2021届北师大版高考理科数一轮复习教师用书：第五章　第3讲　平面向量的数量积及应用举例 20页

第3讲　平面向量的数量积及应用举例 一、知识梳理 ‎1．向量的夹角 ‎(1)定义：已知两个非零向量a和b，作＝a，＝b，则∠AOB就是向量a与b的夹角．‎ ‎(2)范围：设θ是向量a与b的夹角，则0°≤θ≤180°.‎ ‎(3)共线与垂直：若θ＝0°，则a与b同向；若θ＝180°，则a与b反向；若θ＝90°，则a与b垂直，记作a⊥b.‎ ‎2．平面向量的数量积 定义 已知两个向量a，b，它们的夹角为θ，把|a||b|·cos__θ叫作a与b的数量积(或内积)，记作a·b 投影 ‎|a|cos__θ叫作向量a在b方向上的射影，‎ ‎|b|cos__θ叫作向量b在a方向上的射影 几何 意义 数量积a·b等于a的长度|a|与b在a方向上的射影|b|cos__θ的乘积或b的长度|b|与a在b方向上的射影|a|cos__θ的乘积 ‎3.向量数量积的运算律 ‎(1)a·b＝b·a.‎ ‎(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)．‎ ‎(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c.‎ ‎4．平面向量数量积的有关结论 已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ.‎ 结论 几何表示 坐标表示 模 ‎|a|＝ ‎|a|＝ 夹角 cos θ＝ cos θ＝ a⊥b的充 要条件 a·b＝0‎ x1x2＋y1y2＝0‎ 常用结论 ‎1．两个向量a，b的夹角为锐角⇔a·b＞0且a，b不共线；‎ 两个向量a，b的夹角为钝角⇔a·b＜0且a，b不共线．‎ ‎2．平面向量数量积运算的常用公式 ‎(1)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2.‎ ‎(2)(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2.‎ ‎(3)(a－b)2＝a2－2a·b＋b2.‎ 二、教材衍化 ‎1．已知a·b＝－12，|a|＝4，a和b的夹角为135°，则|b|为(　　)‎ A．12　　　 B．6　　　　‎ C．3　　　 D．3‎ 解析：选B.a·b＝|a||b|cos 135°＝－12，所以|b|＝＝6.‎ ‎2．已知向量a＝(2，1)，b＝(－1，k)，a·(2a－b)＝0，则k＝________．‎ 解析：因为2a－b＝(4，2)－(－1，k)＝(5，2－k)，由a·(2a－b)＝0，得(2，1)·(5，2－k)＝0，‎ 所以10＋2－k＝0，解得k＝12.‎ 答案：12‎ ‎3．已知|a|＝5，|b|＝4，a与b的夹角θ＝120°，则向量b在向量a方向上的射影为________．‎ 解析：由数量积的定义知，b在a方向上的射影为|b|cos θ＝4×cos 120°＝－2.‎ 答案：－2‎ 一、思考辨析 判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)‎ ‎(1)两个向量的夹角的范围是.(　　)‎ ‎(2)向量在另一个向量方向上的射影为数量，而不是向量．　(　　)‎ ‎(3)若a·b>0，则a和b的夹角为锐角；若a·b<0，则a和b的夹角为钝角．(　　)‎ ‎(4)a·b＝a·c(a≠0)，则b＝c.(　　)‎ 答案：(1)×　(2)√　(3)×　(4)×‎ 二、易错纠偏 (1)没有找准向量的夹角致误；‎ ‎(2)不理解向量的数量积的几何意义致误；‎ ‎(3)向量的数量积的有关性质应用不熟练致误．‎ ‎1．已知△ABC的三边长均为1，且＝c，＝a，＝b，则a·b＋b·c＋a·c＝________．‎ 解析：因为a，b＝b，c＝a，c＝120°，|a|＝|b|＝|c|＝1，所以a·b＝b·c＝a·c＝1×1×cos 120°＝－，所以a·b＋b·c＋a·c＝－.