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- 2021-06-30 发布
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石城中学2020届高三下学期第二次(线上)考试
理科数学试卷
满分:150分 时间:120分钟
命题范围:高考范围 下次周考范围:高考范围
一、选择题:(本题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.)
1.设集合,则下列结论正确的是 ( )
A. B. C. D.
2.命题“,”的否定是( )
A. B.
C. D.
3.若复数是纯虚数,则的值为( )
A. B. C. D.
4.如果点在平面区域上,点在曲线上,那么的最小值为( )
A. B. C. D.
5.已知函数,若正实数,满,则的最小值是( )
A.1 B. C.9 D.18
6.2018年1月31日
晚上月全食的过程分为初亏、食既、食甚、生光、复圆五个阶段,月食的初亏发生在19时48分,20时51分食既,食甚时刻为21时31分,22时08分生光,直至23时12分复圆.全食伴随有蓝月亮和红月亮,全食阶段的“红月亮”将在食甚时刻开始,生光时刻结東,一市民准备在19:55至21:56之间的某个时刻欣赏月全食,则他等待“红月亮”的时间不超过30分钟的概率是( )
A. B. C. D.
7.(错题再现)将3名教师和3名学生共6人平均分成3个小组,分别安排到三个社区参加社会实践活动,则每个小组恰好有1名教师和1名学生的概率为( )
A. B. C. D.
8.干支纪年法是中国历法上自古以来就一直使用的纪年方法,主要方式是由十天干(甲、乙、丙、丁、戊、己、废、辛、壬、朵)和十二地支(子、丑、卯、辰、已、午、未、中、百、戊、)按顺序配对,周而复始,循环记录.如:1984年是甲子年,1985年是乙丑年,1994年是甲戌年,则数学王子高斯出生的1777年是干支纪年法中的( )
A.丁申年 B.丙寅年 C.丁酉年 D.戊辰年
9.如图所示,边长为2的正方形ABCD中,E为BC边中点,点P在对角线BD上运动,过点P作AE的垂线,垂足为F,当最小时, ( )
A. B. C. D.
10.(错题再现)过曲线的左焦点作曲线的切线,设切点为延长交曲线于点其中有一个共同的焦点,若则曲线的离心率为( ).
A. B. C. D.
11.利用一半径为4cm的圆形纸片(圆心为O)制作一个正四棱锥.方法如下:
(1)以O为圆心制作一个小的圆;
(2)在小的圆内制作一内接正方形ABCD;
(3)以正方形ABCD的各边向外作等腰三角形,使等腰三角形的顶点落在大圆上(如图);
(4)将正方形ABCD作为正四棱锥的底,四个等腰三角形作为正四棱锥的侧面折起,使四个等腰三角形的顶点重合,问:要使所制作的正四棱锥体积最大,则小圆的半径为( )
A. B. C. D.
12.已知函数,两个等式:对任意的实数均恒成立,且上单调,则的最大值为 ( )
A.1 B.2 C.3 D.4
二、 填空题:(本大题共4题,每小题5分,共20分.)
13.若数列为等差数列,为等比数列,且满足:,,函数,则________.
14._______
15.二项式的展开式中,设“所有二项式系数和”为A,“所有项的系数和”为B,“常数项”值为C,若,则含的项为_____.
16.定义在R上的函数满足,又当时,
成立,若,则实数t的取值范围为_________.
三、解答题:(共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.)
17.已知函数的定义域为,集合.
(1)若,求实数的值;
(2)若,使,求实数的取值范围.
18.某地种植常规稻和杂交稻,常规稻的亩产稳定为485公斤,今年单价为3.70元/公斤,估计明年单价不变的可能性为,变为3.90元/公斤的可能性为,变为4.00的可能性为.统计杂交稻的亩产数据,得到亩产的频率分布直方图如图①.统计近10年杂交稻的单价(单位:元/公斤)与种植亩数(单位:万亩)的关系,得到的10组数据记为,并得到散点图如图②.
(1)根据以上数据估计明年常规稻的单价平均值;
(2)在频率分布直方图中,各组的取值按中间值来计算,求杂交稻的亩产平均值;以频率作为概率,预计将来三年中至少有二年,杂交稻的亩产超过795公斤的概率;
(3)①判断杂交稻的单价(单位:元/公斤)与种植亩数(单位:万亩)是否线性相关?若相关,试根据以下的参考数据求出关于的线性回归方程;
②调查得知明年此地杂交稻的种植亩数预计为2万亩.若在常规稻和杂交稻中选择,明年种植哪种水稻收入更高?
