专题18+平面向量的概念及其线性运算（题型专练）-2019年高考数学（理）热点题型和提分秘籍 13页

专题18 平面向量的概念及其线性运算 ‎1.下列说法正确的是　(　　)‎ A.若a与b都是单位向量，则a=b B.若a=b，则|a|=|b|且a与b的方向相同 C.若a+b=0，则|a|=|b|‎ D.若a-b=0，则a与b是相反向量 ‎【答案】C. ‎ ‎2.已知点D是△ABC的边AB的中点，则向量等于　(　　) ‎ A.-+ B.--‎ C.- D.+‎ ‎【答案】A. ‎ ‎【解析】因为点D是AB的中点，所以=+=+=-+.‎ ‎3.已知点P是四边形ABCD所在平面内的一点，若=(1+λ)-λ，其中λ∈R，则点P一定在　(　　)‎ A.AB边所在的直线上 B.BC边所在的直线上 C.BD边所在的直线上 D.四边形ABCD的内部 ‎【答案】C. ‎ ‎【解析】因为=(1+λ)-λ，所以-=λ(-)，所以=‎ λ，所以B，D，P三点共线，因此点P一定在BD边所在的直线上.‎ ‎4.已知向量a与b共线反向，则下列结论正确的是　(　　) ‎ A.|a+b|=|a|+|b|‎ B.|a+b|=|a|-|b|‎ C.|a-b|=|a|+|b|‎ D.|a-b|=|a|-|b|‎ ‎【答案】C ‎【解析】因为向量a与b共线反向，所以|a+b|<|a|+|b|，|a+b|≥0，而|a|-|b|的符号不确定，所以A，B不正确.同理，D不正确，C显然正确. ‎ ‎5.已知下列结论 ‎①已知a是非零向量，λ∈R，则a与λ‎2a方向相同 ‎②已知a是非零向量，λ∈R，则|λa|=λ|a|‎ ‎③若λ∈R，则λa与a共线 ‎④若a与b共线，则存在λ∈R，使a=λb 其中正确的个数为　(　　)‎ A.0 B.1 C.2 D.4‎ ‎【答案】B ‎6.在平行四边形ABCD中，点E是AD的中点，BE与AC相交于点F，若=m+n ‎(m，n∈R)，则的值为　(　　)‎ A.-2 B.- C.2 D.‎ ‎【答案】A ‎【解析】如图.设=a，=b，‎ 则=ma+nb，=-=b-a，‎ 由向量与共线可知存在实数λ，使得=λ，即ma+nb=λb-λa，‎ 又a与b不共线，则 所以=-2.‎ ‎7.已知D为△ABC的边AB的中点.M在DC上且满足5=+3，则△ABM与△ABC的面积比为　(　　)‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】C ‎8.在△ABC中，N是AC边上一点，且=，P是BN上的一点，若=m+，则实数m的值为　(　　)‎ A. B. C.1 D.3‎ ‎【答案】B【解析】如图所示.‎ 设=λ，‎ ‎9.O是△ABC所在平面外一点且满足=+‎ λ，λ为实数，则动点P的轨迹必经过△ABC的　(　　)‎ A.重心　　B.内心　　C.外心　　D.垂心 ‎【答案】B ‎【解析】如图，设==，已知均为单位向量， ‎ 故▱AEDF为菱形，所以AD平分∠BAC，‎ 由=+λ 得=λ，又与有公共点A，‎ 故A，D，P三点共线，‎ 所以P点在∠BAC的平分线上，故动点P的轨迹经过△ABC的内心.‎ ‎10.已知A，B，C是平面上不共线的三点，O是△ABC的重心，动点P满足=，则点P一定为三角形ABC的　(　　)‎ A.AB边中线的中点 B.AB边中线的三等分点(非重心)‎ C.重心 D.AB边的中点 ‎【答案】B 近C点的一个三等分点.‎ ‎11．给出下列命题：①零向量的长度为零，方向是任意的；②若a，b都是单位向量，则a＝b；③向量与相等．则所有正确命题的序号是(　　)‎ A．①　　 　 B．③‎ C．①③ D．①②‎ ‎【答案】A　‎ ‎【解析】根据零向量的定义可知①正确；根据单位向量的定义可知，单位向量的模相等，但方向不一定相同，故两个单位向量不一定相等，故②错误；向量与互为相反向量，故③错误． ‎ ‎12．设a是非零向量，λ是非零实数，则下列结论正确的是(　　) ‎ A．a与－λa的方向相反 B．|－λa|≥|a|‎ C．a与λ2a的方向相同 D．|－λa|≥|λ|a ‎【答案】C　‎ ‎【解析】A中，当λ＜0时，a与－λa方向相同，故A不正确；B中，当－1＜λ＜1时，|－λa|＜|a|，故B不正确；C中，因为λ2＞0，所以a与λ2a方向相同，故C正确；D中，向量不能比较大小，故D不正确，故选C． ‎ ‎13．如图411所示，已知＝3，＝a，＝b，＝c，则下列等式中成立的是(　　)‎ 图411‎ A．c＝b－a B．c＝2b－a C．