数学理卷·2018届河南省中原名校高三上学期第五次联考（2017 11页

中原名校2017—2018学年第五次质量考评 高三数学（理）试题 第Ⅰ卷 选择题（共60分）‎ 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.已知集合，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎2. 已知，若是纯虚数，则在复平面内，复数所对应的点位于（ ）‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎3. 已知等比数列的前项和为，且，则数列的公比为 （ ）‎ A．3 B． C． D． 2‎ ‎4. 已知抛物线的焦点为，准线为，且过点，在抛物线上，若点，则的最小值为（ ）‎ A． 2 B． 3 C. 4 D．5‎ ‎5. 运行该程序框图，若输出的的值为16，则判断框中不可能填（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎6. 已知网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ）‎ A． B． ‎ C. D．‎ ‎7. 已知实数满足，则的最大值为（ ）‎ A． 2 B． 8 C. 11 D．15‎ ‎8. 已知函数，若在区间上存在，使得，则的取值不可能为（ ）‎ A． 1 B． 2 C. 3 D．4‎ ‎9. 已知三棱锥中，是边长为的正三角形，则三棱锥的外接球半径为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎10. 老师在四个不同的盒子里面放了4张不同的扑克牌，分别是红桃，梅花，方片以及黑桃，让明、小红、小张、小李四个人进行猜测：‎ 小明说：第1个盒子里面放的是梅花，第3个盒子里面放的是方片；‎ 小红说：第2个盒子里面饭的是梅花，第3个盒子里放的是黑桃；‎ 小张说：第4个盒子里面放的是黑桃，第2个盒子里面放的是方片；‎ 小李说：第4个盒子里面放的是红桃，第3个盒子里面放的是方片；‎ 老师说：“小明、小红、小张、小李，你们都只说对了一半．”则可以推测，第4个盒子里装的是（ ）‎ A．红桃或黑桃 B．红桃或梅花 ‎ C.黑桃或方片 D．黑桃或梅花 ‎11. 已知函数，过点，，则且当，且的最大值为，则的值为（ ）‎ A． B． C. 和 D．和 ‎12. 已知函数，当时，恒成立，则实数的取值范围为（ ）‎ A． B． C. D．‎ 第Ⅱ卷 非选择题（共90分）‎ 二、填空题（本题共4小题，每小题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13.已知向量，则在方向上的投影为 ．‎ ‎14. ，则 ．‎ ‎15.已知双曲线的左、右焦点分别为，点，以为直径的圆与直线的交点为，且点在线段上，若，则双曲线的离心率为 ．‎ ‎16.已知等差数列的前项和为，且，数列的前项和为，且对于任意的，则实数的取值范围为 ．‎ 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） ‎ ‎17. 如图所示，中，‎ ‎．‎ ‎（1）求证：是等腰三角形；‎ ‎（2）求的值以及的面积．‎ ‎18.2017年10月18日上午9：00，中国共产党第十九次全国代表大会在人民大会堂开幕．习近平代表第十八届中央委员会向大会作了题为《决胜全面建成小康社会夺取新时代中国特色社会主义伟大胜利》的报告．全国各地、国外网友观众通过手机、互联网、电视等方式，都在关注十九大盛况．某调查网站从观看十九大的观众中随机选出200人，经统计这200人中通过传统的传媒方式电视端口观看的人数与通过新型的传煤端口观看的人数之比为4：1．将这200人中通过传统的传煤方式电视端口观看的观众按年龄分组：第1组，第2 组，第3组，第4组，第5组，得到的频率分布直方图如图所示．‎ ‎（1）求的值及通过传统的传媒方式电视端口观看的观众的平均年龄；‎ ‎（2）把年龄在第1，2，3组的观众称青少年组，年龄在第4，5组的观众称为中老年组，若选出的200人中通过新型的传媒端口观看的中老年人有12人，问是否有90%的把握认为是否通过新型的传媒端口观看十九大与年龄有关？