安徽省合肥2020-2021高二数学上学期期中考试试卷（Word版附答案） 16页

2020-2021 高二上学期第一学期期中考试数学（文理共卷） 班级_________ 姓名__________学号___________ 一、选择题（本大题共 12 小题，共 60.0 分） 1. 正方形 的边长为 ，它是水平放置的一个平面图形的直观图 如图 ，则 原图形的周长是 A. B. C. D. 2. 已知直线 l： ，则该直线的倾斜角为 A. B. C. D. 3. 若在直线 上有一点 P，它到点 和 的距离之和最小，则该最小值为 A. B. C. D. 4. 已知：空间四边形 ABCD 如图所示，E、F 分别是 AB、AD 的中点，G、H 分别 是 BC，CD 上的点，且 ， ，则直线 FH 与直线 A. 平行 B. 相交 C. 异面 D. 垂直 5. 已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积和表面积分别为 A. ， B. ， C. ， D. ， 6. 已知直线 ： 和 ： 互相平行，则实数 m 的值为 A. B. 2 C. D. 2 或 4 7. 在下列条件中，可判断平面 与 平行的是 A. ，且 B. m，n 是两条异面直线，且 ， ， ， C. m，n 是 内的两条直线，且 ， D. 内存在不共线的三点到 的距 离相等 8. 已知圆锥的表面积为 ，且它的侧面展开图是一个半圆，则圆锥的底面半径为 A. B. C. D. 9. 点 P 是直线 上的动点，直线 PA，PB 分别与圆 相切于 A，B 两点，则四边形 为坐标原点 的面积的最小值等于 A. 8 B. 4 C. 24 D. 16 10. 已知各棱长均为 1 的四面体 ABCD 中，E 是 AD 的中点， 直线 CE，则 的 最小值为 A. B. C. D. 11. 已知正方体 的棱长为 a，点 E，F，G 分别为棱 AB， ， 的中点，下列结论中，正确结论的序号是 过 E，F，G 三点作正方体的截面，所得截面为正六边形； 平面 EFG； 平面 ； 二面角 平面角的正切值为 ； 四面体 的体积等于 ． A. B. C. D. 12. 已知边长为 2 的正 所在平面外有一点 P， ，当三棱锥 的体积最大时， 三棱锥 外接球的表面积为 A. B. C. D. 二、填空题（本大题共 4 小题，共 20.0 分） 13. 设直线 l 的斜率为 k，且 ，则直线的倾斜角 的取值范围是________． 14. 直线过点 ，它在 x 轴上的截距是在 y 轴上的截距的 2 倍，则此直线方程为______ ． 15. 已知圆 关于直线 对称， 则 的最小值是___________． 16. 如图，在棱长为 1 的正方体 中，点 E，F 分别是棱 BC， 的中 点，P 是侧面 内一点，若 平面 AEF，则线段 长度的取值范围是______． 三、解答题（本大题共 6 小题，共 70.0 分） 17. (10 分)已知一束光线经过直线 和 的交点 M，且射到 x 轴上一点 后被 x 轴反射． 求点 M 关于 x 轴的对称点 P 的坐标 求反射光线所在的直线 的方程． 18. (12 分)已知关于 的方程 C： ． 若方程 C 表示圆，求 m 的取值范围； 若圆 C 与圆 外切，求 m 的值； 若圆 C 与直线 相交于 两点，且 ，求 m 的值． 19. (12 分)如图，在斜三棱柱 中，点 O、E 分别是 、 的中点， 与 交于点 F， 平面 已知 ， ． 求证： 平面 ； 求 与平面 所成角的正弦值． 20. (12 分)如图 1，在 中， ，D，E 分别为 AC，AB 的中点，点 F 为线段 CD 上的一点，将 沿 DE 折起到 的位置，使 ， 如图 2． 求证： 平面 ； 求证： ； 线段 上是否存在点 Q，使 平面 DEQ？说明理由． 21. (10 分)如图所示，已知在三棱柱 中，四边形 是边长为 4 的正方形， 点 D 是线段 BC 的中点，平面 平面 ， ， ． 求证： 平面 ABC． 请问在线段 上是否存在点 E，使得 平面 若存在， 请说明点 E 的位置 若不存在，请说明理由． 求二面角 的大小． 22. 如图，四棱锥 的底面为直角梯形， ， ， ， ，平面 平面 ABCD，二面角 的大小为 ， ，M 为线段 SC 的中点，N 为线段 AB 上的动点． 