c＝2a－b D．c＝a－b ‎【答案】A　‎ ‎14．如图412所示，矩形ABCD的对角线相交于点O，E为AO的中点，若＝λ＋μ(λ，μ为实数)，则λ2＋μ2＝(　　)‎ 图412‎ A．　　　　B． C．1　　　　D． ‎【答案】A　‎ ‎【解析】＝＋＝＋＝＋(＋)＝－，所以λ＝，μ＝－，故λ2＋μ2＝，故选A． ‎ ‎15．在△ABC中，＝，若P是直线BN上的一点，且满足＝m＋，则实数m的值为(　　) ‎ A．－4 B．－1‎ C．1 D．4‎ ‎【答案】B　‎ ‎【解析】根据题意设＝n(n∈R)，则＝＋＝＋n＝＋n(－)＝＋n＝(1－n)＋，又＝m＋，∴ 解得故选B. ‎ ‎16．设O在△ABC的内部，D为AB的中点，且＋＋2＝0，则△ABC的面积与△AOC的面积的比值为(　　)‎ A．3　　 B．4 ‎ C．5　　　　 D．6‎ ‎【答案】B ‎【解析】如图，∵D为AB的中点，则＝(＋)，又＋＋2＝0，‎ ‎∴＝－，∴O为CD的中点，‎ 又∵D为AB中点，∴S△AOC＝S△ADC＝S△ABC，则＝4. ‎ ‎17．如图414，在△ABC中，AB＝2，BC＝3，∠ABC＝60°，AH⊥BC于点H，M为AH的中点．若＝λ＋μ，则λ＋μ＝________.‎ 图414‎ ‎【答案】　‎ ‎18．在△ABC中，点M，N满足＝2，＝.若＝x＋y，则x＝________；y＝________. ‎ ‎【答案】　－　 ‎ ‎【解析】∵＝2，∴＝.‎ ‎∵＝，∴＝(＋)，‎ ‎∴＝－＝(＋)－ ‎＝－.‎ 又＝x＋y，∴x＝，y＝－. ‎ ‎19.已知点D，E，F分别为△ABC的边BC，CA，AB的中点，且=a，=b，给出下列命题:‎ ‎①=a-b; ②=a+b;‎ ‎③=-a+b; ④++=0.‎ 其中正确命题的序号为　　　　.‎ ‎【答案】②③④‎ ‎20.在▱ABCD中，=a，=b，3=，M为BC的中点，则=　　　　　.(用a，b表示) ‎ ‎【答案】-a-b ‎ ‎【解析】如图所示.‎ ‎=+‎ ‎　　=+‎ ‎　　=+(+)‎ ‎　　=+(+)‎ ‎　　=b-a-b=-a-b.‎ ‎21.在△ABC中，=c，=b，若点D满足=2，则=　　　　.‎ ‎【答案】b+c ‎22.在△ABC中，已知D是AB边上一点，=+λ，则实数λ=　　　　　.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】如图，D是AB边上一点，‎ 过点D作DE∥BC，交AC于点E，过点D作DF∥AC，交BC于点F，连接CD，则=+.‎ 因为=+λ，‎ 所以==λ.‎ 由△ADE∽△ABC，得==，‎ 所以==，故λ=.‎ ‎23.已知a，b不共线，=a，=b，=c，=d，=e，设t∈R，如果‎3a=c， 2b=d，e=t(a+b)，是否存在实数t使C，D，E三点在一条直线上?若存在，求出实数t的值，若不存在，请说明理由.‎ ‎【解析】由题设知，=d-c=2b-3a，=e-c=(t-3) a+tb，C，D，E 三点在一条直线上的充要条件是存在实数k，使得=k， ‎ ‎24.如图，在平行四边形ABCD中，O是对角线AC，BD的交点，N是线段OD的中点，AN的延长线与CD交于点E，若=m+，求实数m的值.‎ ‎25.已知△ABC中，=a，=b，对于平面ABC上任意一点O，动点P满足=+λa+λb，若动点P的轨迹与边BC的交点为M，试判断M点的位置.‎ ‎【解析】依题意，由=+λa+λb，‎ 得-=λ(a+b)，‎ 即=λ(+).‎ 如图，以AB，AC为邻边作平行四边形ABDC，对角线交于点M，‎ 则=λ，‎ 所以A，P，D三点共线，‎ 即P点的轨迹是AD所在的直线，由图可知P点轨迹与BC的交点为BC的中点，即点M为BC的中点.‎ ‎ 26．如图413，在△ABC中，D，E分别为BC，AC边上的中点，G为BE上一点，且GB＝2GE，设＝a，＝b，试用a，b表示，.‎ 图413‎ ‎【解析】　＝(＋)＝a＋b.‎ ＝＋＝＋＝＋(＋)‎ ‎＝＋(－)‎ ‎＝＋ ‎＝a＋b.‎ ‎27．设e1，e2是两个不共线的向量，已知＝2e1－8e2，＝e1＋3e2，＝2e1－e2.‎ ‎(1)求证：A，B，D三点共线；‎ ‎(2)若＝3e1－ke2，且B，D，F三点共线，求k的值．‎ ‎28．已知O，A，B是不共线的三点，且＝m＋n(m，n∈R). ‎ ‎ (1)若m＋n＝1，求证：A，P，B三点共线；‎ ‎(2)若A，P，B三点共线，求证：m＋n＝1.‎ ‎ ‎