【数学】2019届文科一轮复习人教A版3-5两角和与差的正弦、余弦和正切公式教案 9页

第五节　两角和与差的正弦、余弦和正切公式 ‎[考纲传真]　(教师用书独具)1.会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式.2.会用两角差的余弦公式推导出两角差的正弦、正切公式.3.会用两角差的余弦公式推导出两角和的正弦、余弦、正切公式和二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系.4.能运用上述公式进行简单的三角恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但不要求记忆)．‎ ‎ (对应学生用书第48页)‎ ‎ [基础知识填充]‎ ‎1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式 ‎ (1)sin(α±β)＝sin_αcos_β±cos_αsin_β；‎ ‎ (2)cos(α±β)＝cos_αcos_β∓sin_αsin_β；‎ ‎ (3)tan(α±β)＝.‎ ‎2．二倍角的正弦、余弦、正切公式 ‎ (1)sin 2α＝2sin αcos α；‎ ‎ (2)cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α；‎ ‎ (3)tan 2α＝.‎ ‎[知识拓展]‎ ‎1．有关公式的变形和逆用 ‎ (1)公式T(α±β)的变形：‎ ‎ ①tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)；‎ ‎ ②tan α－tan β＝tan(α－β)(1＋tan αtan β)．‎ ‎ (2)公式C2α的变形：‎ ‎ ①sin2α＝(1－cos 2α)；‎ ‎ ②cos2α＝(1＋cos 2α)．‎ ‎ (3)公式的逆用：‎ ‎ ①1±sin 2α＝(sin α±cos α)2；‎ ‎ ②sin α±cos α＝sin.‎ ‎2．辅助角公式 ‎ asin α＋bcos α＝sin(α＋φ).‎ ‎[基本能力自测]‎ ‎1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)‎ ‎ (1)存在实数α，β，使等式sin(α＋β)＝sin α＋sin β成立．(　　)‎ ‎ (2)在锐角△ABC中，sin Asin B和cos Acos B大小不确定．(　　)‎ ‎ (3)公式tan(α＋β)＝可以变形为tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)，且对任意角α，β都成立．(　　)‎ ‎ (4)公式asin x＋bcos x＝sin(x＋φ)中φ的取值与a，b的值无关．(　　)‎ ‎ [答案]　(1)√　(2)×　(3)×　(4)×‎ ‎2．(教材改编)sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°＝(　　)‎ ‎ A．－　　　 B．　　　‎ ‎ C．－　　　 D． ‎ D　[sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°＝sin 20°cos 10°＋cos 20°sin 10°＝sin(20°＋10°)＝sin 30°＝，故选D．]‎ ‎3．(2017·全国卷Ⅲ)已知sin α－cos α＝，则sin 2α＝(　　)‎ ‎ A．－ B．－ ‎ ‎ C． D． ‎ A　[∵sin α－cos α＝，‎ ‎ ∴(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝1－sin 2α＝，‎ ‎ ∴sin 2α＝－.‎ ‎ 故选A．]‎ ‎4．(2017·云南二次统一检测)函数 f(x)＝sin x＋cos x的最小值为________. ‎ ‎【导学号：79170103】‎ ‎ －2　[函数f(x)＝2sin的最小值是－2.]‎ ‎5．若锐角α，β满足(1＋tan α)(1＋tan β)＝4，则α＋β＝________.‎ ‎ 　[由(1＋tan α)(1＋tan β)＝4，‎ ‎ 可得＝，即tan(α＋β)＝.‎ ‎ 又α＋β∈(0，π)，∴α＋β＝.]‎ ‎(对应学生用书第49页)‎ 三角函数式的化简 ‎　(1)化简：＝________.‎ ‎ (2)化简：.‎ ‎ (1)2cos α　[原式＝＝2cos α.]‎ ‎ (2)原式＝ ‎ ＝＝＝cos 2x.‎ ‎ [规律方法]　　1.三角函数式的化简要遵循“三看”原则 ‎ 一看“角”，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式．‎ ‎ 二看“函数名称”，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式，最常见的是“切化弦”．