广西省柳州市2020届高三一模考试数学（理）试卷 12页

‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 理科数学(参考答案)‎ 一、选择题：(每小题5分, 满分60分)‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ A A C B D B A B B D D B 二、填空题：(本大题共4小题，每小题5分，共20分)‎ ‎13. 14. 15. 16. ‎ 三、解答题：（本大题共6小题，共70分）‎ ‎17.解：（1）设等比数列的公比为，由题意得 ‎，……………………………………………………2分 解得，……………………………………………………………………4分 所以.……………………………………………………………6分 ‎（2）由（1）得，……………………………………………7分 ‎，……………………………………8分 ‎∴，………………9分 ‎∴…………………11分 ‎……………………………………………12分 ‎18.解：（1）∵甲在备选的10道题中，答对其中每道题的概率都是，‎ ‎∴选中的4个题目甲恰有2个题目答对的概率 ‎．…………………………………………………2分 ‎（2）由题意知乙答对的题目数X的可能取值为2，3，4，……………………………3分，………………………………………………4分 ‎， ………………………………………………5分 ‎， …………………………………………………6分 X的分布列为：‎ X ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ P ‎………………………………………7分 ‎（3）∵乙平均答对的题目数，…………………8分 甲答对题目数Y～B ，……………………………………………………9分 甲平均答对的题目数． ……………………………………10分 ‎∵ …………………………………………………………………11分 ‎∴甲平均答对的题目数等于乙平均答对的题目数．…………………………12分 ‎19.证明：（1）∵平面平面,平面平面,又,‎ ‎∴平面. …………………………………………………1分 ‎∵平面,∴.……………………………………2分 又∵折叠前后均有,,‎ ‎∴平面. …………………………………………………3分 ‎（2）由（1）知平面,‎ ‎∴二面角的平面角为.……………………………4分 又平面,平面,‎ ‎∴.依题意.‎ ‎∵,∴.……………………………………………5分 设,则.‎ 依题意,∴,‎ 即.解得, ……………………………………………6分 故,，.………………………7分 如图所示,建立空间直角坐标系, ‎ 则,,,‎ ‎,,……………………………………………8分 ‎∴,. ………………………………9分 由（1）知平面的法向量，‎ 设平面的法向量,‎ 由得 令,得,,‎ ‎∴.……………………………………………………10分 ‎∴. ………………………………………………11分 由图可知二面角的平面角为锐角,‎ 所以二面角的余弦值为. ……………………………………12分 ‎20．解：（1）由已知，圆经过椭圆的左、右焦点,,∵三点共线,‎ ‎∴为圆的直径,即得,‎ ‎∵,∴,……………………………………1分 ‎∴,……………………………………………………………2分 ‎,‎ ‎,‎ ‎∵,解得,, …………………………………………4分 ‎∴椭圆的方程 ： ………………………………………………5分 ‎（2）点的坐标,∵,‎ 所以直线的斜率为, …………………………………………………6分 故设直线的方程为,‎ ‎∴ , ∴,‎ 设,,∴ , , ‎ ‎,∴, ……………………………………8分 ‎,‎ 点到直线的距离,‎ ‎ ,……………………10分 当且仅当,即, …………………………………………11分 直线的方程为.………………………………………………12分 ‎21.解：（1）函数在点处切线方程为，即 ‎∵ ……………………………………1分 ‎∴ ，…………………………………………2分 ‎，………………………………………3分 ‎ ……………………………………………………………………4分 ‎（2）解法1：当时，‎ 令 ‎ …………………………………………5分 令 ‎ ‎ ‎ ‎ …………………………6分 ‎…7分 ‎ ………………………………………8分 当时上式左边的极限为 ……………9分 设 ……………………10分 当，单调递增，则 ‎ ……………………………………………………11分 当单调递增，则 ‎ ……………………………………………………12分 的取值范围为 ‎（2）解法2：由（1）可知，‎ 令 ‎ ………………5分 令 ‎ ………………………6分 ① ‎， ,与题设矛盾. …………7分 ② ‎,‎ 开口向下，对称轴为 ‎…8分 ‎，,与题设矛盾. ………9分 ③ ‎， ……………10分 ‎， ……………11分 综上所述，的取值范围为. ……………………………12分 ‎22.解：（1） ………………………1分 故的极坐标方程为. ………………………2分 而的直角坐标方程为 …………………………3分 的极坐标方程为. …………………………………4分 ‎（2）直线分别与联立得 ‎，则 ……………………5分 ‎，则 ………………………………6分 ‎， …………………………………7分 ‎ ………………………………8分 ‎ …………………………………9分 则当时, 有最大值. …………………………10分 ‎23.解：（1）∵，‎ 当时，解得； …………………………………1分 当时，解得；…………………………………2分 当时，不等式无解. ……………………………………………3分 故不等式的解集为， ………………………4分 所以集合. ………………………………………5分 ‎（2）由（1）可知， …………………………………………………6分 ‎∴，……………………………………………………7分 由柯西不等式得 ‎，…………8分 整理得，……………………………………………………………9分 当且仅当，即时取等号. …………………………10分