‎ 答案：－ ‎2．已知点A(－1，1)，B(1，2)，C(－2，－1)，D(3，4)，则向量在方向上的射影为________．‎ 解析：＝(2，1)，＝(5，5)，由定义知，在方向上的射影为＝＝.‎ 答案： ‎3．设向量a＝(－1，2)，b＝(m，1)，如果向量a＋2b与2a－b平行，那么a与b的数量积等于________．‎ 解析：a＋2b＝(－1＋2m，4)，2a－b＝(－2－m，3)，由题意得3(－1＋2m)－4(－2－m)＝0，则m＝－，所以a·b＝－1×＋2×1＝.‎ 答案： ‎　　　　　　平面向量数量积的运算(师生共研)‎ ‎ (一题多解)如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，CD＝2，∠BAD＝，若·＝2·，则·＝________．‎ ‎【解析】　法一：因为·＝2·，所以·－·＝·，所以·＝·.‎ 因为AB∥CD，CD＝2，∠BAD＝，所以2||＝||·||cos，化简得||＝2.故·＝·(＋)＝||2＋·＝(2)2＋2×2cos＝12.‎ 法二：如图，建立平面直角坐标系xAy.‎ 依题意，可设点D(m，m)，C(m＋2，m)，B(n，0)，其中m＞0，n＞0，则由·＝2·，得(n，0)·(m＋2，m)＝2(n，0)·(m，m)，所以n(m＋2)＝2nm，化简得m＝2.故·＝(m，m)·(m＋2，m)＝2m2＋2m＝12.‎ ‎【答案】　12‎ 平面向量数量积的三种运算方法 ‎(1)当已知向量的模和夹角时，可利用定义法求解，即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉． ‎ ‎(2)当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解，即若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2.‎ ‎(3)利用数量积的几何意义求解．‎ ‎[提醒]　解决涉及几何图形的向量的数量积运算问题时，可先利用向量的加、减运算或数量积的运算律化简后再运算．但一定要注意向量的夹角与已知平面几何图形中的角的关系是相等还是互补．‎ ‎1．(2020·河南新乡二模)已知a＝(1，2)，b＝(m，m＋3)，c＝(m－2，－1)，若a∥b，则b·c＝(　　)‎ A．－7　　　 B．－3　　　　‎ C．3　　　 D．7‎ 解析：选B.因为a＝(1，2)，b＝(m，m＋3)，a∥b，所以1×(m＋3)－2m＝0，所以m＝3，所以b·c＝m(m－2)－(m＋3)＝－3，故选B.‎ ‎2．(一题多解)在▱ABCD中，||＝8，||＝6，N为DC的中点，＝2，则·＝________．‎ 解析：法一：·＝(＋)·(＋)＝·＝2－2＝×82－×62＝24.‎ 法二(特例图形)：若▱ABCD为矩形，建立如图所示坐标系，‎ 则N(4，6)，M(8，4)．‎ 所以＝(8，4)，＝(4，－2)，‎ 所以·＝(8，4)·(4，－2)＝32－8＝24.‎ 答案：24‎ ‎　　　　　　平面向量数量积的应用(多维探究)‎ 角度一　平面向量的模 ‎ (1)已知平面向量a，b的夹角为，且|a|＝，|b|＝2，在△ABC中，＝2a＋2b，＝2a－6b，D为BC的中点，则||等于(　　)‎ A．2 B．4 ‎ C．6 D．8‎ ‎(2)已知在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC＝90°，AD＝2，BC＝1，P是腰DC上的动点，则|＋3|的最小值为__________．‎ ‎【解析】　(1)因为＝(＋)＝(2a＋2b＋2a－6b)＝2a－2b，‎ 所以||2＝4(a－b)2＝4(a2－2b·a＋b2)＝4×＝4，则||＝2.‎ ‎(2)‎ 建立平面直角坐标系如图所示 ，则A(2，0)，设P(0，y)，C(0，b)，则B(1，b)，则＋3＝(2，－y)＋3(1，b－y)＝(5，3b－4y)．