江西省新余市2020届高三上学期第四次段考数学（理）试卷 23页

理科数学试卷 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.‎ ‎1.设集合，，则（）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 集合表示函数的值域，集合表示函数的定义域，由函数的定义域、值域的求法，求出集合、，再求即可.‎ ‎【详解】解：因为，则，即，‎ 又，,由，解得，即，‎ 即，‎ 故选D.‎ ‎【点睛】本题考查了函数的定义域、值域的求法，重点考查了集合交集的运算，属基础题.‎ ‎2.复数，其中为虚数单位，则的虚部为（ ）‎ A. B. 1 C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据复数共轭的概念得到，再由复数的除法运算得到结果即可.‎ ‎【详解】‎ 虚部为-1，‎ 故选A.‎ ‎【点睛】本题考查了复数的运算法则、复数的共轭复数等，考查了推理能力与计算能力，属于基础题,复数问题高考必考，常见考点有：点坐标和复数的对应关系，点的象限和复数的对应关系，复数的加减乘除运算，复数的模长的计算.‎ ‎3.若，，则的大小关系（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用对数函数的性质，以及微积分定理与比较即可.‎ ‎【详解】‎ ‎，‎ 故选：D ‎【点睛】本题考查实数大小的比较，考查对数函数的性质，微积分定理，考查利用中间量比较大小，属于常考题型.‎ ‎4.给出下列两个命题：命题：“，”是“函数为偶函数”的必要不充分条件；命题：函数是奇函数，则下列命题是真命题的是（　　）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先判断出简单命题、的真假，然后利用复合命题的真假判断出各选项中命题的真假.‎ ‎【详解】对于命题，若函数为偶函数，则其对称轴为，得，‎ 则“，”是“函数为偶函数”的充分不必要条件，命题为假命题；‎ 对于命题，令，即，得，则函数的定义域为，‎ 关于原点对称，且，‎ 所以，函数为奇函数，命题为真命题，‎ 因此，、、均为假命题，为真命题，故选C.‎ ‎【点睛】本题考查复合命题真假性的判断，解题的关键就是判断出各简单命题的真假，考查逻辑推理能力，属于中等题.‎ ‎5.已知数列的前项和为，且对任意都有，设，则数列的前5项之和为（ ）‎ A. 11 B. 16 C. 10 D. 15‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据，再写出一个等式，两式相减并化简，由此证明是等比数列并求解出的通项公式，然后求解出的通项公式，根据通项公式即可求解前项之和.‎ ‎【详解】①，②，‎ 由①和②得，数列是以1为首项，以2为公比的等比数列，‎ ‎.‎ 故选C.‎ ‎【点睛】已知与的关系式，可通过将替换为得到新的关系式，再根据得到的递推公式，从而求解出的通项公式.‎ ‎6.已知向量，满足，，且则向量与的夹角的余弦值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先由向量模的计算公式，根据题中数据，求出，再由向量夹角公式，即可得出结果.‎ ‎【详解】因为向量，满足，，且，‎ 所以，即，因此，‎ 所以.‎ 故选：C ‎【点睛】本题主要考查由向量的模求向量夹角余弦值，熟记向量夹角公式，以及模的计算公式即可，属于常考题型.‎ ‎7.已知函数的图象如图所示，则函数的解析式可能是（　　）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据图像得到函数为偶函数，而且时，，通过排除法排除掉A、B选项，然后通过判断时，的值，排除D选项，从而得到答案.‎ ‎【详解】函数的图象如图所示，函数是偶函数，时，函数值为0．‎ 是偶函数，但是，‎ 是奇函数，不满足题意．‎ 是偶函数，满足题意；‎ 是偶函数，，时，，不满足题意．‎ 故选C项．‎ ‎【点睛】本题考查函数图像性质，函数的奇偶性，零点和值域，属于简单题.‎ ‎8.若函数在区间上单调递减，则的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先由题意，得到，函数在区间上单调递增，列出不等式组求解，即可得出结果.‎ ‎【详解】因为函数在区间上单调递减，‎ 当时，显然不可能，所以，‎ 因此，函数在区间上单调递增，‎ 所以，解得：.