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- 2021-06-30 发布
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连城一中2019-2020学年上期高一年级月考一数学试卷
一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.集合的真子集的个数为( )
A. 9 B. 8 C. 7 D. 6
【答案】C
【解析】
【分析】
分析得到y可取0,1,2,所以,再求集合A的真子集的个数.
【详解】由于,,又因,
则y可取0,1,2,
∴,
故集合A的真子集个数为,
故选C.
【点睛】本题主要考查集合及其真子集,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平,属于基础题.
2.数(,且)的图象必经过点( ).
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
由题意,令,代入函数解析式,求得,即可得到函数必经过定点,得到答案.
【详解】(,且),当时, ,故的图象必过点.故选.
【点睛】本题主要考查了指数函数的图象与性质,其中熟记指数函数的图象与性质,合理作出计算是解答此类问题的关键,着重考查了推理与运算能力,属于基础题.
3.若函数的定义域是,则函数的定义域是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
根据函数的定义域以及分式的分母不为零,可以得到一个不等式组,解这个不等式组即可求出函数的定义域.
【详解】函数的定义域是,因此有:.
故选:B
【点睛】本题考查了求复合函数的定义域,考查了分母不为零这一性质,考查了数学运算能力.
4.设,则大小的顺序是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
把化为同一底数的两个指数式,利用指数函数的单调性比较出的大小, 把化为同一指数的两个指数式,利用幂数函数的单调性比较出的大小,最后可以确定大小的顺序.
【详解】.
所以.
故选:B
【点睛】本题考查了指数之间的大小比较,化同底数、同指数,用指数函数、幂函数的单调性是常见的方法.
5.的值是( )
A. 0 B. m—n C. 2(m—n) D. 0或2(m—n)
【答案】D
【解析】
【分析】
根据根式的性质可以直接求解即可.
【详解】.
故选:D
【点睛】本题考查了根式化简,考查了分类思想,属于基础题.
6.函数的图象大致是( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
试题分析:函数的定义域是,排除B,C,是减函数,排除D,只有A符合.故选A.(也可从函数值的正负考虑排除D).
考点:函数的图象.
7.生产一定数量商品的全部费用称为生产成本,某企业一个月生产某种商品万件时的生产成本为(万元),商品的售价是每件20元,为获取最大利润(利润收入
成本),该企业一个月应生产该商品数量为( )
A. 万件 B. 万件 C. 万件 D. 万件
【答案】B
【解析】
【分析】
根据题中条件,结合利润收入成本,列出利润的表达式,再由配方法即可得出结果.
【详解】由题意可得,获得最大利润时的收入是万元,成本是,所以此时的利润为,当且仅当时,取最大值.
故选B
【点睛】本题主要考查函数的应用,根据题意列出函数的表达式,进而可求出结果,属于基础题型.
8.已知函数是(-∞,+∞)上的减函数,则a的取值范围是
A. (0,3) B. (0,3] C. (0,2) D. (0,2]
【答案】D
【解析】
【分析】
由为上的减函数,根据和时,均单调递减,且,即可求解.
【详解】因为函数为上的减函数,
所以当时,递减,即,当时,递减,即,
且,解得,
综上可知实数的取值范围是,故选D.
【点睛】本题主要靠考查了分段函数的单调性及其应用,其中熟练掌握分段的基本性质,列出相应的不等式关系式是解答的关键,着重考查了分析问题和解答问题的能力,属于基础题.
9.已知奇函数在时的图象如图所示,则不等式的解集为( )
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
通过,得出和异号,观察图像可得结果.
【详解】解:,
和异号,
由为奇函数如图
可得:
当,,
当,,
所以不等式的解集为:.
故选:A.
【点睛】由函数的奇偶性得出整个图象,分类讨论的思想得出函数值的正负,数形结合得出自变量的范围.
10.函数定义域为R,且对任意,恒成立,则下列选项中不恒成立的是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
运用取特殊值、奇函数的定义对四个选项逐一判断即可选出正确答案.