统计参考数据:,,,,
附:线性回归方程,.
19.如图所示,在四棱锥中,平面平面, , , .
(1)求证: ;
(2)若二面角为为,求直线与平面所成的角的正弦值.
20.已知分别是椭圆的长轴与短轴的一个端点,是椭圆的左、右焦点,以点为圆心、3为半径的圆与以点为圆心、1为半径的圆的交点在椭圆上,且.
(1)求椭圆的方程;
(2)设为椭圆上一点,直线与轴交于点,直线与轴交于点,求证:.
21.设函数.
(Ⅰ)讨论的导函数的零点的个数;
(Ⅱ)证明:当时.
请考生在22、23两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.
选修4-4:坐标系与参数方程
22.在直角坐标系中,直线的参数方程为(为参数),以坐标原点为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.
(1)当时,求的普通方程和的直角坐标方程;
(2)若直线与曲线交于两点,直线的倾斜角,点为直线与轴的交点,求的最小值.
选修4-5:不等式选讲
23.已知,,且.
(1)若恒成立,求的取值范围;
(2)证明:.
一、选择题:(本题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.)
1.设集合,则下列结论正确的是( B )
A. B. C. D.
【解析】B
由,得或,则,选B.
2.命题“,”的否定是( B )
A. B.
C. D.
【解析】B
全称命题改否定,首先把全称量词改成特称量词,然后把后面结论改否定即可.
3.若复数是纯虚数,则的值为( C )
A. B. C. D.
【解析】 C
根据所给的虚数是一个纯虚数,得到虚数的实部等于0,而虚部不等于0,得到角的正弦和余弦值,根据同角三角函数之间的关系,得到结果.
4.如果点在平面区域上,点在曲线上,那么的最小值为( A )
A. B. C. D.
【解析】A
的最小值就是圆心(0,-2)到平面区域
的最小值减去圆的半径,由图可得圆心(0,-2)到平面区域的最小值是,所以的最小值为.
5.已知函数,若正实数,满,则的最小值是( A )
A.1 B. C.9 D.18
【详解】A
因为,所以,
所以函数为奇函数,又若正实数满,所以,
所以,
当且仅当,即时,取等号.
故选A
6.2018年1月31日晚上月全食的过程分为初亏、食既、食甚、生光、复圆五个阶段,月食的初亏发生在19时48分,20时51分食既,食甚时刻为21时31分,22时08分生光,直至23时12分复圆.全食伴随有蓝月亮和红月亮,全食阶段的“红月亮”将在食甚时刻开始,生光时刻结東,一市民准备在19:55至21:56之间的某个时刻欣赏月全食,则他等待“红月亮”的时间不超过30分钟的概率是( C )
A. B. C. D.
【解析】C
分析:由市民准备在19:55至21:56之间的某个时刻欣赏月全食知这是一个几何概型,由题可知事件总数包含的时间长度是121,而他等待的时间不多于30分钟的事件包含的时间长度是55,两值一比即可求出所求.
详解:如图,时间轴点所示,概率为
故选C.
7.(错题再现)将3名教师和3名学生共6人平均分成3个小组,分别安排到三个社区参加社会实践活动,则每个小组恰好有1名教师和1名学生的概率为( B )
A. B. C. D.
【详解】B
将名教师和名学生共人平均分成个小组,分别安排到三个社区参加社会实践活动,基本事件总数,每个小组恰好有名教师和名学生包含的基本事件个数,所以每个小组恰好有名教师和名学生的概率为,故选B.
8.干支纪年法是中国历法上自古以来就一直使用的纪年方法,主要方式是由十天干(甲、乙、丙、丁、戊、己、废、辛、壬、朵)和十二地支(子、丑、卯、辰、已、午、未、中、百、戊、)按顺序配对,周而复始,循环记录.如:1984年是甲子年,1985年是乙丑年,1994年是甲戌年,则数学王子高斯出生的1777年是干支纪年法中的(C )
A.丁申年 B.丙寅年 C.丁酉年 D.戊辰年
【解析】C
由题意,天干是以10为公差的等差数列,地支是以12为公差的等差数列,1994年是甲戌年,则1777的天干为丁,地支为酉,故选:C.
9.如图所示,边长为2的正方形ABCD中,E为BC边中点,点P在对角线BD上运动,过点P作AE的垂线,垂足为F,当最小时, ( D )
A. B. C. D.
【详解】D
依题,由图易知向量所成角为钝角,所以,所以当最小时,即为向量在向量方向上的投影最小,数形结合易知点P在点D时,最小(如图所示),
在三角形ADE中,由等面积可知,所以,从而.所以.故选D.