‎ 故选：A ‎【点睛】本题主要考查由正弦型函数的单调性求参数，熟记正弦函数的性质即可，属于常考题型.‎ ‎9.已知M是△ABC内的一点，且，，若△MBC，△MCA和△MAB的面积分别为1，，，则的最小值是（ ）‎ A. 2 B. 8 C. 6 D. 9‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由，，可知，进而求出，从而，而 ，利用基本不等式求最小值即可．‎ ‎【详解】∵，，∴，化为．‎ ‎∴．‎ ‎∴．则，‎ 而 =5+4=9，‎ 当且仅当，即时取等号，‎ 故的最小值是9，故选D．‎ ‎【点睛】本题考查了利用基本不等式求最值，考查了向量的数量积，三角形的面积公式，属于中档题．‎ ‎10.已知函数，若是函数的唯一一个极值点，则实数k的取值范围为(　　)‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 分析：由导函数形式可以看出，需要对k进行分类讨论来确定导函数为0时的根.‎ 详解：函数，‎ 函数的定义域是，‎ ‎，‎ 是函数的唯一一个极值点，‎ 是导函数的唯一一个极值点，‎ 在无变号零点，‎ 令，‎ ‎，‎ ‎①时，恒成立，在时单调递增；‎ 的最小值为，无解；‎ ‎②时，有解为：，‎ ‎，，在单调递减，‎ 时，，在单调递增，‎ 的最小值为，‎ ‎，‎ 由和图象，它们切于，‎ 综上所述，.‎ 故选：A.‎ 点睛：本题考查由函数的导函数确定极值问题，对参数需要进行讨论.‎ ‎11.抛物线的焦点为，已知点和分别为抛物线上的两个动点，且满足 ‎，过弦的中点作抛物线准线的垂线，垂足为，则的最大值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先分别过点、作抛物线准线的垂线、，垂直分别为、，连接、，设、，根据抛物线的定义，得到、，再由余弦定理，以及基本不等式，即可求出结果.‎ ‎【详解】如图，分别过点、作抛物线准线的垂线、，垂直分别为、，连接、，设、，‎ 由抛物线的定义可得：、，‎ 在梯形中，，‎ 由余弦定理可得：‎ ‎，‎ 所以.‎ 故选：D ‎【点睛】本题主要考查抛物线的应用，熟记抛物线的性质，以及基本不等式即可，属于常考题型.‎ ‎12.已知P,A,B,C是半径为2的球面上的点，PA=PB=PC=2，，点B在AC上的射影为D，则三棱锥体积的最大值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先画出图形（见解析），求出三棱锥的高，由题意得出三棱锥体积最大时面积最大，进而求出的面积表达式，利用函数知识求出面积最大值，从而求出三棱锥体积最大值．‎ ‎【详解】如下图，由题意，，，‎ 取的中点为，则为三角形的外心，且为在平面上的射影，所以球心在的延长线上，设，则，‎ 所以，即，所以.‎ 故，‎ 过作于，设()，则,‎ 设，则，故，‎ 所以，则，‎ 所以的面积，‎ 令，则，‎ 因为，所以当时，，即此时单调递增；当时，，此时单调递减．‎ 所以当时，取到最大值为，即的面积最大值为．‎ 当的面积最大时，三棱锥体积取得最大值为.‎ 故选D.‎ ‎【点睛】本题主要考查三棱锥的体积公式、三角形的面积公式、导数等知识，是一道综合性很强的题目．‎ 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.‎ ‎13.若实数x，y满足，则取值范围为________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先由约束条件作出可行域，化目标函数为，得表示直线在轴截距，结合图像，即可求出结果.‎ ‎【详解】根据约束条件作出可行域如下，‎ 由得，所以表示直线在轴截距，‎ 由图像可得，当直线过点时，在轴截距最小；‎ 当过点时，在轴截距最大；‎ 由得，即；‎ 由得，即；‎ 因此，，‎ 即的取值范围为；‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题主要考查简单的线性规划问题，只需由约束条件作出可行域，根据目标函数的几何意义，以及图像求解即可，属于常考题型.‎ ‎14.观察下列各式:…根据上述规律,则第个不等式应该为_______‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据规律，不等式的左边是个自然数的倒数的平方和，右边分母是以2为首项，1为公差的等差数列，分子是以3为首项，2为公差的等差数列，由此可得结论.