【数学】2018届一轮复习人教A版“四法”破解三项展开式问题学案 2页

‎“四法”破解三项展开式问题 如何求解三项展开式中某些指定的项，同 们普遍感到比较陌生。下面介绍四种破解三项展开式问题的方法，供参考．‎ 问题：求展开式中的系数为.‎ ‎1、两项看成一项，利用二项式定理展开 三项展开式的问题可将其中两项作为整体，利用二项式定理处理，这是把三项式向二项式转化的有效途径．‎ 解法1：‎ ‎ =‎ 所以项的系数为．‎ ‎2、两项看成一项，抓展开式的通项公式 解法2：‎ ‎，r=0，1，2，3，4，5，则的系数由确定 由r + = 5得 所以项的系数为．‎ 点评：这种解法本质上同解法1相同，先将其中两项作为整体，两次利用二项式定理的通项公式后，就得到了三项展开式的通项公式为 ‎3、因式分解，转化为两个二项展开式 解法3：‎ ‎ =‎ 相乘合并得项的系数为92．‎ 点评：若三项式可分解因式，则可以转化为两个二项式的积的形式；若 三项式恰好是二项式的平方，则也可直接转化为二项式问题求解，如 ．‎ ‎4、看作多个因式的乘积，用组合的知识解答 解法4：将看作5个因式的乘积，这5个因式乘积的展开式中形成的有：‎ ‎①5个因式各出一个2x，这样的方式有种，对应的项为；‎ ‎②有3个因式各出一个2x，有1个因式出一个 - 3x2，剩余1个因式出一个1，这样的方式有种，对应的项为；‎ ‎③有1个因式出一个2x，2个因式各出一个- 3x2，剩余2个因式各出一个1，这样的方式有种，对应的项为；‎ 所以项的系数为 点评：对于求三项展开式中指定项的系数问题，一般都可以根据因式连乘的规律，结合组合的知识求解，也很简捷，但要注意将各种情况讨论全，避免遗漏．‎