【数学】2019届一轮复习人教A版（理科）第13讲变化率与导数、导数的运算学案 8页

第13讲　变化率与导数、导数的运算 考试说明 1.了解导数概念的实际背景.‎ ‎2.通过函数图像直观理解导数的几何意义.‎ ‎3.能根据导数定义求函数y=C(C为常数),y=x,y=,y=x2,y=x3,y=的导数.‎ ‎4.能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数,并了解复合函数求导法则,能求简单的复合函数(仅限于形如f(ax+b)的复合函数)的导数. ‎ 考情分析 考点 考查方向 考例 考查热度 导数的定义 利用定义求导数 ‎☆☆☆‎ 导数的运算 计算导数、求某点导数值等 所有导数试题 ‎★★☆‎ 导数的几何意义 求切线斜率、方程、根据切线求参数值、导数几何意义的应用等 几乎所有导数试题(见下面例子)‎ ‎★★★‎ 真题再现 ‎■ [2017-2013 课标全国真题再现 ‎1.[2014·全国卷Ⅱ 设曲线y=ax-ln (x+1)在点(0,0)处的切线方程为y=2x,则a= (　　)‎ A.0 B.1‎ C.2 D.3‎ ‎[解析 D　y'=a-,根据已知得,当x=0时,y'=2,代入解得a=3.‎ ‎2.[2017·全国卷Ⅰ 曲线y=x2+在点(1,2)处的切线方程为　　　　　　　　. ‎ ‎[答案 y=x+1‎ ‎[解析 对y=x2+求导得y'=2x-,当x=1时,y'=2×1-1=1,所以曲线y=x2+在点(1,2)处的切线方程为y-2=x-1,即y=x+1.‎ ‎3.[2016·全国卷Ⅱ 若直线y= x+b是曲线y=ln x+2的切线,也是曲线y=ln (x+1)的切线,则b=　　　　. ‎ ‎[答案 1-ln 2‎ ‎[解析 曲线y=ln x+2的切线为y=·x+ln x1+1(其中x1为切点横坐标),曲线y=ln (x+1)的切线为y=·x+ln (x2+1)-(其中x2为切点横坐标).‎ 由题可知 解得∴b=ln x1+1=1-ln 2.‎ ‎4.[2016·全国卷Ⅲ 已知f(x)为偶函数,当x<0时,f(x) =ln (-x)+3x,则曲线y=f(x)在点(1,-3)处的切线方程是　　　　. ‎ ‎[答案 y=-2x-1‎ ‎[解析 设x>0,则-x<0.∵x<0时,f(x)=ln (-x)+3x,∴f(-x)=ln x-3x,又∵f(-x)=f(x),∴当x>0时,f(x)=ln x-3x,∴f'(x)= -3,即f'(1)=-2,∴曲线y=f(x)在点(1,-3)处的切线方程为y+3=-2(x-1),整理得y=-2x-1.‎ ‎5.[2015·全国卷Ⅰ改编 已知函数f(x)=x3+ax+,当a为何值时,x轴为曲线y=f(x)的切线.‎ 解:设曲线y=f(x)与x轴相切于点(x0,0),则f(x0)=0,f'(x0)=0,即解得x0=,a=-.‎ 因此,当a=-时,x轴为曲线y=f(x)的切线.‎ ‎6.[2015·全国卷Ⅰ改编 在直角坐标系xOy中,曲线C:y=与直线l:y= x+a(a>0)交于M,N两点.当 =0时,分别求C在点M和N处的切线方程.‎ 解:由题设可得M(2,a),N(-2,a)或M(-2,a),N(2,a).又y'=,故y=在x=2处的导数值为,所以曲线C在点(2,a)处的切线方程为y-a=(x-2),即x-y-a=0.y=在x=-2处的导数值为-,所以曲线C在点(-2,a)处的切线方程为y-a=-(x+2),即x+y+a=0.‎ 故所求切线方程为x-y-a=0和x+y+a=0.‎ ‎7.[2014·全国卷Ⅰ改编 设函数f(x)=aexln x+,曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y=e(x-1)+2,求a,b.‎ 解:函数f(x)的定义域为(0,+∞),‎ f'(x)=aexln x+ex-ex-1+ex-1.‎ 由题意可得f(1)=2,f'(1)=e,故a=1,b=2.‎ ‎8.[2013·全国卷Ⅰ改编 设函数f(x)=x2+ax+b,g(x)=ex(cx+d).若曲线y=f(x)和曲线y=g(x)都过点P(0,2),且在点P处有相同的切线y=4x+2,求a,b,c,d的值.‎ 解:由已知得f(0)=2,g(0)=2,f'(0)=4,g'(0)=4.而f'(x)=2x+a,g'(x)=ex(cx+d+c),故b=2,d=2,a=4,d+c=4.从而a=4,b=2,c=2,d=2.‎ ‎■ [2017-2016 其他省份类似高考真题 ‎1.[2016·山东卷 若函数y=f(x)的图像上存在两点,使得函数的图像在这两点处的切线互相垂直,则称y=f(x)具有T性质.下列函数中具有T性质的是 (　　)‎ A.y=sin x B.y=ln x C.y=ex D.y=x3‎ ‎[解析 A　由函数图像上两点处的切线互相垂直,可知函数在这两点处的导数之积为-1,经检验,选项A符合题意.‎ ‎2.[2016·四川卷 设直线l1,l2分别是函数f(x)=图像上点P1,P2处的切线,l1与l2垂直相交于点P,且l1,l2分别与y轴相交于点A,B,则△PAB的面积的取值范围是 (　　)‎ A.(0,1) B.(0,2)‎ C.(0,+∞) D.(1,+∞)‎ ‎[解析 A　不妨设P1(x1,y1),P2(x2,y2),其中0