10.过曲线的左焦点作曲线的切线,设切点为延长交曲线于点其中有一个共同的焦点,若则曲线的离心率为( A ).
A. B. C. D.
【详解】A
设双曲线的右焦点为,则的坐标为.
因为曲线与有一个共同的焦点,所以曲线的方程为.
因为,
所以,
所以为的中点,
因为O为的中点,
所以OM为的中位线,
所以OM∥.
因为|OM|=a,所以.
又,,
所以.
设N(x,y),则由抛物线的定义可得,
所以.
过点F1作x轴的垂线,点N到该垂线的距离为,
在中,由勾股定理得,
即,
所以,
整理得,解得.
故选A.
11.利用一半径为4cm的圆形纸片(圆心为O)制作一个正四棱锥.方法如下:
(1)以O为圆心制作一个小的圆;
(2)在小的圆内制作一内接正方形ABCD;
(3)以正方形ABCD的各边向外作等腰三角形,使等腰三角形的顶点落在大圆上(如图);
(4)将正方形ABCD作为正四棱锥的底,四个等腰三角形作为正四棱锥的侧面折起,使四个等腰三角形的顶点重合,问:要使所制作的正四棱锥体积最大,则小圆的半径为(C )
A. B. C. D.
【详解】C
设小圆的半径为,连OD.OH.OH与AD交于点M,则.因为大圆半径R=4,所以,在正四棱锥中,如图所示,
.
所以
记,所以令,
易知,时,取最大值,所以小圆半径为时,V最大。故选C.
12.已知函数,两个等式:对任意的实数均恒成立,且上单调,则的最大值为 ( A )
A.1 B.2 C.3 D.4
【详解】A
因为两个等式:对任意的实数x均恒成立,所以的图象关于直线和点对称,所以,因为,所以.因为在上单调,所以,所以,由选项知,只需要验证.
1.当时,,因为对任意的实数x均恒成立,所以,因为,所以,所以,可以验证在上不单调,
2.当时,,因为对任意的实数x均恒成立,所以,因为·所以·所以
,可以验证在上单调,
所以w=1.故选A.
二、 填空题:(本大题共4题,每小题5分,共20分.)
13.若数列为等差数列,为等比数列,且满足:,,函数,则________.
【详解】
是等差数列,
是等比数列,
,
,
.
故答案为:.
14._______;
【详解】
==.
15.二项式的展开式中,设“所有二项式系数和”为A,“所有项的系数和”为B,“常数项”值为C,若,则含的项为_____.
【详解】
依题得,所以n=8,在的展开式中令x=1,则有,所以a+b=2,又因为展开式的通项公式为,令.所以得到(舍),当时,由得.所以令,所以,故填.
16.定义在R上的函数满足,又当时,成立,若,则实数t的取值范围为_________.
【详解】
由,令,则,所以为奇函数.因为当时,成立,所以当时,成立,所以在上单调递增,所以在R上单调递增.因为,
即为,
所以,所以,所以.
故答案为:
三、解答题:(共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.)
17.已知函数的定义域为,集合.
(1)若,求实数的值;
(2)若,使,求实数的取值范围.
【解析】(1);(2)或.
试题解析:
(1),
因为,所以;....................6分
(2)由已知得:,所以或.....................12分
18.某地种植常规稻和杂交稻,常规稻的亩产稳定为485公斤,今年单价为3.70元/公斤,估计明年单价不变的可能性为,变为3.90元/公斤的可能性为,变为4.00的可能性为.统计杂交稻的亩产数据,得到亩产的频率分布直方图如图①.统计近10年杂交稻的单价(单位:元/公斤)与种植亩数(单位:万亩)的关系,得到的10组数据记为,并得到散点图如图②.
(1)根据以上数据估计明年常规稻的单价平均值;
(2)在频率分布直方图中,各组的取值按中间值来计算,求杂交稻的亩产平均值;以频率作为概率,预计将来三年中至少有二年,杂交稻的亩产超过795公斤的概率;
(3)①判断杂交稻的单价(单位:元/公斤)与种植亩数(单位:万亩)是否线性相关?若相关,试根据以下的参考数据求出关于的线性回归方程;
②调查得知明年此地杂交稻的种植亩数预计为2万亩.若在常规稻和杂交稻中选择,明年种植哪种水稻收入更高?
统计参考数据:,,,,
附:线性回归方程,.
