【数学】2020届一轮复习人教A版第29课三角函数的最值问题学案（江苏专用） 7页

‎____第29课__三角函数的最值问题____‎ ‎1. 会通过三角恒等变形、利用三角函数的有界性、结合三角函数的图象，求三角函数的最值和值域．‎ ‎2. 掌握求三角函数最值的常见方法，能运用三角函数最值解决一些实际问题.‎ ‎1. 阅读：必修4第24～33页、第103～116页、第119～122页．‎ ‎2. 解悟：①正弦、余弦、正切函数的图象和性质是什么？②三角函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的最值及对应条件；③两角和与差的正弦、余弦、正切公式是什么？辅助角公式是否熟练？④二倍角公式是什么？由倍角公式得到的降幂扩角公式是什么？必修4第123页练习第4题怎么解？‎ ‎3. 践习：在教材空白处，完成必修4第131页复习题第9、10、16题.‎ ‎　基础诊断　‎ ‎1. 函数f(x)＝sinx，x∈的值域为__．‎ ‎2. 函数f(x)＝sinx－cos的值域为__[－，]__．‎ 解析：因为f(x)＝sinx－cos(x＋)＝sinx－cosx＋sinx＝sinx－cosx＝sin(x－)，所以函数f(x)＝sinx－cos(x＋)的值域为[－，]．‎ ‎3. 若函数f(x)＝(1＋tanx)cosx，0≤x<，则f(x)的最大值为__2__．‎ 解析：f(x)＝(1＋tanx)cosx＝cosx＋sinx＝2sin.因为0≤x<，所以≤x＋<，所以sin∈，‎ 所以当sin＝1时，f(x)有最大值2.‎ ‎4. 函数y＝2sin2x－3sin2x的最大值是＋1．‎ ‎　范例导航　‎ 考向❶ 形如y＝asin2x＋bcosx＋c的三角函数的最值 ‎　例1　已知函数f(x)＝2cos2x＋sin2x－4cosx.‎ ‎(1) 求f的值；‎ ‎(2) 求f(x)的最大值和最小值．‎ 解析：(1) f＝2cos＋sin2－4cos＝－1＋－2＝－.‎ ‎(2) f(x)＝2(2cos2x－1)＋(1－cos2x)－4cosx ‎＝3cos2x－4cosx－1‎ ‎＝3－，x∈R.‎ 因为cosx∈[－1，1]，‎ 所以当cosx＝－1时，f(x)取最大值6；‎ 当cosx＝时，f(x)取最小值－.‎ 已知sin＝，A∈.‎ ‎(1) 求cosA的值；‎ ‎(2) 求函数f(x)＝cos2x＋sinAsinx的值域．‎ 解析：(1) 因为0)的最小正周期为π.‎ ‎(1) 求ω的值；‎ ‎(2) 求f(x)在区间上的最大值和最小值．‎ 解析：(1) 因为f(x)＝sin＋2cos2ωx－1‎ ‎＝＋cos2ωx ‎＝sin2ωx＋cos2ωx＝sin，‎ 所以f(x)的最小正周期T＝＝π，解得ω＝1.‎ ‎(2) 由(1)得f(x)＝sin.‎ 因为0≤x≤，所以≤2x＋≤，‎ 所以当2x＋＝，即x＝时，f(x)取得最大值为1；‎ 当2x＋＝，即x＝时，f(x)取得最小值为－.　‎ ‎【变式题】 ‎ 已知函数f(x)＝sin＋cosx.‎ ‎(1) 求f(x)的最大值，并写出当f(x)取得最大值时，x的集合；‎ ‎(2) 若α∈，f＝，求f(2a)的值．‎ 解析：(1) f(x)＝sin＋cosx ‎＝sinx＋cosx＝ ‎＝sin，‎ 所以f(x)max＝.‎ 此时，x＋＝2kπ＋，k∈Z，即x＝2kπ＋，k∈Z.‎ 故当f(x)取得最大值3时，x的集合为{x|x＝2kπ＋，k∈Z}．‎ ‎(2) 由f＝sin(α＋)＝，　‎ 得sin＝，‎ 所以cosα＝，sinα＝，α∈，‎ 所以f(2α)＝sin ‎＝ ‎＝[×2sinαcosα＋×(2cos2α－1)]‎ ‎＝×[×2××＋×(2×－1)]‎ ‎＝×＝.‎ 考向❸ 三角函数最值问题常见的其他函数形式 例3　(1) 已知x∈(0，π)，求函数y＝sinx＋的最小值；‎ ‎(2) 已知θ∈(0，π)，求函数y＝的最大值；‎ ‎(3) 求函数y＝(sinx－2)(cosx－2)的最大值与最小值．‎ 解析：(1) 设sinx＝t(00，a>1时，不能用均值不等式求最值，适宜用函数在区间内的单调性求解．‎ ‎(3) 含有“正、余弦三姐妹”，即含有sinx±cosx，sinxcosx的函数的最值问题，常用的方法是令sinx±cosx＝t，|t|≤，将sinxcosx转化为关于t的函数关系式，从而转化为二次函数的最值问题，在转化过程中尤其要注意新变量t的范围的确定．‎ ‎【变式题】 ‎ ‎(1) 求函数y＝的最小值；‎ ‎(2) 若0