高中数学：新人教A版选修2-3 1_3二项式定理（同步练习） 6页

‎1． 3二项式定理 一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1．在的展开式中，的系数为 （ ）‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎2． 已知， 的展开式按a的降幂排列，其中第n 项与第n+1项相等，那么正整数n等于 （ ）‎ ‎ A．4 B．‎9 ‎ C．10 D．11‎ ‎3．已知（的展开式的第三项与第二项的系数的比为11∶2，则n是 （ ）‎ A．10 B．‎11 ‎ C．12 D．13‎ ‎4．5310被8除的余数是 （ ）‎ ‎ A．1 B．‎2 ‎C．3 D．7‎ ‎5． (1.05)6的计算结果精确到0.01的近似值是 （ ）‎ A．1.23 B．‎1.24 ‎ C．1.33 D．1.34‎ ‎6．二项式 (nN)的展开式中，前三项的系数依次成等差数列，则此展开式有理项的项数是　　　 （ ）‎ ‎ A．1 B．‎2 ‎ C．3 D．4‎ ‎7．设(3x+x)展开式的各项系数之和为t，其二项式系数之和为h，若t+h=272，则展开式的x项的系数是 （ ）‎ A． B．‎1 ‎ C．2 D．3‎ ‎8．在的展开式中的系数为 （ ）‎ A．4 B．‎5 ‎ C．6 D．7 ‎ ‎9．展开式中所有奇数项系数之和等于1024，则所有项的系数中最大的值是 ‎ （ ）‎ ‎ A．330 B．‎462 ‎ C．680 D．790‎ ‎10．的展开式中，的系数为 （ ）‎ ‎ A．－40 B．‎10 ‎ C．40 D．45‎ ‎11．二项式(1+sinx)n的展开式中，末尾两项的系数之和为7，且系数最大的一项的值为，则x在[0，2π]内的值为 （ ）‎ ‎ A．或 B．或 C．或 D．或 ‎12．在(1+x)5+(1+x)6+(1+x)7的展开式中,含x4项的系数是等差数列 an=3n－5的 （ ）‎ A．第2项 B．第11项 C．第20项 D．第24项 二、填空题：本大题满分16分，每小题4分，各题只要求直接写出结果.‎ ‎13．展开式中的系数是 .‎ ‎14．若，则的值为__________.‎ ‎15．若 的展开式中只有第6项的系数最大，则展开式中的常数项是         . ‎ ‎16．对于二项式(1-x)，有下列四个命题：‎ ‎ ①展开式中T= －Cx；‎ ‎ ②展开式中非常数项的系数和是1；‎ ‎ ③展开式中系数最大的项是第1000项和第1001项；‎ ‎ ④当x=2000时，(1-x)除以2000的余数是1．‎ ‎ 其中正确命题的序号是__________．（把你认为正确的命题序号都填上）‎ 三、解答题：本大题满分74分.‎ ‎17．（12分）若展开式中第二、三、四项的二项式系数成等差数列．‎ （１） 求n的值；‎ ‎（２）此展开式中是否有常数项，为什么？‎ ‎ ‎ ‎18．（12分）已知()n的展开式中前三项的二项式系数的和等于37，求展式中二项式系数最大的项的系数．‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎19．（12分）是否存在等差数列，使对任意都成立？若存在，求出数列的通项公式；若不存在，请说明理由．‎ ‎20．（12分）某地现有耕地100000亩，规划10年后粮食单产比现在增加22%，人均粮食占有量比现在提高10%。如果人口年增加率为1%，那么耕地平均每年至多只能减少多少亩（精确到1亩）？‎ ‎21. （12分）设f(x)=(1+x)m+(1+x)n(m、n)，若其展开式中，关于x的一次项系数为11，试问：m、n取何值时，f(x)的展开式中含x2项的系数取最小值，并求出这个最小值.‎ ‎ ‎ ‎22．（14分）规定，其中x∈R，m是正整数，且，这是组合数（n、m是正整数，且m≤n）的一种推广．‎ ‎(1) 求的值；‎ ‎(2) 设x>０，当x为何值时，取得最小值？‎ ‎(3) 组合数的两个性质；‎ ‎①.　　②.‎ ‎ 是否都能推广到（x∈R，m是正整数）的情形？若能推广，则写出推广的形式并给出证明；若不能，则说明理由.‎ ‎　 ‎ 参考答案 一、 选择题 ‎1．D 2．A 3．C 4．A 5．D 6．C 7．B 8．C 9．B 10．D 11．B 12．C ‎ ‎3．解：，．‎ ‎5．解：(1.05)6 =‎ ‎ =1+0.3+0.0375+0.0025+…1.34．‎ ‎6．解：，r=0,1,…,8. 设，得满足条件的整数对(r,k) 只有(0,4),(4,1),(8,-2).‎ ‎7．解：由得，n=4,, 取r=4. ‎ ‎8．解：设=的展开式的通项为 则(r=0,1,2,…,6). 二项式展开式的通项为 ‎(n=0,1,2,…,r)‎ 的展开式的通项公式为 令r+n=5,则n=5-rr=3,4,5,n=2,1,0.‎ 展开式中含项的系数为: ‎ ‎9．解：显然奇数项之和是所有项系数之和的一半，令x =1 即得所有项系数之和，各项的系数为二项式系数，故系统最大值为或，为462．‎ ‎10．解：=‎ ‎==‎ 的系数为 二、填空题 ‎13．； 14．1； 15．=210； 16．①④．‎ 三、解答题 ‎ 17．解：（１）n = 7 （6分）（２）无常数项（6分）‎ ‎ 18．解：由(3 分)得（5分），得．（8分），该项的系数最大，为．（12分）‎ ‎19．解：假设存在等差数列满足要求（2分）（4分）=（8分）‎ ‎ 依题意，对恒成立，（10分）, 所求的等差数列存在，其通项公式为．（12分）‎ ‎20．解：设耕地平均每年减少x亩，现有人口为p人，粮食单产为m吨/亩，（2分）依题意 ‎（6分）‎ 化简：（8分）‎ ‎（10分）‎ ‎（亩）‎ 答：耕地平均每年至多只能减少4亩．（12分）‎ ‎21．解：展开式中，关于x的一次项系数为（3分）关于x的二次项系数为，（8分）当n=5或6时，含x2项的系数取最小值25，此时m=6,n=5或 m=5,n=6. （12分）‎ ‎22．解：(1) . （4分）‎ ‎(2) . （6分） ∵　x > 0 , .‎ 当且仅当时，等号成立. ∴　当时，取得最小值. （8分）‎ ‎（3）性质①不能推广，例如当时，有定义，但无意义; （10分）‎ ‎ 性质②能推广，它的推广形式是，xÎR , m是正整数. （12分）‎ 事实上，当m＝１时，有.‎ ‎　当m≥２时.‎ ‎　 ．（14分）‎