‎ 所以|＋3|‎ ‎＝(0≤y≤b)．‎ 当y＝b时，|＋3|min＝5.‎ ‎【答案】　(1)A　(2)5‎ 求向量的模的方法 ‎(1)公式法：利用|a|＝及(a±b)2＝|a|2±2a·b＋|b|2，把向量模的运算转化为数量积的运算．‎ ‎(2)几何法：利用向量的几何意义，即利用向量加、减法的平行四边形法则或三角形法则作出向量，再利用余弦定理等方法求解．　 ‎ 角度二　平面向量的夹角 ‎ (1)(2019·高考全国卷Ⅲ)已知a，b为单位向量，且a·b＝0，若c＝2a－b，则cos〈a，c〉＝________．‎ ‎(2)若向量a＝(k，3)，b＝(1，4)，c＝(2，1)，已知2a－3b与c的夹角为钝角，则k的取值范围是________．‎ ‎【解析】　(1)设a＝(1，0)，b＝(0，1)，则c＝(2，－)，所以cos〈a，c〉＝＝.‎ ‎(2)因为2a－3b与c的夹角为钝角，‎ 所以(2a－3b)·c<0，‎ 即(2k－3，－6)·(2，1)<0，‎ 所以4k－6－6<0，所以k<3.‎ ‎【答案】　(1)　(2)(－∞，3) ‎ ‎(1)研究向量的夹角应注意“共起点”；两个非零共线向量的夹角可能是0°或180°；求角时，注意向量夹角的取值范围是[0°，180°]；若题目给出向量的坐标表示，‎ 可直接利用公式cos θ＝求解．‎ ‎(2)数量积大于0说明不共线的两向量的夹角为锐角，数量积等于0说明不共线的两向量的夹角为直角，数量积小于0说明不共线的两向量的夹角为钝角．　 ‎ 角度三　两向量垂直问题 ‎ (1)(2020·福建厦门一模)已知a＝(1，1)，b＝(2，m)，a⊥(a－b)，则|b|＝(　　)‎ A．0 B．1‎ C. D．2‎ ‎(2)已知向量与的夹角为120°，且||＝3，||＝2.若＝λ＋，且⊥，则实数λ的值为________．‎ ‎【解析】　(1)由题意知a－b＝(－1，1－m)．因为a⊥(a－b)，所以a·(a－b)＝－1＋1－m＝0，所以m＝0，所以b＝(2，0)，所以|b|＝2.故选D.‎ ‎(2)因为⊥，所以·＝0.‎ 又＝λ＋，＝－，‎ 所以(λ＋)·(－)＝0，‎ 即(λ－1)·－λ2＋2＝0，‎ 所以(λ－1)||||cos 120°－9λ＋4＝0.‎ 所以(λ－1)×3×2×(－)－9λ＋4＝0.解得λ＝.‎ ‎【答案】　(1)D　(2) ‎ ‎(1)当向量a与b是坐标形式时，若证明a⊥b，则只需证明a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0.‎ ‎(2)当向量a，b是非坐标形式时，要把a，b用已知的不共线向量作为基底来表示，且不共线的向量要知道其模与夹角，进行运算证明a·b＝0.‎ ‎(3)数量积的运算a·b＝0⇔a⊥b是对非零向量而言的，若a＝0，虽然有a·b＝0，但不能说a⊥b.　 ‎ ‎1．已知向量a＝(2，1)，b＝(2，x)不平行，且满足(a＋2b)⊥(a－b)，则x＝(　　)‎ A．－ B． C．1或－ D．1或 解析：选A.因为(a＋2b)⊥(a－b)，所以(a＋2b)·(a－b)＝0，所以|a|2＋a·b－2|b|2＝0，因为向量a＝(2，1)，b＝(2，x)，所以5＋4＋x－2(4＋x2)＝0，解得x＝1或x＝－，因为向量a，b不平行，所以x≠1，所以x＝－，故选A.‎ ‎2．(2020·安徽黄山模拟)已知向量a，b满足|a|＝4，b在a方向上的投影为－2，则|a－3b|的最小值为(　　)‎ A．12　　 B．10　　　C.　　 D．2‎ 解析：选B.设a与b的夹角为θ.‎ 由于b在a方向上的射影为－2，所以|b|cos θ＝＝－2，所以a·b＝－8，‎ 又|b|cos θ＝－2，所以|b|≥2，则|a－3b|＝＝≥＝10，即|a－3b|的最小值为10，故选B.‎ ‎3．(一题多解)已知正方形ABCD，点E在边BC上，且满足2＝，设向量，的夹角为θ，则cos θ＝________．‎ 解析：法一：因为2＝，所以E为BC的中点．