的一点,且满足,则的最小值为 .
三、解答题 (本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
17、(本题满分10分)
等差数列中,,前n项和为,等比数列各项均为正数,,且,的公比.
(1) 求数列与的通项公式;
(2)若数列满足,则求数列的前项和.
18、(本题满分12分)
如图,在棱长均为1的直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,D是BC的中点.
(1)求证:AD⊥平面BCC1B1;
(2)求点C到平面AC1D的距离.
19、(本题满分12分)
在钝角三角形△ABC中,内角A,B,C所对的边长为已知角C为最大内角,且
(1)求角C;
(2)若,且△ABC的面积为,求的值.
20、(本题满分12分)
已知等差数列{an}的前3项分别为公比不为1的等比数列的前3项分别为
(1)求数列与的通项公式;
(2)设,求数列的前n项和.
21、(本题满分12分)
山东省于2015年设立了水下考古研究中心,以此推动全省的水下考古、水下文化遗产保护等工作;水下考古研究中心工作站,分别设在位于刘公岛的中国甲午战争博物院和威海市博物馆。为对刘公岛周边海域水底情况进行详细了解,然后再选择合适的时机下水探摸、打捞,省水下考古中心在一次水下考古活动中,某一潜水员需潜水米到水底进行考古作业,其用氧量包含以下三个方面:
①下潜平均速度为米/分钟,每分钟的用氧量为升;
②水底作业时间范围是最少10分钟最多20分钟,每分钟用氧量为0.4升;
③返回水面时,平均速度为米/分钟,每分钟用氧量为0.32升.
潜水员在此次考古活动中的总用氧量为升.
(Ⅰ)如果水底作业时间是分钟,将表示为的函数;
(Ⅱ)若,水底作业时间为20分钟,求总用氧量的取值范围.
22、(本题满分12分)
已知函数.
(Ⅰ)若对于任意成立,试求的取值范围;
(Ⅱ)记,当时,函数在区间上有两个零点,求实数的取值范围.
南康中学2018~2019学年度第一学期高三第四次大考
数学(文)试卷参考答案
一、选择题
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
D
B
D
C
C
C
D
A
B
C
B
B
二、填空题
13.0 14.②④ 15. 16.
三、解答题
17、解:(1)由已知可得
解得,或(舍去),
(2)由⑴知
18.(1)证明:证:(1)直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,BB1⊥面ABC;
∴BB1⊥AD,又∵AB=AC, D是BC的中点;
∴AD⊥BC,BC∩BB1=B;
∴AD⊥平面BCC1B1;
(2)连接C1D,由(1)AD⊥平面BCC1B1,AD⊥DC1
∴,AC1=,∴.
==,
设点C到平面AC1D的距离为d.则•d=•CC1
解得d=,∴点C到平面AC1D的距离 为.…(12分)
19. 解:(1)因为,
由正弦定理可得.
因为sinA≠0,所以.…(3分)
因为△ABC为钝角三角形,且角C为最大内角,
所以.
故.…(5分)
(2)因为△ABC的面积为,
所以ab=6.…(7分)
由余弦定理得c2=a2+b2﹣2abcosC=a2+b2+ab=(a+b)2﹣ab,
所以(a+b)2=c2+ab=18+6=24,
即.…(10分)
所以a,b是方程的两解,
解得.…(12分)
20.解:(I)等差数列{an}的前3项分别为1,a,b,
可得2a=1+b,①
公比不为1的等比数列{bn}的前3项分别为4,2a+2,3b+1,
可得(2a+2)2=4(3b+1),②
由①②解得a=3,b=5(a=b=1舍去),
则等差数列的公差为2,等比数列的公比为2,
则an=1+2(n﹣1)=2n﹣1;bn=4•2n﹣1=2n+1;
(Ⅱ)=
==﹣,
则数列{cn}的前n项和Sn=1﹣+﹣+…+﹣=1﹣=.
21.解:(Ⅰ)依题意,知下潜时间分钟,返回时间分钟,
则有 (),
整理,得()
(Ⅱ)由(Ⅰ)及题意,得 (),
∴().
当且仅当,即时“=”成立.
∴当时,;
又当时,;当时,.
所以,总用氧量的取值范围是.
22、(Ⅰ)
由解得由解得
所以f(x)在区间上单调递增,在区间上单调递减
所以当时,函数f(x)取得最小值
因为对于任意成立,
所以即可
则,由解得
所以a得取值范围是
(Ⅱ)依题意得,则
由解得x>1,由解得0