数学理卷·2018届甘肃省兰州一中高三上学期期中考试（2017 12页

兰州一中2017-2018-1学期高三年级期中考试试题 数 学（理）‎ 说明：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。满分150分，考试时间150分钟。答案写在答题卡上，交卷时只交答题卡。‎ 第Ⅰ卷 一．选择题（本卷共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）‎ ‎1．已知集合A={θ|sinθ > cosθ}，B={θ|sinθ · cosθ < 0}，若θ∈A∩B，则θ所在的象限是（ ）‎ ‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎2．已知A(m，n)是直线l：f(x,y)=0上的一点，B(s，t)是直线l外一点，由方程f(x,y)+ f(m,n)+ f(s,t)=0表示的直线与直线l的位置关系是（ ）‎ A．斜交 B．垂直 C．平行 D．重合【来源：全,品…中&高*考+网】‎ ‎3．在(x2-1)(x+1)4的展开式中，x3的系数是（ ）‎ ‎ A．0 B．‎10 ‎ C．－10 D．20‎ ‎4．正四棱锥的底面边长为a，侧棱长为l，则的取值范围为（ ）‎ A．（,+∞� B．（,+∞） C．（1,+∞） D．（2,+∞）‎ ‎5．设函数f(x)=logax（a＞0且a≠1）的定义域为（，+∞），则在整个定义域上，f(x)＜2恒成立的充要条件充是（ ）‎ A．0＜a＜ B．0＜a ≤ C．a＞且a≠1 D．a≥且a≠1‎ ‎6．设，则a=，b=1+x，c=中最大的一个是（ ）‎ ‎ A．a B．b C．c D．不确定 ‎7．的值为（ ）‎ ‎ A．2 B． C． D．1‎ ‎8．设f(n)=cos(+)，则f(1)+ f(2)+ f(3)+…+ f(2006)=（ ）‎ ‎ A．- B．- C．0 D．‎ ‎9．已知O为坐标原点，抛物线y2=2x与过焦点的直线交于A、B两点，则的 值是（ ）‎ ‎ A． B．- C．3 D．-3‎ ‎10．设P是椭圆上任一点，F1，F2是椭圆的两个焦点，若∠F1PF2≤，则这个椭圆的离心率e的取值范围是（ ）‎ A．0＜e＜1； B. 0＜e≤； C.≤e＜1； D. e=‎ ‎11．函数y=e|lnx|﹣|x﹣1|的图象大致是（　　）‎ D．‎ C．‎ B．‎ A．‎ ‎ ‎ ‎12．对于任意实数x，定义[x]为不大于x的最大整数（例如：[3.6]=3，[-3.6]=-4等），设函数f(x)= x - [x]，给出下列四个结论：①f(x)≥0；②f(x)<1；③f(x)是周期函数；④f(x)是偶函数.其中正确结论的个数是（ ）‎ ‎ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 第Ⅱ卷 二、填空题（每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上.）‎ ‎13．把复数的共轭复数记作，为虚数单位，若，则= .‎ ‎14．设m=(a,b)，n=(c,d)，规定两向量m，n之间的一个运算“”为mn=(ac-bd，ad+bc)，若p=(1,2)，pq=(-4,-3)，则q= . ‎ ‎15．设平面上的动点P（1，y）的纵坐标y 等可能地取用ξ表示点P到坐标原点的距离，则随机变量ξ的数学期望Eξ= . ‎ ‎16．设x、y满足约束条件则目标函数z=6x+3y的最大值是 .‎ 三.解答题：本大题共6小题，共74分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。‎ ‎17．（本小题满分10分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，设向量m=(cosA，sinA)，n=(1，0)，且向量m+n为单位向量，求： ‎ ‎ （Ⅰ）角A；‎ ‎ （Ⅱ）.‎ ‎18．（本小题满分12分）如图，在四棱锥P—ABCD中，PB⊥底面ABCD，CD⊥PD，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，AB⊥BC，AB=AD=PB=3，点E在棱PA上，且PE=2EA．‎ ‎ （Ⅰ）证明PC∥平面EBD；‎ ‎ （Ⅱ）求二面角A—BE—D的余弦值．‎ ‎19. （本小题满分12分）在同款的四个智能机器人A，B，C，D之间进行传球训练，收集数据，以改进机器人的运动协调合作能力.球首先由A传出，每个“人”得球后都等可能地传给其余三个“人”中的一“人”，记经过第 次传递后球回到A 手中的概率为Pn.