设正方形的边长为2，则||＝，||＝2，·＝·(－)＝||2－||2＋·＝×22－22＝－2，所以cos θ＝＝＝－.‎ 法二：因为2＝，所以E为BC的中点．‎ 设正方形的边长为2，建立如图所示的平面直角坐标系xAy，则点A(0，0)，B(2，0)，D(0，2)，E(2，1)，所以＝(2，1)，＝(－2，2)，所以·＝2×(－2)＋1×2＝－2，故cos θ＝＝＝－.‎ 答案：－ ‎　　　　　　平面向量与三角函数(师生共研)‎ ‎ 已知两个不共线的向量a，b满足a＝(1，)，b＝(cos θ，sin θ)，θ∈R.‎ ‎(1)若2a－b与a－7b垂直，求|a＋b|的值；‎ ‎(2)当θ∈时，若存在两个不同的θ，使得|a＋b|＝|ma|成立，求正数m的取值范围．‎ ‎【解】　(1)由条件知|a|＝2，|b|＝1，又2a－b与a－7b垂直，所以(2a－b)·(a－7b)＝8－15a·b＋7＝0，所以a·b＝1.‎ 所以|a＋b|2＝|a|2＋2a·b＋|b|2＝4＋2＋1＝7，故|a＋b|＝.‎ ‎(2)由|a＋b|＝|ma|，得|a＋b|2＝|ma|2.‎ 即|a|2＋2 a·b＋3|b|2＝m2|a|2，‎ 即4＋2a·b＋3＝4m2，7＋2(cos θ＋sin θ)＝4m2.‎ 所以4sin＝4m2－7.‎ 由θ∈，得θ＋∈，‎ 因为存在两个不同的θ满足题意，所以数形结合知4sin∈[6，4)，即6≤4m2－7＜4，即≤m2＜，又m＞0，所以≤m＜.‎ 即实数m的取值范围为.‎ 平面向量与三角函数的综合问题 ‎(1)题目条件给出的向量坐标中含有三角函数的形式，运用向量共线或垂直或等式成立等，得到三角函数的关系式，然后求解．‎ ‎(2)给出用三角函数表示的向量坐标，要求的是向量的模或者其他向量的表达形式，解题思路是经过向量的运算，利用三角函数在定义域内的有界性，求得值域等．　 ‎ ‎　在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量m＝(cos(A－B)，sin(A－B))，n＝(cos B，－sin B)，且m·n＝－.‎ ‎(1)求sin A的值；‎ ‎(2)若a＝4，b＝5，求角B的大小及向量在方向上的射影．‎ 解：(1)由m·n＝－，‎ 得cos(A－B)cos B－sin(A－B)sin B＝－，‎ 所以cos A＝－.因为0b，所以A>B，则B＝，‎ 由余弦定理得＝52＋c2－2×5c×，解得c＝1.‎ 故向量在方向上的射影为 ‎||cos B＝ccos B＝1×＝.‎ ‎　平面向量的综合运用 一、平面向量在平面几何中的应用 ‎ (1)已知O是平面上的一定点，A，B，C是平面上不共线的三个动点，若动点P满足＝＋λ(＋)，λ∈(0，＋∞)，则点P的轨迹一定通过△ABC的(　　)‎ A．内心　　 B．外心　　　‎ C．重心　　 D．垂心 ‎(2)在平行四边形ABCD中，AD＝1，∠BAD＝60°，E为CD的中点．若·＝1，则AB＝________．‎ ‎【解析】　(1)由原等式，得－＝λ(＋)，即＝λ(＋)，根据平行四边形法则，知＋＝2(D为BC的中点)，所以点P的轨迹必过△ABC的重心．故选C.‎ ‎(2)在平行四边形ABCD中，＝＋＝＋＝－，又因为＝＋，所以·＝(＋)·(－)＝2－·＋·－2＝||2＋||||cos 60°－||2＝1＋×1×||－||2＝1.所以||＝0，又||≠0，所以||＝.‎ ‎【答案】　(1)C　(2) 向量与平面几何综合问题的解法 ‎(1)坐标法 把几何图形放在适当的坐标系中，则有关点与向量就可以用坐标表示，这样就能进行相应的代数运算和向量运算，从而使问题得到解决．‎ ‎(2)基向量法 适当选取一组基底，沟通向量之间的联系，利用向量间的关系构造关于未知量的方程进行求解．　 ‎ 二、平面向量与函数、不等式的综合应用 ‎ (1)设θ是两个非零向量a，b的夹角，若对任意实数t，|a＋tb|的最小值为1，则下列判断正确的是(　　)‎ A．若|a|确定，则θ唯一确定 B．