‎ 附：‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ ‎0.001‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ ‎10.828‎ ‎19.如图，在四棱锥中，二面角的大小为90°，，，，．‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）试确定的值，使得直线与平面所成的角的正弦值为．‎ ‎20.已知椭圆的左右焦点分别为， 若椭圆上一点满足，且椭圆过点，过点的直线与椭圆交于两点．‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）若点是点在轴上的垂足，延长交椭圆于，求证：三点共线．‎ ‎21.已知．‎ ‎（1）若关于的方程在上恒成立，求的值；‎ ‎（2）证明：当时，．‎ 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.‎ ‎22.选修4-4：坐标系与参数方程 已知平面直角坐标系中，曲线，直线，直线，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴，建立极坐标系．‎ ‎（1）写出曲线的参数方程以及直线的极坐标方程；‎ ‎（2）若直线与曲线分别交于两点，直线与曲线分别交于两点，求的面积．‎ ‎23.选修4-5：不等式选讲 已知函数．‎ ‎（1）解不等式：；‎ ‎（2）若函数的解集包含，求实数的取值范围．‎ 试卷答案 一、选择题 ‎1-5: ABDBD 6-10: BCDAA 11、12：BC 二、填空题 ‎13. 14. 15. 16. ‎ 三、解答题 ‎17.【解析】（1）在中，由正弦定理得，‎ 则，∴，‎ ‎∴是等腰三角形；‎ 方法二：在中，由余弦定理可得，，‎ 解得，解得， ∴是等腰三角形；‎ ‎（2）由（1）知：，故，‎ 在中，由余弦定理：，‎ 即，‎ 整理得，解得（舍去），， ∴，故；‎ ‎∴．‎ ‎18.【解析】（1）由频率分布直方图可得：得，‎ 所以通过传统的传媒方式电视端口观看的观众的平均年龄为：‎ ‎，‎ 由题意得列联表 通过新型的传媒端口观看十九大 通过传统的传媒方式电视端口观看十九大 合计 青少年（人）‎ ‎28‎ ‎96‎ ‎124‎ 中老年（人）‎ ‎12‎ ‎64‎ ‎76‎ 合计（人）‎ ‎40‎ ‎160‎ ‎200‎ ‎，‎ 所以没有90%的把握认为是否通过新型的传媒端口观看十九大与年龄有关．‎ ‎19.【解析】（1）证明 ：因为，且，故四边形为平行四边形；‎ 连接，因为，‎ 由余弦定理得，‎ 得，所以，即，又，‎ 所以，又，所以，所以 平面，所以；‎ ‎（2）‎ 因为二面角的大小为90°，，所以底面，所以直线两两互相垂直，以为原点，直线坐标轴，建立如图所示空间直角坐标系，则，所以，则，‎ 所以，设平面的法向量为，由，‎ 得，令，得．‎ 依题意，，化简可得，‎ 即，解得．‎ ‎20.【解析】（1）依题意，，故，将代入中，‎ 解得，故椭圆；‎ ‎（2）由题知直线的斜率必存在，设的方程为，‎ 点，联立得，‎ 即，‎ 由题可得直线方程为，‎ 又∵，‎ ‎∴直线方程为，‎ 令，整理得 ‎，即直线过点，‎ 又∵椭圆的右焦点坐标为， ∴三点在同一条直线上．‎ ‎21.【解析】令，‎ 若，与已知矛盾，‎ 若，则，显然不满足在上恒成立，‎ 若，对求导可得，‎ 由解得，由解得，‎ ‎∴在上单调递减，在上单调递增，‎ ‎∴， ∴要使恒成立，则须使成立，‎ 即恒成立，两边取对数得，，整理得，即须此式成立，‎ 令，则，显然当时，，当时，，于是函数的上单调递减，在单调递增，‎ ‎∴，即当且仅当时，恒成立，‎ ‎∴满足条件，综上所述，．‎ ‎（2）由（1）知时，，即恒成立，‎ 令，即，‎ 即，同理，，‎ ‎，‎ ‎，‎ 将上式左右相加得：，‎ 即，即．‎ ‎22.【解析】①依题意，曲线，故曲线的参数方程是(为参数)，‎ 因为直线，直线，故的极坐标方程为 ‎；‎ ‎（2）易知曲线的极坐标方程为，‎ 把代入，得，∴，‎ 把代入，得， ∴，‎ ‎∴．‎ ‎23.【解析】（1）依题意，；‎ 当，原式化为，解得，故；‎ 当时，原式化为，解得，故；‎ 当时，原式化为，无解；‎ 综上所述，不等式的解集为；　‎ ‎（2）依题意，在上恒成立；‎ 则在上恒成立；即，故；‎ 故实数的取值范围为． ‎