‎ ‎ （Ⅰ）求P1、P2 、P3的值；‎ ‎ （Ⅱ）求Pn关于n的表达式.‎ ‎20. （本小题满分12分）已知椭圆C：，斜率为的动直线l与椭圆C交于不同的两点A，B．‎ ‎（Ⅰ）设M为弦AB的中点，求动点M的轨迹方程；‎ ‎（Ⅱ）设F1，F2为椭圆C在左、右焦点，P是椭圆在第一象限内一点，满足，求△PAB面积的最大值． ‎ ‎21. （本小题满分12分）已知函数，.‎ ‎（Ⅰ）求；‎ ‎（Ⅱ）设函数，试确定的单调区间及最大最小值；‎ ‎（Ⅲ）求证：对于任意的正整数n，均有成立.‎ 请考生在第22、23题中任选一题做答，如果多做，按所做的第一题计分，做答时请写清题号.‎ ‎22. （本小题满分10）（选修4-4：坐标系与参数方程）‎ 已知曲线C的极坐标方程是ρ＝2，以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l的参数方程为 (t为参数).‎ ‎（Ⅰ）写出直线l的普通方程与曲线C的直角坐标方程；‎ ‎（Ⅱ）设曲线C经过伸缩变换得到曲线，设 M(x,y)为上任意一点，‎ 求的最小值，并求相应的点M的坐标. ‎ ‎23. （本小题满分10）（选修4-5：不等式选讲）‎ ‎ 设函数．‎ ‎（Ⅰ）当a=2时，解不等式f（x）≥7﹣|x﹣1|；‎ ‎（Ⅱ）若f（x）≤2的解集为[﹣1，3]，，求证：．‎ 兰州一中2017-2018-1学期高三年级期中考试 数学（理）参考答案及评分标准 一．选择题（本卷共12小题，每小题5分，共60分。）‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 B C A B B C D A B B【来源：全,品…中&高*考+网】‎ D C 二、填空题：每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上.‎ ‎13． ；‎ ‎14． (-2,1)；‎ ‎15． ；‎ ‎16． 5.‎ 三.解答题：本大题共6小题，共74分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。‎ ‎17．（本小题满分10分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，设向量m=(cosA，sinA)，n=(1，0)，且向量m+n为单位向量，求： ‎ ‎ （Ⅰ）角A；‎ ‎ （Ⅱ）.‎ 解：（Ⅰ）∵ m+n=(cosA+1，sinA) 为单位向量，‎ ‎ ∴ (cosA+1)2+sin‎2A=1 ，即2 cosA+1=0，‎ 得cosA=-，∴ A= . ……………………………… 4分 ‎（Ⅱ）∵ A=，∴ B+C= ，即B=-C，结合正弦定理得：‎ ‎==‎ ‎ ==‎ ‎ ==2. ……………………………… 10分 ‎18．（本小题满分12分）如图，在四棱锥P—ABCD中，PB⊥底面ABCD，CD⊥PD，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，AB⊥BC，AB=AD=PB=3，点E在棱PA上，且PE=2EA．‎ ‎ （Ⅰ）证明PC∥平面EBD；‎ ‎ （Ⅱ）求二面角A—BE—D的余弦值．‎ ‎（Ⅰ）证明：连接AC交BD于G，连接EG，‎ ‎ ∵ ，又 ，‎ ‎ ∴ ，∴ PC∥EG，‎ ‎ 又EG平面EBD，PC平面EBD，‎ ‎∴ PC∥平面EBD.‎ ‎…………………………………………… 6分 ‎（Ⅱ）解法一：‎ ‎ ∵ PB⊥平面ABCD， ∴ AD⊥PB.‎ ‎ 又∵ AD⊥AB，∴ AD⊥平面EAB.‎ ‎ 作AH⊥BE于H，连接DH，则DH⊥BE，‎ ‎ ∴ ∠AHD 是二面角A—BE—D的平面角.‎ ‎ 在△ABE中，AE=，由余弦定理可得BE=，‎ 由△ABE 的面积得：AH=，‎ ‎ ∴ tan∠AHD==，‎ ‎ 故 二面角A—BE—D的余弦值为. ……………………………… 12分 解法二：‎ 建立如图所示的直角坐标系B—XYZ，设BC=a，则A（0，3，0），P（0，0，3），D（3，3，0），C（a，0，0），=（3-a，3，0），=（3，3，-3），‎ ‎∵ CD⊥PD，∴·=0，即3(3-a)+9=0，∴ a =6，‎ ‎∴ =（-3，3，0），=（0，3，-3），‎ ‎=（0，2，1），=（3，3，0），‎ 设平面EBD的法向量为n1=(x，y，1)， ‎ 由 得 ‎ ‎∴ 于是n1=(，-，1)，‎ 而为平面ABE的法向量为n2=(1，0，0)，‎ ‎∴ cos< n1，n2>=，‎ 故 二面角A—BE—D的余弦值为. ……………………………… 12分 ‎19. （本小题满分12分）在同款的四个智能机器人A，B，C，D之间进行传球训练，收集数据，以改进机器人的运动协调合作能力.