若|b|确定，则θ唯一确定 C．若θ确定，则|b|唯一确定 D．若θ确定，则|a|唯一确定 ‎(2)(一题多解)已知向量a，b为单位向量，且a·b＝－，向量c与a＋b共线，则|a＋c|的最小值为________．‎ ‎【解析】　(1)设g(t)＝(a＋tb)2＝b2t2＋2ta·b＋a2，当且仅当t＝－＝－时，g(t)取得最小值1，所以b2×－2a·b×＋a2＝1，化简得a2sin 2θ＝1，所以当θ确定时，|a|唯一确定．‎ ‎(2)法一：因为向量c与a＋b共线，所以可设c＝t(a＋b)(t∈R)，所以a＋c＝(t＋1)a＋tb，所以(a＋c)2＝(t＋1)2a2＋2t(t＋1)a·b＋t2b2，因为向量a，b为单位向量，且a·b＝－，所以(a＋c)2＝(t＋1)2－t(t＋1)＋t2＝t2＋t＋1≥，所以|a＋c|≥，所以|a＋c|的最小值为.‎ 法二：因为向量a，b为单位向量，且a·b＝－，所以向量a，b的夹角为120°，在平面直角坐标系中，不妨设向量a＝(1，0)，b＝，则a＋b＝，因为向量c与a＋b共线，所以可设c＝t(t∈R)，所以a＋c＝，所以|a＋c|＝＝≥‎ eq f( (3),2)，所以|a＋c|的最小值为.‎ ‎【答案】　(1)D　(2) ‎ 通过向量的数量积运算把向量运算转化为实数运算，再结合函数、不等式的知识解决，同时也要注意平面向量的坐标运算在这方面的应用．　 ‎ 三、平面向量与解三角形的综合应用 ‎ 已知在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量m＝(sin A，sin B)，n＝(cos B，cos A)，m·n＝sin 2C.‎ ‎(1)求角C的大小；‎ ‎(2)若sin A，sin C，sin B成等差数列，且·(－)＝18，求c.‎ ‎【解】　(1)m·n＝sin A·cos B＋sin B·cos A＝sin(A＋B)，‎ 对于△ABC，A＋B＝π－C，00，b>0)的左焦点，定点A为双曲线虚轴的一个端点，过F，A两点的直线与双曲线的一条渐近线在y轴右侧的交点为B，若＝3，则此双曲线的离心率为________．‎ ‎【解析】　(1)由椭圆＋＝1可得F(－1，0)，点O(0，0)，设P(x，y)(－2≤x≤2)，‎ 则·＝x2＋x＋y2＝x2＋x＋3 ‎＝x2＋x＋3＝(x＋2)2＋2，－2≤x≤2，‎ 当且仅当x＝2时，·取得最大值6.‎ ‎(2)由F(－c，0)，A(0，b)，得直线AF的方程为y＝x＋b.‎ 根据题意知，直线AF与渐近线y＝x相交，‎ 联立得消去x得，yB＝.‎ 由＝3，得yB＝4b，所以＝4b，化简得3c＝4a，‎ 所以离心率e＝.‎ ‎【答案】　(1)6　(2) 向量在解析几何中的2个作用 载体 作用 向量在解析几何问题中出现，多用于“包装”，解决此类问题的关键是利用向量的意义、运算脱去“向量外衣”，导出曲线上点的坐标之间的关系，从而解决有关距离、斜率、夹角、轨迹、最值等问题 工具 作用 利用a⊥b⇔a·b＝0(a，b为非零向量)，a∥b⇔a＝λb(b≠0)可解决垂直、平行问题，特别地，向量垂直、平行的坐标表示对于解决解析几何中的垂直、平行问题是一种比较简捷的方法 ‎　 ‎ ‎ [基础题组练]‎ ‎1．(2019·高考全国卷Ⅱ)已知＝(2，3)，＝(3，t)，||＝1，则·＝(　　)‎ A．－3　　　　　　　　　 B．－2‎ C．2　　　　 D．3‎ 解析：选C.因为＝－＝(1，t－3)，所以||＝＝1，解得t＝3，所以＝(1，0)，所以·＝2×1＋3×0＝2，故选C.‎ ‎2．(2019·高考全国卷Ⅰ)已知非零向量a，b满足|a|＝2|b|，且(a－b)⊥b，则a与b的夹角为(　　)‎ A. B． C. D． 解析：选B.设a与b的夹角为α，‎ 因为(a－b)⊥b，‎ 所以(a－b)·b＝0，‎ 所以a·b＝b2，‎ 所以|a|·|b|cos α＝|b|2，又|a|＝2|b|，‎ 所以cos α＝，因为α∈(0，π)，所以α＝.故选B.‎ ‎3．