【详解】选项A:令得, ,故本选项正确;
选项B:令得, ,故本选项正确;
选项C:由选项A可知:,令,得
,故本选项正确;
选项D:由选项A可知:,显然本选项不正确.
故选:D
【点睛】本题考查了抽象函数的性质,考查了代入思想,属于基础题.
11.已知函数是定义在R上的偶函数, 且在区间单调递增. 若实数a满足, 则a的取值范围是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
试题分析:函数是定义在上的偶函数,∴,等价为),即.∵函数是定义在上的偶函数,且在区间单调递增,∴)等价为
.即,∴,解得,故选项为C.
考点:(1)函数的奇偶性与单调性;(2)对数不等式.
【思路点晴】本题主要考查对数的基本运算以及函数奇偶性和单调性的应用,综合考查函数性质的综合应
用根据函数的奇偶数和单调性之间的关系,综合性较强.由偶函数结合对数的运算法则得:,即,结合单调性得:将不等式进行等价转化即可得到结论.
12.若函数在区间内恒有,则的单调递增区间是( )
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
试题分析:由题意得,因为,,函数在区间内恒有,所以,由复合函数的单调性可知的单调递减区间,对复合函数的形式进行判断,可得到函数的单调递增区间为,故选C.
考点:1.对数函数的图象与性质;2.复合函数的单调性;3.函数恒成立问题.
【方法点睛】本题主要考查的是用复合函数的单调性求单调区间,函数恒成立问题,对数函数的图象与性质,属于中档题,本题要根据题设中所给的条件解出的底数的值,由,可得到内层函数的值域,再由恒成立,可得到底数
的取值范围,再利用复合函数的单调性求出其单调区间即可,因此本题中正确将题设中所给的条件进行正确转化得出底数的范围,是解决本题的关键.
二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.
13.已知集合A={,,2},B={2,,2}且,=,则= .
【答案】0或
【解析】
【详解】
14.不等式的的解集为,则实数的取值范围为____________________.
【答案】
【解析】
【分析】
分类讨论,根据一元二次不等式的解集性质可以求出实数的取值范围.
【详解】当时,不等式变为:,显然符合题意;
当时,要想不等式的的解集为,
只需:,综上所述实数的取值范围为.
故答案为;
【点睛】本题考查了已知不等式的解集求参数取值范围问题,考查了一元二次不等式解集的性质.
15.奇函数的图象关于点对称,,则__________.
【答案】2
【解析】
分析:因为函数的图像具有两个对称中心,可通过解析式满足的条件推出函数为周期函数且周期为2,从而求出.
详解:由题设有
,
从而有,周期函数且周期为,所以 .
点睛:一般地,定义在上的函数如果满足,(),那么的一个周期为.
16.记表示中的最大者,设函数,若,则实数的取值范围是___________.
【答案】或
【解析】
【分析】
在直角坐标系内,画出函数的图象,利用数形结合思想结合已知求出实数的取值范围.
【详解】在直角坐标系内,画出函数的图象,如下图所示:
直线与函数的交点坐标分别为:,当时,根据图形可知:实数的取值范围为或.
故答案为:或
【点睛】本题考查了新定义题,考查了数形结合思想,考查了画函数图象.
三、解答题:本大题共6个大题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.设全集为,,.
(1)求;
(2)若,,求实数的取值范围.
【答案】(1);(2).
【解析】
【分析】
(1)根据并集与补集的定义,计算即可;
(2)根据A∩C=A知A⊆C,列出不等式组求出实数a的取值范围.
【详解】(1)全集为,,,
,
;
(2),且,知,
由题意知,,解得,
实数的取值范围是.
【点睛】1.用描述法表示集合,首先要弄清集合中代表元素的含义,再看元素的限制条件,明确集合类型,是数集、点集还是其他的集合.
2.求集合的交、并、补时,一般先化简集合,再由交、并、补的定义求解.
3.在进行集合的运算时要尽可能地借助Venn图和数轴使抽象问题直观化.一般地,集合元素离散时用Venn图表示;集合元素连续时用数轴表示,用数轴表示时要注意端点值的取舍.
