数学文卷·2017届河南省新乡一中、鹤壁高中、开封高中、安阳一中高三1月尖子生联赛（2017 8页

文科数学试题卷 第Ⅰ卷（共60分）‎ 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.已知是虚数单位，则复数的共轭复数是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎2.已知，若真假，则的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎3.我国数学名著《》数书九章有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来了1534石验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为（ ）‎ A．134石 B．169石 C．338石 D． 1365石 ‎4.已知数列满足，则的前10项和等于（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎5.若空间中四条两两不同的直线满足，，则下列结论一定正确的是（ ）‎ A． B． ‎ C. 与既不垂直也不平行 D．与的位置关系不确定 ‎6.执行如图所示的程序框图，若输入，则输出（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎7.已知点和点在直线两侧，给出下列说法：‎ ‎①；②当时，有最小值，无最大值；‎ ‎③；④当且时，的取值范围为.‎ 其中所有正确说法的序号是（ ）‎ A．①② B．②③ C. ②③④ D．③④‎ ‎8.平行四边形的两条对角线相交于点，点是线段上任意一点.若，且，则的取值范围是（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎9.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎10.已知数列是等差数列，其前项和为，若，且.则等于（ ）‎ A． B． C. 2 D．3‎ ‎11.设为坐标原点，是以为焦点的抛物线上任意一点，是线段上的点，且，则直线的斜率的最大值为（ ）‎ A． B． C. D．1‎ ‎12.函数的定义域为，周期为1，当时，若函数的图象与的图象只有一个交点，则实数的取值范围是（ ）‎ A． B． C. D．‎ 第Ⅱ卷（共90分）‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13.将函数图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移个单位长度得到的图象，则 ．‎ ‎14.设公比为的等比数列的前项和为，若，则 ．‎ ‎15.设函数，则满足的的取值范围是 ．‎ ‎16.过双曲线的左焦点，作圆的切线，切点为，延长交抛物线于点，为原点，若，则双曲线的离心率为 ．‎ 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） ‎ ‎17. （本小题满分12分）‎ 如图，在中，为边上一点，，已知.‎ ‎（1）若是锐角三角形，，求角的大小；‎ ‎（2）若的面积为，求边的长.‎ ‎18. （本小题满分12分）‎ 某烹饪学院为了弘扬中国传统的饮食文化，举办了一场由在校学生参加的厨艺大赛，组委会为了了解本次大赛参赛学生的成绩情况，从参赛学生中抽取了名学生的成绩（满分100分）作为样本，将所得数据经过分析整理后画出了频率分布直方图和茎叶图，其中茎叶图受到污染，请据此解答下列问题：‎ ‎（1）求频率分布直方图中的值并估计此次参加厨艺大赛学生的平均成绩；‎ ‎（2）规定大赛成绩在的学生为厨霸，在的学生为厨神，现从这名学生中被称为厨霸、厨神的学生里随机抽取2人去参加校际之间举办的厨艺大赛，求所取2人中至少有1人是厨神的概率.‎ ‎19. （本小题满分12分）‎ 如图，在四棱锥中，平面，底面是等腰梯形，，.‎ ‎（1）证明：；‎ ‎（2）若，直线与平面所成的角为，求四棱锥的体积.‎ ‎20. （本小题满分12分）‎ 已知椭圆的离心率为，其左右焦点分别为，点是坐标平面内一点，且，，其中为坐标原点.‎ ‎（1）求该椭圆的方程；‎ ‎（2）过点，且斜率为的动直线交椭圆于两点，在轴上是否存在定点，使以为直径的圆恒过这个定点？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.‎ ‎21. （本小题满分12分）‎ 已知函数，曲线在点处的切线为.