(2020·河北衡水模拟三)已知向量a＝(1，k)，b＝(2，4)，则“k＝－”是“|a＋b|2＝a2＋b2”的(　　)‎ A．充分不必要条件 ‎ B．必要不充分条件 C．充要条件 ‎ D．既不充分也不必要条件 解析：选C.由|a＋b|2＝a2＋b2，得a2＋2a·b＋b2＝a2＋b2，得a·b＝0，得(1，k)·(2，4)＝0，解得k＝－，所以“k＝－”是“|a＋b|2＝a2＋b2”的充要条件．故选 C.‎ ‎4.‎ ‎(2020·河南安阳二模)如图所示，直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，AB＝AD＝4，CD＝8.若＝－7，3＝，则·＝(　　)‎ A．11 B．10‎ C．－10 D．－11‎ 解析：选D.‎ 以A为坐标原点，建立直角坐标系如图所示．‎ 则A(0，0)，B(4，0)，E(1，4)，F(5，1)，所以＝(5，1)，＝(－3，4)，则·＝－15＋4＝－11.故选D.‎ ‎5．已知向量||＝3，||＝2，＝m＋n，若与的夹角为60°，且⊥，则实数的值为(　　)‎ A. B． C．6 D．4‎ 解析：选A.因为向量||＝3，||＝2，＝m＋n，与夹角为60°，所以·＝3×2×cos 60°＝3，‎ 所以·＝(－)·(m＋n)‎ ‎＝(m－n)·－m||2＋n||2‎ ‎＝3(m－n)－9m＋4n＝－6m＋n＝0，所以＝，故选A.‎ ‎6．(2020·河南郑州一模)已知e1，e2为单位向量且夹角为，设a＝3e1＋2e2，b＝3e2，则a在b方向上的射影为________．‎ 解析：根据题意得，a·b＝9e1·e2＋6e＝9×1×1×＋6＝－＋6＝，又因为|b|＝3，所以a在b方向上的射影为＝＝.‎ 答案： ‎7．(2020·江西临川九校3月联考)已知平面向量a＝(2m－1，2)，b＝(－2，3m－2)，且a⊥b，则|2a－3b|＝________．‎ 解析：因为a⊥b，所以a·b＝－2(2m－1)＋2(3m－2)＝0，解得m＝1，‎ 所以a＝(1，2)，b＝(－2，1)，所以2a－3b＝(2，4)－(－6，3)＝(8，1)，‎ 所以|2a－3b|＝＝.‎ 答案： ‎8．(2020·石家庄质量检测(一))已知与的夹角为90°，||＝2，||＝1，＝λ＋μ(λ，μ∈R)，且·＝0，则的值为________．‎ 解析：‎ 根据题意，建立如图所示的平面直角坐标系，则A(0，0)，B(0，2)，C(1，0)，所以＝(0，2)，＝(1，0)，＝(1，－2)．设M(x，y)，则＝(x，y)，所以·＝(x，y)·(1，－2)＝x－2y＝0，所以x＝2y，又＝λ＋μ，即(x，y)＝λ(0，2)＋μ(1，0)＝(μ，2λ)，‎ 所以x＝μ，y＝2λ，‎ 所以＝＝.‎ 答案： ‎9．已知向量m＝(sin α－2，－cos α)，n＝(－sin α，cos α)，其中α∈R.‎ ‎(1)若m⊥n，求角α；‎ ‎(2)若|m－n|＝，求cos 2α的值．‎ 解：(1)若m⊥n，则m·n＝0，‎ 即为－sin α(sin α－2)－cos2 α＝0，‎ 即sin α＝，‎ 可得α＝2kπ＋或α＝2kπ＋，k∈Z.‎ ‎(2)若|m－n|＝，即有(m－n)2＝2，‎ 即(2sin α－2)2＋(2cos α)2＝2，‎ 即为4sin2α＋4－8sin α＋4cos2α＝2，‎ 即有8－8sin α＝2，‎ 可得sin α＝，‎ 即有cos 2α＝1－2sin2α＝1－2×＝－.‎ ‎10．在平面直角坐标系xOy中，点A(－1，－2)，B(2，3)，C(－2，－1)．‎ ‎(1)求以线段AB，AC为邻边的平行四边形两条对角线的长；‎ ‎(2)设实数t满足(－t)·＝0，求t的值．‎ 解：(1)由题设知＝(3，5)，＝(－1，1)，则＋＝(2，6)，－＝(4，4)．‎ 所以|＋|＝2，|－|＝4.‎ 故所求的两条对角线的长分别为4，2.‎ ‎(2)法一：由题设知：＝(－2，－1)，－t＝(3＋2t，5＋t)．