球首先由A传出，每个“人”得球后都等可能地传给其余三个“人”中的一“人”，记经过第 次传递后球回到A 手中的概率为Pn.‎ ‎ （Ⅰ）求P1、P2 、P3的值；‎ ‎ （Ⅱ）求Pn关于n的表达式.‎ 解：（Ⅰ）经过一次传球后，球落在B，C，D手中的概率分别为而在A手中的概率为0；‎ 因此，‎ 两次传球后，球落在A手中的概率为 要想经过三次传球后，球落在A手中，只能是经过二次传球后球一定不在A手中，‎ ‎∴ …………………………………… 5分 ‎（Ⅱ）要想经过n次传球后，球落在A手中，只能是经过次传球后球一定不在A手中，‎ ‎∴ ， ……………………………………7分 设 ， 则 ，‎ ‎∴ ，， 即 ，‎ 而，所以，是以（）为首项，（）为公比的等比数列， ……………………………………9分 ‎∴ ，即 ，显然当n=1时也适合，【来源：全,品…中&高*考+网】‎ 故 . ……………………………………12分 ‎20. （本小题满分12分）已知椭圆C：，斜率为的动直线l与椭圆C交于不同的两点A，B．‎ ‎（Ⅰ）设M为弦AB的中点，求动点M的轨迹方程；【来源：全,品…中&高*考+网】‎ ‎（Ⅱ）设F1，F2为椭圆C在左、右焦点，P是椭圆在第一象限内一点，满足，求△PAB面积的最大值．‎ 解：（Ⅰ）设M（x，y），A（x1，y1），B（x2，y2），‎ 由 ①， ②；‎ ① ‎﹣②得：，即；‎ ‎∴ ． ……………………… 4分 由于弦AB的中点在椭圆内部，得，‎ ‎∴M点的轨迹方程为（）；……………………… 5分 ‎（Ⅱ）依题意：F1（，0），F2（，0），设P（x，y）（x＞0，y＞0），‎ 则 ，，‎ 由 得： ，‎ 即，与椭圆的方程联立，解得：【来源：全,品…中&高*考+网】‎ ‎∴P点坐标为； …………………………………… 6分 设直线l的方程为，联立，‎ 整理得：，由△＞0得﹣2＜m＜2，‎ ‎∴ ，， ‎ 于是 ，点P到直线l的距离，………………… 8分 ‎∴；‎ 当且仅当m2=4﹣m2，即时，取等号，‎ 故，△PAB面积的最大值1． ……………………… 12分 ‎21. （本小题满分12分）已知函数，.‎ ‎（Ⅰ）求；‎ ‎（Ⅱ）设函数，试确定的单调区间及最大最小值；‎ ‎（Ⅲ）求证：对于任意的正整数n，均有成立.‎ 解：（Ⅰ）； ………… 3分 ‎ （Ⅱ）∵ ，‎ ‎ ∴ ，‎ ‎ ，‎ ‎ ∵ a>0，∴ 函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，‎ ‎ 函数的最小值为，函数无最大值； ……………… 7分 ‎ （Ⅲ）取a =1，由（Ⅱ）知，，‎ ‎ ∴ ，即 ，亦即 ，……… 10分 ‎ 分别取 得 ‎ ，，，…，，‎ ‎ 将以上各式相乘，得： ……………………………… 12分 请考生在第22、23题中任选一题做答，如果多做，按所做的第一题计分，做答时请写清题号.‎ ‎22. （本小题满分10）（选修4-4：坐标系与参数方程）‎ 已知曲线C的极坐标方程是ρ＝2，以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l的参数方程为 (t为参数).‎ ‎（Ⅰ）写出直线l的普通方程与曲线C的直角坐标方程；‎ ‎（Ⅱ）设曲线C经过伸缩变换得到曲线，设M(x,y)为上任意一点，‎ 求的最小值，并求相应的点M的坐标.‎ 解：（Ⅰ）圆C的方程为 …………………………………… 1分 ‎ 直线L方程为 ………………………… 3分 ‎（Ⅱ）由和得 ………………… 5分 设M为，则 …… 8分 所以当M为或时原式取得最小值1． …………… 10分 ‎23. （本小题满分10）选修4-5：不等式选讲 ‎ 设函数．‎ ‎（Ⅰ）当a=2时，解不等式f（x）≥7﹣|x﹣1|；‎ ‎（Ⅱ）若f（x）≤2的解集为[﹣1，3]，，求证：．‎ ‎　解：（Ⅰ）当a=2时，不等式f（x）≥7﹣|x﹣1|，即|x﹣2|+|x﹣1|≥7，‎ ‎∴ ①，或②，或③．‎ ‎……………………………………… 3分 解①得x≤﹣2，解②得x∈∅，解③得x≥5，‎ ‎∴不等式的解集为（﹣∞﹣2]∪[5，+∞）． ……………………………… 5分 ‎（Ⅱ）f（x）≤2，即|x﹣a|≤2，解得a﹣2≤x≤a+2，而f（x）≤2解集是[﹣1，3]，‎ ‎∴，解得a=1，∴ （m＞0，n＞0）．……………… 7分 ‎∴，‎ 当且仅当，即，时，取等号． ……………… 10分