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- 2021-06-30 发布
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1
江苏省南京市 2020—2021学年第一学期 11月六校联合调研试题
高三数学
2020.11
一、单项选择题(本大题共 8小题,每小题 5分,共计 40分.在每小题给出的四个选项中,只有一
个是符合题目要求的,请把答案添涂在答题卡相应位置上)
1.已知 i是虚数单位,则复数
4i
1 i
在复平面内对应的点在
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
2.已知集合 A=
1
1
x y
x
,B=
1 1x
x
,则 A B=
A. 1x x B. 1 0 1x x x 或
C. 0 1x x D. 1 1x x
3.已知命题 p: xR,ax2+ax+1>0,命题 q:函数 y=﹣(a+1)x是减函数,则命题 p成立是 q
成立的
A.充分不必要条件 B.充要条件
C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件
4.已知非零向量 a
,b
,若 3a b
, a
⊥( a
﹣2b
),则 a
与b
的夹角是
A.
6
B.
3
C.
2
3
D.
5
6
5.2020年是“干支纪年法”中的庚子年.“干支纪年法”是中国历法上自古以来使用的纪年方法,
甲、乙、 丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸被称为“十天干”,子、丑、寅、卯、辰、巳、午、
未、申、酉、 戌、亥叫做“十天干”.“天干”以“甲”字开始,“地支”以“子”字开始,
两者按干支顺序相配,组成了干支纪年法,其相配顺序为:甲子、乙丑、丙寅、…癸酉,甲戌、
乙亥、丙子、…癸未,甲申、乙酉、丙戌、…癸巳,….共得到 60个组合,周而复始,循环记
录.今年国庆节是小明 10岁生日,那么他 80岁生日时的年份是“干支纪年法”中的
A.己亥年 B.戊戌年 C.庚戌年 D.辛丑年
6.已知直三棱柱 ABC—A1B1C1的顶点都在球 O上,且 AB=4,AA1=6,∠ACB=30º,则此直三
棱柱的外接球 O的表面积是
A.25 B.50 C.100 D.
500
3
7.已知 a>0,b>0,直线 l1:x+(a﹣4)y+1=0,l2:2bx+y﹣2=0,且 l1⊥l2,则
1
1a
+
1
2b
的最
小值为
2
A.2 B.4 C.
2
3
D.
4
5
8.已知 a>0,函数
2( ) ( 1) sin cos 2f x a x x x x a ,xR,记函数 ( )f x 的值域为M,
函数 ( ( ))f f x 的值域为 N,若MN,则 a的最大值是
A.1 B.2 C.3 D.4
二、多项选择题(本大题共 4小题,每小题 5分, 共计 20分.在每小题给出的四个选项中,至少
有两个是符合题目要求的,请把答案添涂在答题卡相应位置上)
9.若
1 1( ) ( )
2 2
a b ,则下列关系式中一定成立的是
A. 3 3a b
B. e ea b (e≈2.718)
C.(sin +cos )a<(sin +cos )b( 是第一象限角)
D.ln(a2+1)<ln(b2+1)
10.已知双曲线 C1:
2 2
2 2 1x y
a b
(a>0,b>0)的实轴长是 2,右焦点与抛物线 C2:y2=8x的焦点 F
重合,双曲线 C1与抛物线 C2交于 A、B两点,则下列结论正确的是
A.双曲线 C1的离心率为 2 3 B.抛物线 C2的准线方程是 x=﹣2
C.双曲线 C1的渐近线方程为 y=± 3 x D. AF BF =
20
3
11.若数列 na 的前 n项和是 nS ,且 2 2n nS a ,数列 nb 满足 2logn nb a ,则下列选项正确
的为
A.数列 na 是等差数列 B. 2nna
C.数列 2na 的前 n项和为
2 12 2
3
n
D.数列
1
1
n nb b
的前 n项和为 nT ,则 nT <1
12.函数 ( ) Acos( )f x x (A>0, >0,
2
<<0)的部分图象如图所示,已知函数 ( )f x
在区间[0,m]有且仅有 3个极大值点,则下列说法正确的是
A.函数 ( )f x 的最小正周期为 2
B.点(
9
4
,0)为函数 ( )f x 的一个对称中心
3
C.函数 ( )f x 的图象向左平移
3
2
个单位后得到 Ay
sin( )x 的图象
D.函数 ( )f x 在区间[
3
25
m
,0]上是增函数
三、填空题(本大题共 4小题, 每小题 5分,共计 20分.请把答案填写在答题卡相应位置上)
13.已知函数 ( )f x 满足 ( ) ( 1)f x f x ,当 x (0,1)时,函数 ( ) 3xf x ,则 1
3
(log 19)f
= .