‎ 由(－t)·＝0，得：‎ ‎(3＋2t，5＋t)·(－2，－1)＝0，‎ 从而5t＝－11，‎ 所以t＝－.‎ 法二：·＝t2，＝(3，5)，‎ t＝＝－.‎ ‎[综合题组练]‎ ‎1．(2020·安徽滁州一模)△ABC中，AB＝5，AC＝10，·＝25，点P是△ABC内(包括边界)的一动点，且＝－λ(λ∈R)，则||的最大值是(　　)‎ A. B． C. D． 解析：选B.△ABC中，AB＝5，AC＝10，·＝25，所以5×10×cos A＝25，cos A＝，‎ 所以A＝60°，BC＝＝5，因为AB2＋BC2＝AC2，所以B＝90°.以A为原点，AB所在的直线为x轴，建立如图所示的坐标系，‎ 则A(0，0)，B(5，0)，C(5，5)，设点P为(x，y)，0≤x≤5，0≤y≤5，‎ 因为＝－λ，‎ 所以(x，y)＝(5，0)－λ(5，5)＝(3－2λ，－2λ)，‎ 所以所以y＝(x－3)，直线BC的方程为x＝5，‎ 联立解得此时||最大，为＝.故选B.‎ ‎2.‎ ‎(2020·广东广雅中学模拟)如图所示，等边△ABC的边长为2，AM∥BC，且AM＝6.若N为线段CM的中点，则·＝(　　)‎ A．24 B．23‎ C．22 D．18‎ 解析：选B.‎ 法一：如图，以A为原点，AB所在直线为x轴，过点A作垂直于AB的直线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则A(0，0)，B(2，0)，C(1，)，因为△ABC为等边三角形，且AM∥BC，所以∠MAB＝120°，所以M(－3，3)．因为N是CM的中点，所以N(－1，2)，所以＝(－1，2)，＝(－5，3)，所以·＝23.‎ 法二：依题意知||＝||＝2，与的夹角为60°，‎ 且＝3，＝(＋)＝(3＋)＝(－)＋＝2－.‎ ＝－＝3－＝3(－)－＝3－4.则·＝·(3－4)＝6＋6－8·－·＝23.‎ ‎3.如图，AB是半圆O的直径，P是上的点，M，N是直径AB上关于O对称的两点，且 AB＝6，MN＝4，则·＝________．‎ 解析：连接AP，BP，则＝＋，＝＋＝－，所以·＝(＋)·(－)＝·－·＋·－||2＝－·＋·－||2＝·－||2＝1×6－1＝5.‎ 答案：5‎ ‎4．已知△ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则·(＋)的最小值是________．‎ 解析：如图，以等边三角形ABC的底边BC所在直线为x轴，以BC的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，则A(0，)，B(－1，0)，C(1，0)，设P(x，y)，则＝(－x，－y)，＝(－1－x，－y)，＝(1－x，－y)，所以·(＋)＝(－x，－y)·(－2x，－2y)＝2x2＋2(y－)2－，当x＝0，y＝时，·(＋)取得最小值为－.‎ 答案：－ ‎5．(创新型)在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，已知向量m＝(cos B，2cos2 －1)，n＝(c，b－2a)，且m·n＝0.‎ ‎(1)求∠C的大小；‎ ‎(2)若点D为边AB上一点，且满足＝，||＝，c＝2，求△ABC的面积．‎ 解：(1)因为m＝(cos B，cos C)，n＝(c，b－2a)，m·n＝0，‎ 所以ccos B＋(b－2a)cos C＝0，在△ABC中，由正弦定理得sin Ccos B＋(sin B－2sin A)cos C＝0，‎ sin A＝2sin Acos C，又sin A≠0，‎ 所以cos C＝，而C∈(0，π)，所以∠C＝.‎ ‎(2)由＝知，－＝－，‎ 所以2＝＋，‎ 两边平方得4||2＝b2＋a2＋2bacos ∠ACB＝b2＋a2＋ba＝28.①‎ 又c2＝a2＋b2－2abcos ∠ACB，‎ 所以a2＋b2－ab＝12.②‎ 由①②得ab＝8，‎ 所以S△ABC＝absin ∠ACB＝2.‎