(1)3.9;(2)0.104;(3)①;②选择种杂交稻收入更高.
【详解】
解:(1)设明年常规稻的单价为,则的分布列为
3.70
3.90
4.00
0.1
0.7
0.2
,
估计明年常规稻的单价平均值为3.9(元/公斤); (3分)
(2)杂交稻的亩产平均值为:
.
依题意知杂交稻的亩产超过795公斤的概率,
则将来三年中至少二年,杂交稻的亩产超过795公斤的概率为:
. (6分)
(3)①∵散点图中各点大致分布在一条直线附近,
∴可以判断杂交稻的单价与种植亩数线性相关,
由题中提供的数据得:,
由得,
∴线性回归方程为, (10分)
② 估计明年杂交稻的单价元/公斤;
估计明年杂交稻的每亩平均收入为元/亩,
估计明年常规稻的每亩平均收入为元/亩,
∵,∴明年选择种杂交稻收入更高. (12分)
19.如图所示,在四棱锥中,平面平面, , , .
(1)求证: ;
(2)若二面角为为,求直线与平面所成的角的正弦值.
【解析】试题分析:
(1)利用题意首先证得平面,结合线面垂直的定义有.
(2)结合(1)的结论首先找到二面角的平面角,然后可求得直线与平面所成角的正弦值为.
试题解析:
(1)中,应用余弦定理得 ,
解得,
所以,
所以. (2分)
因为平面平面,平面平面, ,
所以平面,又因为平面,
所以. (5分)
(2)由(1)平面, 平面,
所以.
又因为,平面平面,
所以是平面与平面所成的二面角的平面角,即. (7分)
因为, ,
所以平面. (9分)
所以是与平面所成的角. (10分)
因为在中, ,
所以在中, . (12分)
20.已知分别是椭圆的长轴与短轴的一个端点,是椭圆的左、右焦点,以点为圆心、3为半径的圆与以点为圆心、1为半径的圆的交点在椭圆上,且.
(1)求椭圆的方程;
(2)设为椭圆上一点,直线与轴交于点,直线与轴交于点,求证:.
【解析】
试题分析:根据题意列方程,利用待定系数法解方程求出椭圆的标准方程,第二步设出点P的坐标,满足椭圆方程作为条件(1),写出直线AP、BP的方程,表示点M、N的坐标,得到和 的长的表达式,两者相乘,代入条件(1)并化简所得的积,化简后恰好为.
试题解析:
(1)由题意得,解得,
所以椭圆的方程为. (4分)
(2)由(1)及题意可画图,如图,不妨令.设,则.
令,得,从而; (5分)
直线的方程为,
令,得,从而. (7分)
所以
. (10分)
当时,,
所以,综上可知. (12分)
21.设函数.
(Ⅰ)讨论的导函数的零点的个数;
(Ⅱ)证明:当时.
【解析】
试题分析:(Ⅰ)先求出导函数,分与考虑的单调性及性质,即可判断出零点个数;(Ⅱ)由(Ⅰ)可设在的唯一零点为,根据的正负,即可判定函数的图像与性质,求出函数的最小值,即可证明其最小值不小于,即证明了所证不等式.
试题解析:(Ⅰ)的定义域为,. (1分)
当时,,没有零点; (2分)
当时,因为单调递增,单调递增,所以在单调递增.又,当b满足且时,,故当时,存在唯一零点. (5分)
(Ⅱ)由(Ⅰ),可设在的唯一零点为,
当时,;
当时,.
故在单调递减,在单调递增, (8分)
所以当时,取得最小值,最小值为. (9分)
由于,
所以.
故当时,. (12分)
22.在直角坐标系中,直线的参数方程为(为参数),以坐标原点为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.
(1)当时,求的普通方程和的直角坐标方程;
(2)若直线与曲线交于两点,直线的倾斜角,点为直线与轴的交点,求的最小值.
(1) 直线的普通方程为;曲线的直角坐标方程为.(2)
【详解】
(1)直线的普通方程为; (2分)
曲线的直角坐标方程为. (5分)
(2)将直线的参数方程(为参数),代入圆的方程,
得,化简得, (7分)
易知,设所对应的参数分别为,则
则, (8分)
所以.
当时,取得最小值. (10分)
23.已知,,且.
(1)若恒成立,求的取值范围;
(2)证明:.
详解:(1)设
由,得.
故 . (2分)
所以.
当时,,得;
当时,,解得,故;
当时,,解得,故;
综上,. (5分)
(2)
,
,
. (10