求证：平面 平面 SCD； 是否存在点 N，使二面角 的大小为 ，若存在，求 的值，不存在说 出理由． 答案 一、选择题 BCCBD ABCAB BC 二、填空题 13 、 14 、 或 15 、 9 16 、 三、解答题（本大题共 6 小题，共 70.0 分） 17、（10 分）已知一束光线经过直线 和 的交点 M，且射 到 x 轴上一点 后被 x 轴反射． 求点 M 关于 x 轴的对称点 P 的坐标 求反射光线所在的直线 的方程． 【答案】解： 由 得 ． 点 M 关于 x 轴的对称点 P 的坐标为 ． 易知 经过点 P 与点 N， 的方程为 ，即 ． 18． （12 分）已知关于 的方程 C： ． 若方程 C 表示圆，求 m 的取值范围； 若圆 C 与圆 外切，求 m 的值； 若圆 C 与直线 相交于 两点，且 ，求 m 的值． 【答案】解： 方程可化为 若方程 C 表示圆只需 ， 所以 m 的范围是 由 知圆 C 的圆心为 ，半径为 ， 可化为 ， 故圆心为 ，半径为 4． 又两圆外切， 所以 ，解得 由 圆的圆心 半径为 ，过圆心 C 作直线 l 的垂线 CD，D 为垂足， 则 ， 又 ，知 则 ， 解得 19． （12 分）如图，在斜三棱柱 中，点 O、E 分别是 、 的中点， 与 交于点 F， 平面 已知 ， ． 求证： 平面 ； 求 与平面 所成角的正弦值． 【答案】证明： ，E 分别是 、 的中点， 与 交于点 F， ， ， 平面 平面 ， 平面 OEF， 平面 C. 解： 设点 到平面 的距离为 d， ， ， ， ， ， 中， ， ， ， ， 解得 ， 设 与平面 所成角为 ， 与平面 所成角的正弦值为： ． 20．（12 分）如图 1，在 中， ，D，E 分别为 AC，AB 的中点，点 F 为线段 CD 上的一点，将 沿 DE 折起到 的位置，使 ，如图 2． 求证： 平面 ； 求证： ； 线段 上是否存在点 Q，使 平面 DEQ？说明理由． 【答案】解： ，E 分别为 AC，AB 的中点， ，又 平面 ， 平面 ． 由已知得 且 ， ， ，又 ， 平面 ，而 平面 ， ，又 ， 平面 BCDE， ． 线段 上存在点 Q，使 平面 理由如下：如图，分别取 ， 的中点 P，Q， 则 ． ， ． 平面 DEQ 即为平面 DEP． 由 Ⅱ 知 平面 ， ， 又 是等腰三角形 底边 的中点， ， 平面 DEP，从而 平面 DEQ， 故线段 上存在点 Q，使 平面 DEQ． 21．（12 分）如图所示，已知在三棱柱 中，四边形 是边长为 4 的正方形， 点 D 是线段 BC 的中点，平面 平面 ， ， ． 求证： 平面 ABC． 请问在线段 上是否存在点 E，使得 平面 若存在，请 说明点 E 的位置 若不存在，请说明理由． 求二面角 的大小． 【答案】解： 证明：因为四边形 为正方形，所以 ． 因为平面 平面 ， 且平面 平面 ， 平面 ， 所以 平面 ABC． 当点 E 是线段 的中点时，有 平面 C. 理由如下：连接 交 于点 E，连接 DE． 因为点 E 是 的中点，点 D 是线段 BC 的中点， 所以 C. 又因为 平面 ， 平面 ， 所以 平面 C. 因为 平面 ABC，所以 ， 又因为 ， 所以 ，又 ，AC、 在平面 内， 所以 平面 ， 所以 平面 ， 所以 ， ， 所以 是二面角 的平面角． 则 ， 所以二面角 的平面角为 ． 22． （12 分）如图，四棱锥 的底面为直角梯形， ， ， ， ，平面 平面 ABCD，二面角 的大小为 ， ， M 为线段 SC 的中点，N 为线段 AB 上的动点． 求证：平面 平面 SCD； 是否存在点 N，使二面角 的大小为 ，若存在，求 的值，不存在说出理由． 【答案】 证明： 平面 平面 ABCD，且 ，平面 平面 ， 平面 SCD，又 平面 SBC， 平面 平面 SCD； 如图： 平面 平面 ABCD，则过点 S 作 面 ABCD，交 CD 的延长线于点 O，过 O 作 交 AD 于 E，连接 SE， ， 面 SOE，则 ， 所以 为二面角 的平面角的补角， 则 ， 又 ， 两式相乘得 ， 即 ， ， ， 假设存在点 N，使二面角 的大小为 过 N 作 交 CD 于点 P，过 P 作 交 DM 于点 Q，连接 NQ， 可得 面 NPQ，则 为二面角 的平面角，即 ， 设 ，因为 ，四边形 BCPN 为矩形，则 ， ，则 ， ， 解得 ， 此时 ． 存在点 N，使二面角 的大小为 此时 ．