‎ ‎（1）求的解析式及单调区间；‎ ‎（2）为整数，且当时，，求的最大值.‎ ‎22. （本小题满分10分）‎ 在平面直角坐标系中，已知圆的方程为，以原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，.‎ ‎（1）写出圆的及坐标方程；‎ ‎（2）若在圆上运动，求的面积的最大值.‎ ‎23. （本小题满分10分）‎ 已知函数.‎ ‎（1）解不等式；‎ ‎（2）若，求实数的取值范围.‎ 安鹤新开四校2016—2017学年尖子生联赛 高三数学（文科）试题 一、选择 D A B C D B D B D D C C 二、填空 13. 14. 15. 16. ‎ 三、解答题 ‎17. 解：（1）在中，，，，‎ 由正弦定理得：，解得，则或， 是锐角三角形，‎ ‎，故边的长为．‎ ‎18．.解：（1）由题意得：n=，‎ ‎∴=．‎ b=﹣0.0075﹣0.0125﹣0.0150﹣0.0450=0.020．‎ 此次参加厨艺大赛学生的平均成绩为：‎ ‎55×0.0125×10+65×0.020×10+75×0.0450×10+85×0.0150×10+95×0.0075×10=73.5．‎ ‎（2）由题意得厨霸有0.0150×10×40=6人，分别记为： ‎ 厨神有0.0075×10×40=3人，分别记为： ‎ 从中任取2 人，基本事件总数n=36（列举略）‎ 所取2人中至少有1人是厨神的情况是21人都是厨霸，‎ ‎∴所取2人总至少有1人是厨神的概率p==．【来源：全,品…中&高*考+网】‎ ‎19. 解：(1)证明：因为PA⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，‎ 所以PA⊥BD.‎ 又AC⊥BD，PA，AC是平面PAC内的两条相交直线，【来源：全,品…中&高*考+网】‎ 所以BD⊥平面PAC.而PC⊂平面PAC，所以BD⊥PC.‎ ‎（2）设AC和BD相交于点O，连结PO，‎ 由(1)知，BD⊥平面PAC，所以∠DPO是直线PD和平面PAC所成的角．从而∠DPO＝30°.‎ 由BD⊥平面PAC，PO⊂平面PAC知，BD⊥PO，在Rt△POD中，由∠DPO＝30°，得PD＝2OD.‎ 因为四边形ABCD为等腰梯形，AC⊥BD，所以△AOD，△BOC均为等腰直角三角形，从而梯形ABCD的高为AD＋BC＝×(4＋2)＝3， 梯形ABCD的面积S＝×(4＋2)×3＝9.‎ 在等腰直角三角形AOD中，OD＝AD＝2，‎ 所以PD＝2OD＝4，PA＝ ＝4.‎ 故四棱锥P－ABCD的体积为V＝×S×PA＝×9×4＝12.‎ ‎20. 解：（1）设P  ，由||= 可知 ①‎ 又 ， (−c−m,−n)⋅(c−m,−n)= ，即 ② ‎ ‎ ①代入②得：c=1。 又e=，可得=2，=1，‎ ‎ 故所求椭圆方程为.‎ ‎（2）设直线l:y=kx−，代入，消y得 成立. A，B ，则 【来源：全,品…中&高*考+网】‎ 若y轴上存在定点M(0,m)满足题设，则 ‎ ‎+ ,即 ‎ ‎ ‎ 由题意知，对任意实数k都有恒成立，‎ 即18(−1)+(9+6m−15)=0对k∈R成立.‎ 所以−1=0且9+6m−15=0，解得m=1，‎ 所以在y轴上存在定点M(0,1)，使以AB为直径的圆恒过这个定点.‎ ‎21. 解：(1)函数f(x)的导数为f′(x)=a+x+b，‎ ‎∵直线y−1=0的斜率为0,且过点(0,1)，‎ ‎∴f(0)=1且f′(0)=0,即a=1且a+b=0，解得a=1，b=−1.‎ ‎∴f(x)的解析式为f(x)=+−x，‎ ‎∵f′(x)=+x−1，‎ ‎∴当x<0时,f′(x)=+x−1<0，此时函数单调递减，‎ 当x>0时,f′(x)=+x−1>0，此时函数单调递增，‎ 即函数的增区间为(0,+∞),减区间为(−∞,0).‎ ‎(2)∵(x−m)(f′(x)−x−1)+2x+1=(x−m)(−2)+2x+1，‎ 故当x>ln2时,(x−m)(f′(x)−x−1)+2x+1>0,等价于,m<(x>ln2)，①，‎ 令g(x)= (x>ln2)，‎ 则g′(x)== ‎ 令h(x)= −2x−3,则h′(x)= −2，‎ ‎∵x>ln2,∴h′(x)= −2>0，【来源：全,品…中&高*考+网】‎ 即h(x)在(ln2,+∞)上存在唯一的零点，‎ 故g′(x)在(ln2,+∞)上存在唯一的零点，‎ 设此零点为,则∈(1,2)，‎ 当x∈(ln2,)时,g′(x)<0，‎ 当x∈(,+∞)时,g′(x)>0，‎ 故g(x)在(ln2,+∞)上的最小值为g(a)，【来源：全,品…中&高*考+网】‎ 由g′()=0,可得=2+3，‎ ‎∴g()=+1∈(2,3)，‎ 由于①等价于m