‎ ‎【详解】根据规律，不等式的左边是个自然数的倒数的平方和，右边分母是以2为首项，1为公差的等差数列，分子是以3为首项，2为公差的等差数列，‎ 所以第个不等式应该是，‎ 故答案为.‎ ‎【点睛】本题主要考查了归纳推理的应用，其中解答中得出不等式的左边是个自然数的倒数的平方和，右边分母是以2为首项，1为公差的等差数列，分子是以3为首项，2为公差的等差数列是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.‎ ‎15.设定义域为的函数满足，则不等式的解集为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据条件构造函数F（x），求函数的导数，利用函数的单调性即可得到结论．‎ ‎【详解】设F（x），‎ 则F′（x），‎ ‎∵，‎ ‎∴F′（x）＞0，即函数F（x）在定义域上单调递增．‎ ‎∵‎ ‎∴，即F（x）＜F（2x）‎ ‎∴，即x＞1‎ ‎∴不等式的解为 故答案为 ‎【点睛】本题主要考查函数单调性的判断和应用，根据条件构造函数是解决本题的关键．‎ ‎16.设的内角的对边长成等比数列，，延长至，若，则面积的最大值为__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由，可得，由成等比数列，结合正弦定理 可得，两式相减，可求得，从而得为正三角形，‎ 设正三角形边长为， ，利用基本不等式可得结果.‎ ‎【详解】 ，‎ ‎，①‎ 又成等比数列，，‎ 由正弦定理可得，②‎ ‎①-②得 ‎，‎ ‎，解得，‎ 由，‎ 得，‎ ‎，为正三角形，‎ 设正三角形边长为，‎ 则，‎ ‎，时等号成立．‎ 即面积的最大值为，故答案为.‎ ‎【点睛】本题主要考查对比中项的应用、正弦定理的应用以及基本不等式求最值，属于难题. 利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数是否在定义域内，二是多次用或时等号能否同时成立）.‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）‎ ‎17.已知在递增的等差数列的等比中项 ‎(I)求数列的通项公式；(II)若，为数列的前n项和，求．‎ ‎【答案】 (I) (II) ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(I)根据已知求出的通项公式. (II) 由题意可知，再利用裂项相消法求和得解.‎ ‎【详解】(I)设公差为,因为，所以，解得 所以. ‎ ‎(II)由题意可知： ‎ 所以 .‎ ‎【点睛】本题主要考查等差数列通项的求法和裂项相消法求和，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.‎ ‎18.在中，设内角，，所对的边分别为，，，且.‎ ‎（1）求角的大小；‎ ‎（2）求的取值范围.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由正弦定理化边为角可得，再由两角和的正弦可得，即得，得解；‎ ‎（2）由三角恒等变换结合倍角公式可得，再结合求解即可.‎ ‎【详解】解：（1）由得到，‎ 即，即，‎ 又∵为三角形内角，∴，所以，从而.‎ ‎（2）‎ ‎，‎ ‎∵，∴，‎ ‎∴，所以.‎ 所以的取值范围为.‎ ‎【点睛】本题考查了正弦定理、正弦与余弦二倍角公式及三角函数求值域问题，重点考查了运算能力，属中档题.‎ ‎19.已知在多面体中，，，，，且平面平面.‎ ‎（1）设点为线段的中点，试证明平面；‎ ‎（2）若直线与平面所成的角为，求二面角的余弦值.‎ ‎【答案】（1）详见解析（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由四边形为平行四边形.∴，再结合平面，即可证明平面；‎ ‎（2）由空间向量的应用，建立以为原点，所在直线为轴，过点与平行的直线为轴，所在直线为轴的空间直角坐标系，再求出平面的法向量，平面的法向量，再利用向量夹角公式求解即可.‎ ‎【详解】（1）证明：取的中点，连接，，‎ ‎∵在中，∴.‎ ‎∴由平面平面，且交线为得平面.‎ ‎∵，分别为，的中点，∴，且.‎ 又，，∴，且.‎ ‎∴四边形为平行四边形.∴，‎ ‎∴平面.‎ ‎（2）∵平面，，‎ ‎∴以为原点，所在直线为轴，过点与平行的直线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系.