‎ ‎ 三看“结构特征”，分析结构特征，找到变形的方向．‎ ‎ 2．三角函数式化简的方法 ‎ 弦切互化，异名化同名，异角化同角，降幂或升幂．‎ ‎[变式训练1]　化简sin2＋sin2－sin2α＝________. ‎ ‎【导学号：79170104】‎ ‎ 　[法一：原式＝＋－sin2α ‎ ＝1－－sin2α＝1－cos 2α·cos －sin2α＝1－－＝.‎ ‎ 法二：令α＝0，则原式＝＋＝.]‎ 三角函数式的求值 角度1　给角求值 ‎　(1)＝(　　)‎ ‎ A．　　 　 B．　　 　‎ ‎ C．　　 　 D． ‎ (2)sin 50°(1＋tan 10°)＝________.‎ ‎ (1)C　(2)1　[(1)原式＝＝‎ ‎ ‎ ＝＝.‎ ‎ (2)sin 50°(1＋tan 10°)‎ ‎ ＝sin 50° ‎ ＝sin 50°× ‎ ＝sin 50°× ‎ ＝＝＝＝1.]‎ 角度2　给值求值 ‎　(1)(2016·全国卷Ⅱ)若cos＝，则sin 2α＝(　　)‎ ‎ A． B． ‎ ‎ C．－ D．－ ‎ (2)(2018·安徽十校联考)已知α为锐角，且7sin α＝2cos 2α，则sin＝(　　)‎ ‎ A． B． ‎ C． D． ‎ (1)D　(2)A　[(1)∵cos＝，‎ ‎ ∴sin 2α＝cos＝cos 2＝2cos2－1＝2×－1＝－.‎ ‎ (2)由7sin α＝2cos 2α得7sin α＝2(1－2sin2α)，‎ ‎ 即4sin2α＋7sin α－2＝0，∴sin α＝－2(舍去)或sin α＝.‎ ‎ ∵α为锐角，∴cos α＝，‎ ‎ ∴sin＝×＋×＝，故选A．]‎ 角度3　给值求角 ‎　(2018·长春模拟)已知sin α＝，sin(α－β)＝－，α，β均为锐角，则角β等于(　　) 【导学号：79170105】‎ ‎ A． B． ‎ ‎ C． D． ‎ C　[∵α，β均为锐角，∴－＜α－β＜.‎ ‎ 又sin(α－β)＝－，∴cos(α－β)＝.‎ ‎ 又sin α＝，∴cos α＝，‎ ‎ ∴sin β＝sin[α－(α－β)]‎ ‎ ＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β)‎ ‎ ＝×－×＝.‎ ‎ ∴β＝.]‎ ‎ [规律方法]　　1.“给角求值”中一般所给出的角都是非特殊角，应仔细观察非特殊角与特殊角之间的关系，结合公式将非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数求解．‎ ‎ 2．“给值求值”：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系．‎ ‎ 3．“给值求角”：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，最后确定角．‎ 三角变换的简单应用 ‎　(1)(2017·全国卷Ⅲ)函数f(x)＝sin＋cos的最大值为(　　)‎ ‎ A． B．1‎ ‎ C． D． ‎ (2)已知函数f(x)＝sin2x－sin2，x∈R.‎ ‎ ①求f(x)的最小正周期；‎ ‎ ②求f(x)在区间上的最大值和最小值．‎ ‎ (1)A　[法一：∵f(x)＝sin＋cos ‎ ＝＋cos x＋sin x ‎ ＝sin x＋cos x＋cos x＋sin x ‎ ＝sin x＋cos x＝sin，‎ ‎ ∴当x＝＋2kπ(k∈Z)时，f(x)取得最大值.‎ ‎ 故选A．‎ ‎ 法二：∵＋＝，‎ ‎ ∴f(x)＝sin＋cos ‎ ＝sin＋cos ‎ ＝sin＋sin＝sin≤.‎ ‎ ∴f(x)max＝.‎ ‎ 故选A．]‎ ‎ (2)①由已知，有 ‎ f(x)＝－ ‎ ＝－cos 2x ‎ ＝sin 2x－cos 2x＝sin.‎ ‎ 所以f(x)的最小正周期T＝＝π.‎ ‎ ②因为f(x)在区间上是减函数，‎ ‎ 在区间上是增函数，‎ ‎ 且f＝－，f＝－，f＝，‎ ‎ 所以f(x)在区间上的最大值为，最小值为－.‎ ‎ [规律方法]　　1.进行三角恒等变换要抓住：变角、变函数名称、变结构，尤其是角之间的关系；注意公式的逆用和变形使用．‎ ‎ 2．把形如y＝asin x＋bcos x的函数化为y＝sin(x＋φ)的形式，可进一步研究函数的周期、单调性、最值与对称性．‎ ‎[变式训练2]　(2017·北京高考)已知函数f(x)＝cos－2sin xcos x.‎ ‎ (1)求f(x)的最小正周期；‎ ‎ (2)求证：当x∈时，f(x)≥－.‎ ‎ [解]　(1)f(x)＝cos 2x＋sin 2x－sin 2x ‎ ＝sin 2x＋cos 2x＝sin，‎ ‎ 所以f(x)的最小正周期T＝＝π.‎ ‎ (2)证明：因为－≤x≤，所以－≤2x＋≤，‎ ‎ 所以sin≥sin＝－，‎ ‎ 所以当x∈时，f(x)≥－.‎