14.某校进行体育抽测,小明与小华都要在 50m跑、跳高、跳远、铅球、标枪、三级跳远这 6项运
动中选出 3项进行测试,假设他们对这 6项运动没有偏好,则他们选择的结果至少有 2项相同
的概率为 .
15.已知边长是 4的菱形 ABCD,∠A=60º,点 P是菱形 ABCD内部一点,若PA 3PB 2PC
=
0
,则△PBC与菱形 ABCD的面积的比值是 .
16.已知对任意的 x>0,不等式 e ln 1xx x ax 恒成立,则实数 a的取值范围为 .
四、解答题(本大题共 6小题,共计 70分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、
证明过程或演算步骤)
17.(本小题满分 10分)在△ABC中,a,b,c分别是角 A,B,C的对边,并且 bcosAcosC=asinBsinC
+
1
2
b.请在①b= 19,②c=2,③2sinA=3sinC这三个条件中任选两个,将下面问题补充完整,
并作答 .注意:只需选择其中的一种情况作答即可,如果选择多种情况作答,以第一种情况的
解答计分.问题:已知 ,计算△ABC的面积.
18.(本小题满分 12 分)已知等差数列 na 的前 n 项和为 nS , 3a =7, 6S =48,数列 nb 满足
12 2n nb b , 1 3b .(1)证明:数列 2nb 是等比数列,并求数列 na 与数列 nb 通项公式;
(2)若 ( 2)n n nc a b ,求数列 nc 的前 n项和 nT .
4
19.(本小题满分 12 分)如图,在四棱锥 P—ABCD 中,已知 PC⊥底面 ABCD,AB⊥AD,AB∥
CD,AB=2,AD=CD=1,BC=PC,E是 PB 的中点.
(1)求证:PB⊥平面 EAC;(2)求二面角 P—AC—E的大小.
20.(本小题满分 12分)某单位招考工作人员,须参加初试和复试,初试通过后组织考生参加复试,
共 5000人参加复试,复试共三道题,第一题考生答对得 3分,答错得 0分,后两题考生每答对一道
题得 5分,答错得 0分,答完三道题后的得分之和为考生的复试成绩.
(1)通过分析可以认为考生初试成绩 X服从正态分布 N(,
2 ),其中=64, 2 =169,试估
计初试成绩不低于 90分的人数;
(2)已知某考生已通过初试,他在复试中第一题答对的概率为
3
4
,后两题答对的概率均为
2
3
,且
每道题回答正确与否互不影响,记该考生的复试试成绩为 Y,求 Y的分布列及数学期望.
附:若随机变量 X服从正态分布 N(,
2 ),则 P(﹣ <X< + )=0.6826,P(﹣2 <X<
+2 )=0.9544,P(﹣3 <X<+3 )=0.9974.
21.(本小题满分 12 分)已知椭圆 C:
2 2
2 2 1x y
a b
(a>b>0)离心率为
2
2
,点(1,
6
2
)在椭圆 C
上,P点坐标(0,
1
3
),直线 l:y=﹣x+m交椭圆 C于 A、B两点,且 PA PB .
(1)求椭圆 C的方程;(2)求△PAB的面积.
5
22.(本小题满分 12分)已知函数 ( ) lnf x ax x x , 2( )
1
bxg x
x
,a、bR.
(1)讨论 ( )f x 的单调性;(2)已知函数 ( )f x 的极大值为 1.①若 b=2,设 1<n<m,证明: ( )f m
< ( )g n ;②设 ( ) ( ) ( )t x f x g x ,判断函数 ( )t x 零点个数,并说明理由.
6
7
8
9
10
11
12