则，，.‎ ‎∵平面，∴直线与平面所成的角为.‎ ‎∴.∴.‎ 可取平面的法向量，‎ 设平面的法向量，，，‎ 则，取，则，.∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴二面角的余弦值为.‎ ‎【点睛】本题考查了线面垂直的判定及利用空间向量求解二面角的大小，重点考查了空间想象能力，属中档题.‎ ‎20.高尔顿（钉）板是在一块竖起的木板上钉上一排排互相平行、水平间隔相等的圆柱形铁钉（如图），并且每一排钉子数目都比上一排多一个，一排中各个钉子恰好对准上面一排两相邻铁钉的正中央.从入口处放入一个直径略小于两颗钉子间隔的小球，当小球从两钉之间的间隙下落时，由于碰到下一排铁钉，它将以相等的可能性向左或向右落下，接着小球再通过两铁钉的间隙，又碰到下一排铁钉.如此继续下去，在最底层的5个出口处各放置一个容器接住小球.‎ ‎（Ⅰ）理论上，小球落入4号容器的概率是多少？‎ ‎（Ⅱ）一数学兴趣小组取3个小球进行试验，设其中落入4号容器的小球个数为，求的分布列与数学期望.‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）的分布列见解析，数学期望是 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）若要小球落入4号容器，则在通过的四层中有三层需要向右，一层向左，根据二项分布公式可求得概率；（Ⅱ）落入4号容器的小球个数的可能取值为0，1，2，3，算出对应事件概率，利用离散型随机变量分布列数学期望的公式可求得结果.‎ ‎【详解】解：（Ⅰ）记“小球落入4号容器”为事件，‎ 若要小球落入4号容器，则在通过的四层中有三层需要向右，一层向左，‎ ‎∴理论上，小球落入4号容器的概率.‎ ‎（Ⅱ）落入4号容器的小球个数的可能取值为0，1，2，3，‎ ‎∴，，‎ ‎，，‎ ‎∴的分布列为：‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎∴.‎ ‎【点睛】本题主要考查二项分布及其数学期望的计算，较基础.‎ ‎21.设椭圆的右焦点为，过的直线与交于两点，点的坐标为.‎ ‎（1）当与轴垂直时，求直线的方程；‎ ‎（2）设为坐标原点，证明：.‎ ‎【答案】（1）的方程为或；（2）证明见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）首先根据与轴垂直，且过点，求得直线的方程为，代入椭圆方程求得点的坐标为或，利用两点式求得直线的方程；‎ ‎（2）分直线与轴重合、与轴垂直、与轴不重合也不垂直三种情况证明，特殊情况比较简单，也比较直观，对于一般情况将角相等通过直线的斜率的关系来体现，从而证得结果.‎ ‎【详解】（1）由已知得，l的方程为.‎ 由已知可得，点的坐标为或.‎ 所以的方程为或.‎ ‎（2）当与轴重合时，.‎ 当与轴垂直时，为的垂直平分线，所以.‎ 当与轴不重合也不垂直时，设的方程为，，‎ 则，直线、的斜率之和为.‎ 由得.‎ 将代入得.‎ 所以，.‎ 则.‎ 从而，故、的倾斜角互补，所以.‎ 综上，.‎ ‎【点睛】该题考查的是有关直线与椭圆的问题，涉及到的知识点有直线方程的两点式、直线与椭圆相交的综合问题、关于角的大小用斜率来衡量，在解题的过程中，第一问求直线方程的时候，需要注意方法比较简单，需要注意的就是应该是两个，关于第二问，在做题的时候需要先将特殊情况说明，一般情况下，涉及到直线与曲线相交都需要联立方程组，之后韦达定理写出两根和与两根积，借助于斜率的关系来得到角是相等的结论.‎ ‎22.已知函数，‎ ‎（1）试讨论函数单调区间；‎ ‎（2）若不等式对于任意的恒成立，求的取值范围．‎ ‎【答案】（1）答案见解析；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】解: （1）：‎ 当时，函数定义域为，在上单调递增 当时，恒成立，函数定义域为，又 在单调递增，单调递减，单调递增 当时，函数定义域为，在单调递增，单调递减，单调递增 当时，设的两个根为且，由韦达定理易知两根均为正根，且，所以函数的定义域为，又对称轴，且，在单调递增，单调递减，单调递增 ‎（2）：由（1）可知当时，时，有即不成立， ‎ 当时，单调递增，所以在上成立 ‎ 当时，，‎ 下面证明：即证 令 单调递增，使得 在上单调递减，在上单调递增，此时 所以不等式所以 又当时，由函数定义域可知，显然不符合题意 综上所述，当时，不等式对于任意的恒成立 ‎ ‎