18.已知集合A=,B={x|(9-x2)<(6-2x)},又A∩B={x|x2+ax+b<0},求a+b的值.
【答案】
【解析】
分析:先根据指数函数,对数函数的性质,将化简,从而可得出,再根据一元二次不等式与一元二次方程的关系求出,进而得出.
详解:
由题意,,,
,,
,,
方程的两个根为和,由韦达定理则,,
∴.
点睛:本题考查了指数函数,对数函数的单调性,集合的基本运算,一元二次不等式与一元二次方程的关系,属于简单题.
19.已知函数的定义域为M.
(1)求M;
(2)当x∈M时,求的值域.
【答案】(1) ;(2) .
【解析】
【分析】
(1)根据二次根式被开方数为非负数,对数的真数大于零,列出不等式组,解这个不等式组,这样可以求出集合;
(2)令,利用换元法和二次函数的单调性可以求出函数的值域.
【详解】(1)由题意可知:;
(2) 令,因为x∈M,所以 .
,因为,当时,
函数有最小值,值为0, 当时, 函数有最大值,值为9,所以函数
的值域为.
【点睛】本题考查了具体函数的定义域,考查了用换元法求函数的值域,考查了数学运算能力.
20.已知函数,若在区间上有最大值1.
(1)求的值;
(2)若在上单调,求数的取值范围.
【答案】(1)-1;(2).
【解析】
【分析】
(1)根据函数的开口方向和对称轴,求出函数的单调区间,从而求出函数的最大值是f(2)=1,求出a的值即可;(2)求出f(x)的解析式,求出g(x)的表达式,根据函数的单调性求出m的范围即可.
【详解】因为函数的图象是抛物线,,
所以开口向下,对称轴是直线,
所以函数在单调递减,
所以当时,,
因为,,
所以,
,
在上单调,
,或.
从而,或
所以,m的取值范围是.
【点睛】本题考查了二次函数性质,考查函数的单调性、最值问题,是一道中档题;二次函数在小区间上的单调性,需要讨论二次函数对称轴和区间的位置关系,结合函数图像的特点得到函数的单调性,进而得到最值.
21.已知函数.
(1)用定义证明函数在区间上为减函数;
(2)若时,有, 求实数m的范围.
【答案】(1)证明见解析过程;(2) .
【解析】
【分析】
(1)运用单调性的定义,结合运算结果可以函数在区间上为减函数;
(2)利用(1)中的结论可以得到不等式组,解不等式即可求出实数m的范围.
【详解】(1)设是上的任意两个实数,且,则.
因为,所以,
所以函数在区间上为减函数;
(2)由(1)可知:函数在区间上为减函数,所以当时,函数也是单调递减的.
【点睛】本题考查了用定义法证明函数的单调性,考查了用函数的单调性解不等式问题,考查了数学运算能力.
22.已知f(x)是定义在[-4,4]上的奇函数,当x∈(0,4]时,函数的解析式为 (a∈R), 且.
(1)试求a的值;
(2)求f(x)在[-4,4]上的解析式;
(3)求f(x)在[-4,0)上的最值(最大值和最小值).
【答案】(1) ;(2) ;(3)最小值为-1,无最大值.
【解析】
分析】
(1)根据,利用奇函数的性质、对数运算的性质可以求出a的值;
(2)利用奇函数的性质可以求出f(x)在[-4,4]上的解析式;
(3)利用函数的单调性可以判断出函数的最值情况.
【详解】(1)因为f(x)是定义在[-4,4]上的奇函数,所以
.
(2)因为f(x)是定义在[-4,4]上的奇函数,所以有.
当时,
.
所以f(x)在[-4,4]上的解析式为:;
(3) 当时, ,因此当时,函数有最小值,最小值为-1,函数没有最大值.
【点睛】本题考查了奇函数的性质,考查了对数运算性质和对数型函数的最值,考查了数学运算能力.